精品解析：安徽省太和中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

高一第一次月考数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某校为拓展学生在音乐､体育､美术方面的能力，开设了相应的兴趣班.某班共有34名学生参加了兴趣班，有17人参加音乐班，有20人参加体育班，有12人参加美术班，同时参加音乐班与体育班的有6人，同时参加音乐班与美术班的有4人.已知没有人同时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 已知，若，则 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数（）的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，且，则实数的值为 D. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 11. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，，则__________． 13. 设，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________. 14. 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题；命题. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 16. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 17. （1）已知，．求证：； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件． 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式. （2）若对任意，恒成立，求的最大值. （3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一次月考数学试卷 考试时长：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解出集合A，再由集合的包含关系进行求解实数a的取值范围即可. 【详解】由题， 因为，所以且，故. 故选：A. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】求出每个选项中两个函数的定义域，结合函数相等的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，函数与的定义域均为， 且，故B选项中的两个函数相等； 对于C选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故C选项中的两个函数不相等； 对于D选项，对于函数，有，解得或， 即函数的定义域为， 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不相等. 故选：B. 3. 对满足的任意正实数x、y，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，根据基本不等式“1”的妙用，求解可得，不等式恒成立转化为，解不等式即可求解. 【详解】由得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即， 不等式恒成立，即， 解得，即实数的取值范围是. 故选：D 4. 某校为拓展学生在音乐､体育､美术方面的能力，开设了相应的兴趣班.某班共有34名学生参加了兴趣班，有17人参加音乐班，有20人参加体育班，有12人参加美术班，同时参加音乐班与体育班的有6人，同时参加音乐班与美术班的有4人.已知没有人同时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】设同时参加体育和美术小组的有人,由题意作出Venn图，结合Venn图能求出同时参加体育和美术小组的人数，进而得解.． 【详解】设同时参加体育和美术小组的有人， 由题意作出Venn图如图所示， 结合Venn图得： ， 解得． 同时参加体育和美术小组的有5人． 仅参加一个兴趣班的人数为 故选：A. 5. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，由分析知，求出集合，进而得出中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解. 【详解】由可得：或，所以或， 因为中有且只有两个正整数解，所以， 对于方程，判别式， 所以方程的两根分别为：，， 所以， 若中有且只有两个正整数解， 则即，可得， 所以， 当时，解得，此时，不符合题意， 综上所述：a的取值范围为， 故选：B. 6. 若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到与的关系求出解集，再根据必要不充分条件选出答案. 【详解】由题目可得，因为定义域为，所以， 故可以化为，与的区别为可以取等号， 故的解集为，因为是的真子集， 所以成立的一个必要不充分条件是. 7. 设集合是关于的不等式的解集，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，当时，关于的不等式恒成立，即 恒成立，即 恒成立，由此可得实数的取值范围． 【详解】由集合是关于的不等式的解集，且， 则当时，不等式恒成立，   即在上恒成立， ，即，，   在上恒成立， ，， 所以实数的取值范围是．   故选：B. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，再应用换元法，令分别求出最值，即可得范围. 【详解】，则， ，则， 令，， 则， ， 当时，当时均满足题意， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知，则 D. 已知，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】作差比较大小即可判断AD；举反例即可判断B；根据不等式的性质计算即可判断C. 【详解】对A，，则，，A正确； 对B，，例如，但，B错； 对C，，则，C正确； 对D，因为，则，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数（）的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若函数，且，则实数的值为 D. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项用分离常数法求值域；B选项由定义域推定义域，再结合根号与分式条件；C选项用配凑法求解析式，解方程得两解；D选项由值域反推定义域元素，列举子集. 【详解】A选项： 因为，则，于是 即A选项正确； B选项：的定义域为，即， 则即的定义域为， 要使有意义，需 解得：故定义域为，B选项正确； C选项： 令，则， 由，得： 故的值应为，不只是，C选项错误； D选项：，值域为，则定义域中的元素必须满足 故定义域可以是共个，D选项正确. 11. 若实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求函数的定义域得到集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】因为， 且， 故. 故答案为：. 13. 设，若命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出集合与,由命题“”为真命题，可得,利用集合关系求解即可 【详解】由题可得：， 由于命题“”为真命题，则, 所以，解得：, 故答案为： 14. 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】由题设，有，又，则， 又，则， 故存在使成立，则， 所以，令，故， 所以，且， 而，仅当，即等号成立， 所以，仅当且时等号成立，故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题；命题. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图像性质解决二次不等式恒成立问题；（2）对命题和命题的真假进行分类讨论求解. 【小问1详解】 命题，. 当时，不等式1>0恒成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 命题，，相当于使得. 若命题为真命题时，，所以. 结合（1）可知，若，命题为真命题；，命题为真命题. 若要两命题有且仅有一个为真命题，只有两种情况： ①若命题为真命题，命题为假命题，则. ②若命题为假命题，命题为真命题，则 综上所述，实数的取值范围为 16. 在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中. （1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围; （2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求解，又，解出的取值范围. （2）由题意知网店销售的利润，养羊的利润，得到恒成立，化简利用基本不等式求得最值. 【小问1详解】 由题意，得， 整理得，解得，又， 所以，故x的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知网店销售的利润为万元， 技术指导后，养羊的利润为万元， 则恒成立. 又，则恒成立. 又，当且仅当时，等号成立， ，即的最大值为6.5. 17. （1）已知，．求证：； （2）若实数，，，满足，试比较和的大小，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）， （2），当且仅当且，同号，即时等号成立． 【解析】 【分析】（1）利用作差法得，运用配方与实数非负性，证得不等式成立； （2）由条件作“1”的代换，将展开，再用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得：， ，当且仅当时等号成立， ， ，当且仅当且，同号，即时等号成立． 此时，满足． 18. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式. （2）若对任意，恒成立，求的最大值. （3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为1；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用的解集为，得出，，的关系，再解关于的不等式； （2）对任意，恒成立，等价于，且，借助均值不等式可得最大值； （3）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，结合均值不等式得到结果. 【详解】解：（1）∵的解集为， ∴，，，， ∴， ∴解集为， （2）∵对任意，恒成立， ∴，且 ∴，， 故， ∴，当，时取“”， ∴的最大值为1； （3）由对于一切实数恒成立，可得 即， 由存在，使得成立可得， ∴， ∴，又， ∴， 当且仅当时“”成立. 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1） 集合是“封闭集”，理由如下： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $