5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课堂限时训练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点判定，分层设计基础巩固-综合辨析-应用拓展三阶路径，通过选择、填空、解答题梯度设置，适配新授课知识内化与推理能力培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点存在性、幂函数零点等单一知识点|单选题直接考查概念（如第1题零点区间判断），夯实基础认知| |提升层|分段函数性质、充要条件等综合知识点|多选题（如第5题）辨析函数单调性与零点个数，填空题（如第7题）探究方程根的取值范围，深化逻辑推理| |综合层|函数性质与方程根综合应用|解答题（如第9题）证明偶函数并求零点，第10题结合图像分析方程实根个数，培养数学表达与模型意识|

2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：当时， ， ，则恒成立， 则对于选项A，当时，，无零点，故 A错误； 当时，对于函数单调递增，对于函数单调递增， 则函数在上单调递增， 选项B：，， 故，又在上连续，因此内有零点，故B正确； 选项C：，，故，无零点，故C错误； 选项D：，，故，无零点，故D错误． 故选B． 2.已知幂函数的图象过点，则函数的零点为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查幂函数、函数的零点与方程根的关系，属于基础题． 代入点的坐标，求出函数的解析式，由，即可求出结果． 【解答】 解：幂函数的图象过点， ， ，解得， ， 函数． 令，得， 函数的零点是． 3.函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有个零点． 故选：． 4.“”是“函数存在零点”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】解：函数存在零点等价于方程有解，等价于有解， 而，从而，因此，必要性成立， 反之，当时，有解，充分性成立， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数则下列说法正确的是(    ) A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 方程有个实数解 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查求分段函数的函数值，分段函数的单调性，求分段函数的定义域、值域、解析式，函数零点、方程的根的个数，指数函数的单调性与最值，属于基础题． 将代入计算，可判断选项A；根据二次函数、指数函数的性质判断选项B，；作出的图象，观察函数的图象与直线的交点个数，判断选项D． 【解答】 解：对于，，故A错误； 对于，当时，， 此时函数单调递增，且； 当时，， 此时函数单调递增，且； 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于，二次函数及指数函数的性质可知： 在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的值域为，故C正确； 对于，作出的图象，如图所示： 由此可得的图象与直线只有个交点， 即方程有个实数解，故D错误． 故选：． 6.下列结论正确的是(    ) A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B. 函数过定点 C. 函数在区间内必有零点 D. 存在实数，使得为幂函数 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查了全称量词命题的定义，对数函数的图象及性质，函数零点存在性定理，幂函数的定义，属于基础题． 由全称量词命题的定义可判断，由对数函数的图象及性质可判断，由函数零点存在性定理可判断，由幂函数的定义可判断． 【解答】 解：由全称量词命题的定义可得显然正确． 对于，因为，所以B正确． 对于，因为，，且的图象是连续不断的， 所以在区间内必有零点，C正确． 若为幂函数，则，该方程无实数解，D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查方程的根的个数及其关系，分段函数的图象，属于综合题，做出函数图像可得它们显然关于对称，故，然后即可求出结果． 【解答】解：画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，它们显然关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，显然它在和以及的交点和之间，故 所以，． 故答案为 ． 8.以下说法中正确的是          ． 函数在区间上单调递减； 函数的图象过定点； 若是函数的零点，且，则； 方程的解是 【答案】  【解析】【分析】 本题以命题的真假判断为载体考查了指数函数和反比例函数的图象和性质，考查函数的零点问题，指数运算性质和对数运算性质，属于中档题． 根据反比例函数的单调性可判断的真假；根据函数，的图象过定点为当时，，恒成立，可判断的真假，举出反例，可判断的真假，根据指数运算性质和对数运算性质，解方程可判断的真假． 【解答】 解：函数在每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性， 例如：，而，不具有单调递减的性质，故错误； 当时，，所以函数的图象过定点是正确的； 如果中也存在一个为零时，就不符合，故错误； ，故正确． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数的定义域为． 证明：函数是偶函数； 求函数的零点． 【答案】证明：由题意可得函数的定义域为关于原点对称， 又， 故函数为偶函数； ， 令，解得， 解得， 故函数的零点为：和．  【解析】本题考查函数的奇偶性以及函数零点的求解，在判断函数奇偶性的时候要注意先判断其定义域是否关于原点对称，属于较易题． 直接利用偶函数的定义进行证明即可； 将函数变形为，令，求解即可． 10.本小题分 已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示． 画出函数在轴右侧的图像，并写出函数在上的单调增区间； 求函数在上的解析式． 结合图像分别直接写出：当为何值时，关于的方程有个实根？个实根？个实根？个实根？ 【答案】解： 因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，即只需把函数在轴左侧翻折到轴右侧就可以得到函数在轴右侧的图象了． 图象如下图所示： 则函数在上的单调增区间为和． 因为函数是定义在上的偶函数，且时， 所以当，，． 关于的方程有几个实根等价于函数的图象与直线有几个交点． 如图所示， 当，即时，函数的图象与直线有个交点，则关于的方程有个实根． 当或，即或时，函数的图象与直线有个交点，则关于的方程有个实根． 当，即时，函数的图象与直线有个交点，则关于的方程有个实根． 当，即时，函数的图象与直线有个交点，则关于的方程有个实根． 故：时，关于的方程有个实根；或时，有个实根；时，有个实根；时，有个实根．   【解析】由函数是偶函数可得函数的图象关于轴对称，进而可画出图象，得到单调递增区间． 由即可求出时函数的解析式． 把方程有根转化成两个函数图象有交点，通过数形结合即可得到答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（北师大版）第五章 函数的应用 5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是(    ) A. B. C. D. 2.已知幂函数的图象过点，则函数的零点为(    ) A. B. C. D. 3.函数的零点个数是(    ) A. B. C. D. 4.“”是“函数存在零点”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知函数则下列说法正确的是(    ) A. B. 在区间上单调递增 C. 的值域为 D. 方程有个实数解 6.下列结论正确的是(    ) A. “每个正方体都有六个面”是全称量词命题 B. 函数过定点 C. 函数在区间内必有零点 D. 存在实数，使得为幂函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是          ． 8.以下说法中正确的是          ． 函数在区间上单调递减； 函数的图象过定点； 若是函数的零点，且，则； 方程的解是 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数的定义域为． 证明：函数是偶函数； 求函数的零点． 10.本小题分 已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示． 画出函数在轴右侧的图像，并写出函数在上的单调增区间； 求函数在上的解析式． 结合图像分别直接写出：当为何值时，关于的方程有个实根？个实根？个实根？个实根？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $