26.4 解直角三角形的应用（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十六章 解直角三角形 26.4 解直角三角形的应用 解直角三角形的应用 章节导读 26.1锐角三角函数 26.2特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值 26.3解直角三角形 26.4解直角三角形的应用 正切 解直角三角形 方位角问题 正弦和余弦 仰角俯角问题 坡度坡角问题 2 学 习 目 标 1 2 3 理解仰角、俯角;方向角;坡度、坡角的概念； 能运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角;方向角;坡度、坡角有关的实际问题； 把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，提高数学建模能力. 复习回顾 解直角三角形的两种情况： 1.已知两条边；2.已知一条边和一个锐角. 回顾训练 在△中，∠，，则（ ） A. B. C. D. 解：如图， ，可设，则.所以，∴ 新知探究 仰角、俯角问题 做一做 如图，小明在距旗杆9 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠）为50°；俯视旗杆的底部B，俯角（∠）为10°.求旗杆的高度（结果精确到0.01m）. 在进行观察时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫作仰角； 从上向下看，视线与水平线的夹角叫作俯角； 简记：上仰下俯 新知探究 仰角、俯角问题 做一做 如图，小明在距旗杆9 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠）为50°；俯视旗杆的底部B，俯角（∠）为10°.求旗杆的高度（结果精确到0.01m）. 分析：如图，先将实际问题转化为数学问题，再利用解直角三角形的方法求解。 解：由题知 m， 在Rt△中，tan52 ° tan52 °. 在Rt△中，tan10° tan10°. tan52°tan10° (m)​ 随堂练习 1.如图，某飞机在空中处时的高度 m，此时，从飞机上看地面目标的俯角为18°.求两点间的距离。（结果精确到1 m） 基础过关(P140) 解：由题意得m。 在Rt△中， sin ​ ≈4854(m) 答：两点间距离约为4854m。 新知探究 方向角问题 如图，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40 min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行，会不会进入危险区？ 一起探究 分析：先将实际问题转化为数学问题，再构造直角三角形，利用解直角三角形的方法求解。 新知探究 方向角问题 分析：如图，只需要计算垂线段的长度即可.即渔船与小岛的最近距离，当时，没有危险；当时，有危险. B C A 北 30° 60° D 解：如图，过点作，交的延长线于点，则 在Rt△中，tan tan . 设，则. 在Rt△中，， ∴tan tan 30°，即 ∵，×， .解得. 因为， 所以，这艘渔船继续向东航行，不会进入危险区域. 新知探究 方向角问题 B C A 北 30° 60° D 方法二 解：如图，过点作，交的延长线于点，则∠ ， ， ∴，sin ∠. 在Rt△中，sin ∠×0. 因为， 所以，这艘渔船继续向东航行， 不会进入危险区域. 解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题． 归纳总结 方向角问题 提分笔记 方向的方位角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°. 北偏东 南偏东 东南方向 南偏西 北偏西 如图，在修房、修路、挖河、开渠、和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。 新知探究 坡度、坡角问题 生活中，我们常常会遇到一些斜坡。 坡度如何计算呢？ 新知探究 坡度、坡角问题 如图，我们通常把坡面的垂直高度和水平宽度的比叫作坡面的坡度(或坡比)，坡面与水平面的夹角叫作坡角.显然，tan 坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡. 坡度通常写成的形式，如坡度为. 新知探究 坡度、坡角问题 1. 斜坡的坡度是，则坡角___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 做一做 分析：进行和坡度有关的计算，常作辅助线构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求坡角. 典例分析 坡度、坡角问题 例1 如图所示，铁路路基的横断面为四边形，其中，，，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角（结果精确到1' ) 解:如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F. ∴,∠ 又∵, ∴四边形为矩形 ∴ 在Rt△和Rt△中 ∵∠，∠, ∴Rt△𝐴𝐵𝐸≅"R" t△𝐷𝐶𝐹 ∴ 在Rt△中，, ∴， ∴（m） 即路基下底的宽为20m,坡角约为. 15 新知探究 坡度、坡角问题 如图,某水库大坝的横断面是四边形,,坝顶宽m,斜坡m,坝高为8m,斜坡的坡度为.求斜坡的坡角和坝底的宽.(结果精确到0.01m) 做一做 分析：作.构造直角三角形，根据解直角三角形的知识求解. 你能解答吗？试一试吧。 30° 40.86m 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)； (2)根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)检验，得到实际问题的答案. 归纳总结 坡度、坡角问题 提分笔记 随堂练习 2.如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为5m．现测得斜坡的坡角为21°．求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到0.1 m） 基础过关(P140) 解：如图，抽象出数学模型。 在Rt△中，∠，∠， m， ∵cos∠ ， ∴ ＝ （m）， 答：相邻两树间的坡面距离约为5.4 m． 随堂练习 3.如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 能力提升 随堂练习 解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 选A. 能力提升 随堂练习 4.如图，从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为，看这栋楼底部的俯角β为，热气球与高楼的水平距离为．这栋高楼有多高？（精确到） 能力提升 解：在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 随堂练习 能力提升 5.如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 随堂练习 能力提升 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， ， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 课堂小结 方向角 解直角三角形的应用 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角 从下向上看，视线与水平线的夹角 仰角 俯角 从上往下看，视线与水平线的夹角 坡角 坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α 坡面的竖直高度(h)和水平长度(l)的比叫作坡面的坡度 (或坡比) 坡度 (坡比) 坡度与坡角的关系 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $