精品解析：安徽省滁州中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

滁州中学2026级高一上学期第一次月考试卷 数学 时长：120分钟 分值：150分 考试范围：必修一 第一章、第二章、第三章第1节 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ） A. B. 11 C. D. 1 4. 已知函数的图象如图所示，，则（ ） A. -1或3 B. 4 C. -1 D. 不存在 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）． A. 25种 B. 27种 C. 29种 D. 31种 8. 对实数x，y定义运算，满足：对任意实数x，y，z，有，；定义在R上的函数满足：对任意实数x，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”．公平不可仅凭表象，还需借助数学理性甄别．现有一金店，用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买10g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡，得到第一份黄金；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡，得到第二份黄金．记两份黄金质量依次为g， g，则下列说法正确的是（ ） A. B. 顾客实际所得黄金大于 C. 顾客实际所得黄金小于 D. 若天平左臂更长，则 10. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知区间，则实数a的取值范围是_______.（用区间表示） 13. 已知函数则的解集为______________． 14. 已知a，b均为正数，则的最小值是_______，的最大值是_______． 四、解答题（本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）是否存在实数m，使得成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 17. 滁州中学积极开展劳动实践教育，开辟校园劳动实践园地．如图，实践园地为矩形，点C在对角线上，，．经测量米，米． （1）设的长为米，试用表示劳动园地的面积； （2）劳动社团计划在该实践园地内种植面积至少为300平方米的油菜，请判断该计划能否实现，并说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 19. 高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动： 第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元； 第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元． 例如，一次购买商品1620元，则实际支付额元； （1）小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滁州中学2026级高一上学期第一次月考试卷 数学 时长：120分钟 分值：150分 考试范围：必修一 第一章、第二章、第三章第1节 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 2. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式得到集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】对于，解得，所以， 又， 所以. 3. 已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ） A. B. 11 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出，的值，作和即可． 【详解】解：若关于的不等式的解集是， 则2，3是方程的根， 故， 故， 故选． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查不等式和一元二次方程的关系，是一道基础题． 4. 已知函数的图象如图所示，，则（ ） A. -1或3 B. 4 C. -1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，依次求解即可. 【详解】根据函数图象，由知，，或， 当，；当，不存在， 故选：. 5. 已知实数，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过待定系数法将目标式表示为已知两个代数式的组合，再利用不等式性质求解即可.  【详解】设，，则 ， 所以 ，解得，， 因此. 又，，则， 所以 ，即， 故的取值范围是. 6. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解命题为真的充要条件，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集筛选选项. 【详解】 命题“”为真，等价于对所有恒成立. 当时，的取值范围为，最大值为4， 因此命题为真的充要条件是. 若某个条件是该命题为真的充分不必要条件，则这个条件对应的的取值集合是集合的真子集： A选项：是命题为真的充要条件，不符合要求； B选项：对应的集合是的真子集，满足“时命题必为真， 命题为真时不一定有”，是充分不必要条件，符合要求； C选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件； D选项：时例如命题为假，无法推出命题为真，不是充分条件. 7. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（ ）． A. 25种 B. 27种 C. 29种 D. 31种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出第一天售出且第二天没有售出的商品种数和第三天售出的且第二天未售出的商品种数，利用集合表示商品种数，画出图形容易得出正确的结果． 【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种； 同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出； 所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的， 此时商品总数是（种； 分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时， 如图所示． 故选：C． 8. 对实数x，y定义运算，满足：对任意实数x，y，z，有，；定义在R上的函数满足：对任意实数x，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过赋值法推导新定义运算的解析式，再利用函数递推式得到两个函数值的差值，最后代入新运算求值. 【详解】已知对任意实数 ，，， 令 ，则，由，得 在中，令， ，得， 因为，所以，代入式 ，得，得， ，，二者相等； 成立； 由 ，得， 令 ，，即， 所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”．公平不可仅凭表象，还需借助数学理性甄别．现有一金店，用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买10g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡，得到第一份黄金；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡，得到第二份黄金．记两份黄金质量依次为g， g，则下列说法正确的是（ ） A. B. 顾客实际所得黄金大于 C. 顾客实际所得黄金小于 D. 若天平左臂更长，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】杠杆原理列等式，求出；用基本不等式判断大小，再分析时的范围. 【详解】设天平左臂长，右臂长，杠杆平衡：左边质量左臂长右边质量右臂长. 左盘放砝码，右盘黄金平衡：. 右盘放砝码，左盘黄金平衡：. A：，A 正确； B：，由基本不等式，，，所以，顾客拿到黄金大于，B正确，C错； D：左臂更长即，，D 正确. 10. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AC，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于D利用充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】对于A，当，满足，此时，故A为假命题. 对于B，要证，只要证， 只要证，只要证，显然成立，所以B为真命题. 对于C，令，，此时，，但是，所以C为假命题. 对于D，，于是，解得. 因为，所以“”是“”的一个必要不充分条件. 所以D为真命题. 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A先求内层整体范围，再求新定义域；选项B同一函数要求定义域、对应法则都相同；选项C分离常数求分式函数值域；选项D方程组法求函数解析式. 【详解】对于A选项，因为函数的定义域，即， 所以函数的定义域为， 对：， 即函数定义域是，A 错误； 因为函数的定义域为；的定义域为. 两个函数的定义域不同，不是同一函数，B错误； 因为变形得：， 因为，则，所以，故，C正确； 已知，消元解得，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知区间，则实数a的取值范围是_______.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】依题意列出不等式求解即可. 【详解】依题意得，解得， 所以实数的范围为. 故答案为：. 13. 已知函数则的解集为______________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，解得，故； 当时，，解得或，故； 综上可得． 14. 已知a，b均为正数，则的最小值是_______，的最大值是_______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】①直接用基本不等式；②先用基本不等式对消元，把二元问题化为单变量的分式最值；再通过平方移项构造关于的一元二次方程，利用判别式非负求出的范围. 【详解】①a为正数，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，故最小值为； ②因为，所以， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因此， 设（），两边平方整理得， 移项化为关于的一元二次方程得， 因为是正实数，所以该方程必有正实根， 若，方程变为，解得，与矛盾，舍去； 若，方程为一元二次方程，有实根的条件是判别式非负，即，化简得 ， 因为，所以，即， 验证等号：当时，方程为，解得，符合条件； 故，取等条件为，，即，均为正数，等号可取， 综上，原式最大值为 四、解答题（本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）是否存在实数m，使得成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）先求出A的补集，再和B求交集即可； （2）即B是A的子集，分当和两种情况求解，最后取并集即可. 【小问1详解】 ∵，或． 又当时，，∴． 【小问2详解】 ． ①当时，，∴． ②当时，，∴ ∴． 由①②可得． ∴存在，使得成立． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立，可转化为恒成立，求解即可； （2）先求出为真命题时，实数的取值范围，再根据命题与命题一真一假，结合（1），即可求解. 【小问1详解】 因为为真命题，即对任意，不等式恒成立， 令，，所以在时恒成立， 所以即可， 又，，为增函数，所以， 所以，即，整理得，即， 结合二次方程和二次函数的性质，可得不等式的解集为， 所以为真命题，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 若为真命题，则存在，使得不等式成立， 令，则对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，所以时，函数取得最小值， 所以成立即可，即，解不等式得， 所以为真命题时，实数的取值范围是. ①若为真命题，为假命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 因为为真命题时，实数的取值范围是， 所以为假命题时，实数的取值范围是， 所以当为真命题，且为假命题时，实数的取值范围是； ②若为假命题，为真命题， 由（1）得，当为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题时，可得实数的取值范围是， 又为真命题时，实数的取值范围是， 所以当为假命题，且为真命题时，实数的取值范围是. 综上所述，若命题与命题一真一假，则实数的取值范围是. 17. 滁州中学积极开展劳动实践教育，开辟校园劳动实践园地．如图，实践园地为矩形，点C在对角线上，，．经测量米，米． （1）设的长为米，试用表示劳动园地的面积； （2）劳动社团计划在该实践园地内种植面积至少为300平方米的油菜，请判断该计划能否实现，并说明理由． 【答案】（1）， （2）计划能够实现，理由如下： 易知， 当且仅当，即时取等号， 故的长为8米时，劳动园地面积最小值为320平方米． 显然，所以计划能够实现． 【解析】 【分析】（1）根据相似比得出边长，即可求得面积； （2）利用基本不等式计算可得时劳动园地面积最小值为平方米，可知计划能够实现． 【小问1详解】 解：设的长为（）米，则米， 由三角形相似可得，即，所以， 所以，； 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，求出的范围. （3）分类求解含参的不等式即得. 【小问1详解】 当时，函数，由，得，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 对于任意，不等式恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，不等式， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动： 第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元； 第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元． 例如，一次购买商品1620元，则实际支付额元； （1）小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； （2）某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】（1）一次支付好，理由：分两次支付：支付额为元； 一次支付：支付额为元； 所以一次支付好． （2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求一次支付与两次支付的实际支付金额，比较可得答案； （2）由题意建立函数解析式，将自变量的所有取值代入，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设购买件，平均价格为元/件．由于预算不超过1000元， 若买20件，需要付额， 若买19件，需要付额，所以最多买19件； 当，时，； 若、3、5，7、9、11、13时，， 若、4、6、8、10、12、14时，； 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为55元/件． 当时，能享受每满800元减80元的优惠，， 代入，可知时，有最小值50元； 、19代入，可知时，有最小值50元． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为50元/件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $