2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中复习卷

· 期中复习卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. x + 2y = 1 B. (x+1)² = 2(x+1) C. 2x + = 8 D. x³ - 2x + 1 = 0 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 3．下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（     ） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 4．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是(    ) A．15° B．30° C．45° D．60° 5．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根，则该直角三角形的斜边长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6．下列关于一元二次方程的说法，正确的是（　　） A. 只含有一个未知数的方程就是一元二次方程 B. 未知数的最高次数是2的方程就是一元二次方程 C. 一元二次方程必须是整式方程 D. 方程 x² - 2x = x² + 1 是一元二次方程 7．如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为3：5，点A，B的对应点，分别为点，．若，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 9．小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程 x² - 9 = 0 的两个根是________________． 12．已知 a 是方程 x² - 3x + 1 = 0 的根，则 2a² - 6a + 2 =________． 13．在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为 14．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．若，求的值． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 20．如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，且． (1)求证：平行四边形ABCD是菱形； (2)若，，求AE的长． 21．（1）与的位似比是___________； （2）画出绕点逆时针旋转得到的； （3）若点为内一点，直接写出点在内的对应点的坐标是___________． 五．解答题（三）（22题13分，23题14分） 22．用黑、白两种颜色的小正方形拼成如图所示的图案．    (1)图4中有黑色正方形_______个，图n中有黑色正方形________个； (2)是否存在图n，使得白色正方形比黑色正方形多2023个，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由． 23．已知菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP． (1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B， ①图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 　 　． ②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由． (2)在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°请依题意画出图形并求此时线段DN的长． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B C C D D B D 11. x₁ = 3, x₂ = -3 12. 0 13． 14．4 15． 16．(1)，； (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 17．5 【分析】设，得到，进而可解答； 本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴． 18．(1)证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 19．(1)证明：∵， ． ． ． ． (2)证明：， ． 由（1）可知：， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 20．（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°， 在△ABE和△CBF中，     ∴△ABE≌△CBF（ASA）， ∴AB＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝13， 设AE＝x，则DE＝13﹣x， 在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2， 即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2， 解得：． 即AE＝． 21．（1）； （2）如图，即为所求， （3） 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似比； （2）直接利用旋转的性质得出对应点的位置进而得出答案； （3）直接利用旋转的性质得出对应点坐标． 【详解】解：（1）根据图形可得： 与的位似比为：， 故答案为：； （2）略 （3）点为内一点，经过绕点逆时针旋转后，点在内的对应点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 22．(1)17， (2)存在，23 【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有黑色正方形的个数，找到规律可求解； （2）由（1）的规律求出第n个图形中黑色和白色正方形的个数，然后根据白色正方形比黑色正方形多2023个，列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：图1中有黑色正方形个； 图2中有黑色正方形个； 图3中有黑色正方形个； 图4中有黑色正方形个； …… 图n中有黑色正方形个； 故答案为：17； （2）解：存在， 根据题意得：图1中有白色正方形个； 图2中有白色正方形个； 图3中有白色正方形个； …… 图n中有白色正方形个； ∴由题得： 解得：或（舍去）， 即存在图，使得白色正方形比黑色正方形多2023个． 【点睛】本题考查了图形的变化类及一元二次方程的应用，找到变化规律是解题的关键． 23．（1）解：①AP＝AQ． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，AB∥CD， ∴∠B+∠QCD＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠QCD＝180°， ∴∠APC+∠AQC＝180°， ∵AP⊥CD， ∴∠APC＝90°， ∴∠AQC＝90°， ∴AQ⊥BC， ∵S菱形ABCD＝BC•AQ＝CD•AP， ∴AP＝AQ； 故答案为：AP＝AQ； ②答：①中的结论仍然成立． 证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N． ∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD， ∴S菱形ABCD＝BC•AM＝CD•AN， ∵BC＝CD， ∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠PAQ＝∠B， ∴∠PAQ+∠C＝180°， ∴∠AQC+∠APC＝180°， ∵∠AQM+∠AQC＝180°， ∴∠AQM＝∠APN， 在△AMQ和△ANP中， ∴△AMQ≌△ANP（AAS）， ∴AP＝AQ． （2）解：作∠PAN=∠B，角的另一边交CD延长于N， 如图3，过点A作AH⊥CD于点H， ∵∠ANC＝45°， ∴∠NAH＝45°， ∴AH＝HN， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4， ∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°， ∴DH＝AD＝2， ∴AH＝=DH＝2， ∴HN＝2， ∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2． 答案第2页（共7页） 答案第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $