精品解析：广东清远市广州大学附属清远中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

广附清中2026—2027学年高一上学期高一数学第一次月考 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意得：， 故选：A. 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】“”不能推出“且”，比如，故充分性不成立； “且”可以推出“”，必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件 3. 对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B、C，通过取特殊值，即可判断正误；对D，根据选项条件可得，再由作差法，即可求解. 【详解】对于A，取，显然满足，此时，，所以A错误， 对于B，取，显然，此时，，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时，，所以C错误， 对于D，因为，得，显然不成立，所以，则， 又， 若，则，不满足，所以， 所以，即，所以D正确， 故选：D. 4. 已知集合，，定义集合，则中元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义求出，可取值，从而可求出，即可得解. 【详解】，， 由， 得可取，可取， 所以有个元素. 故选：D. 5. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ，； B. ，. C. ，. D. ，. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数定义域和对应关系是否相同来判断即可 【详解】选项A：的定义域为，而的定义域为， 故两个函数不同，所以A不正确； 选项B：的定义域为，而的定义域为， 且与相同， 故两个函数相同，所以B正确； 选项C：的定义域为或 ， 而的定义域为， 故两个函数不相同，所以C不正确； 选项D：的定义域为，而的定义域为， ， 故两个函数不同，所以D不正确； 故选：B. 6. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化为，进而结合基本不等式求出它的最值，然后求得答案. 【详解】由题意，对任意有 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为﹒ 又由对任意时，恒成立，，即的取值范围是. 故选：B. 7. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得. 【详解】由，得． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于x的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足，解得． 综上，实数的取值范围为或. 故选：B. 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解. 【详解】设（），（）， 因为，所以当时，； 当时，； 当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，，则 B. 命题：，的否定是：，. C. 是的充分不必要条件 D. 已知集合，，若，则实数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的运算、集合元素的互异性、存在量词命题的否定、充分必要条件的判断等知识点逐一分析选项即可. 【详解】对于A，根据并集的定义，集合，，则，故A错误； 对于B，原命题的否定为，，故B正确； 对于C，取，，满足，但，说明无法推出，因此不是的充分条件，故C错误； 对于D，由可得，因此或， 若，则，此时，集合元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，，同样不满足集合元素互异性，舍去，当时，，，满足，故，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数的值域为 C. 定义在R上的函数：满足.则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数定义域、值域与解析式的求法, 对各选项逐一判断. 【详解】对于A, 要使 有意义, 需 , 解得 . 所以 的定义域为 , A错误. 对于B, 因为 , 所以 , 从而 , 且当 时取到. 所以函数 的值域为 , B正确. 对于C, 由 ①, 将 换成 得 ②. 由 ① 得 , 代入 ② 得 ， 即 , 所以 , C正确. 对于D, 由 的定义域为 知 , 则 . 即 的定义域为 , D正确. 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 已知函数，则__________． 【答案】 6 【解析】 【详解】首先，因，代入对应的分段解析式，可得：.  又，代入对应的分段解析式，可得： . 因此. 13. 已知，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质求出目标式的范围. 【详解】依题意，， 由，得，而， 因此，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 对于任意实数，，，且对于，恒有，则________，________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据赋值法计算得出及进而得出，再结合赋值法及计算得出函数值. 【详解】由，取可知，即. 由，取可知，，即. 由，取，则，即. 取可知，即. 因为对于，恒有，则当时，. 由可得， 则. 又，则，. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合. （1）求； （2）若全集，求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由交集和并集的定义直接求解； （2）由补集和交集的定义直接求解 【小问1详解】 ， ，； 【小问2详解】 ，. 16. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【小问1详解】 取，得． 【小问2详解】 由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． 【小问3详解】 由题意得，故，解得， 又因为，因此． 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 18. 对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数. （1）当时，求函数关于参数的不动点； （2）若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围； （3）当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义即可求解方程得解， （2）根据不动点的定义得方程两根，进而根据判别式即可求解， （3）根据二次函数的零点分布可求解，或者分离参数，结合对勾函数的性质和图象求解. 【小问1详解】 当时， 令，可得，即 解得或， 所以的不动点为或， 【小问2详解】 由题意可知，对，关于的方程， 即恒有两个不等实根，从而恒成立 即关于的不等式恒成立，从而恒成立 解得 【小问3详解】 方法一：由题意可得方程关于的方程， 即在上恒有两个不等实根， 令，根据二次函数性质，须满足 ，解得 方法二：，即在上恒有两个不等实根， 令，则直线与函数在上有两个不同的交点， 由于在上单调递减，在上单调递增 且，，结合的图象可知 19. 给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． （1）若是的好子集，直接写出，； （2）求的好子集S的元素个数的最大值； （3）当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 【答案】（1），或， （2） （3）当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， ，． 【解析】 【分析】（1）根据好子集的定义写； （2）根据元素与不能同属于好子集，得到好子集的元素个数最大值； （3）根据（2）的结论判断即可. 【小问1详解】 因为是好子集，故中第m个坐标分量都是1， 故的第一个坐标分量是1，同理的第一个坐标分量是1， 而、与相异， 故为或. 【小问2详解】 中有个元素． 若元素与同时属于集合S， 则任选集合S中的另一个元素，那么，，中的第1，2，…，n个分量均不会同时为1， 从而S不是的好子集． 因此当S是的好子集时，其元素个数． 取，则S是的好子集，且． 综上，的好子集S的元素个数的最大值为． 【小问3详解】 当时，S中的元素必有某一个坐标分量的值均为1， 即，． 证明：由（2）知，，中的元素与恰有一个属于集合S， 则对于的好子集S中任意两个元素，， 都有元素 ． 若不然，假设存在S中的两个元素x，y，使得，则 ． 但元素x，y，的第k个坐标分量，，不可能同时为1， 这与S是的好子集矛盾！因此． 设S中所有元素的乘积为，则由命题知． 由于元素，故 所以z必定存在某个分量，此时S中所有元素的第i个分量均为1． 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用反证法证明当时，必存在一个公共坐标位置，使得所有元素的该分量均为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广附清中2026—2027学年高一上学期高一数学第一次月考 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，，定义集合，则中元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. ，； B. ，. C. ，. D. ，. 6. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，，则 B. 命题：，的否定是：，. C. 是的充分不必要条件 D. 已知集合，，若，则实数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 函数的值域为 C. 定义在R上的函数：满足.则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ） A. 若A为一个“封闭集”，则 B. 若A为一个“封闭集”，且，则 C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分.共15分） 12. 已知函数，则__________． 13. 已知，则的取值范围为______. 14. 对于任意实数，，，且对于，恒有，则________，________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合. （1）求； （2）若全集，求. 16. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 17. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 18. 对函数，若，使得成立，则称为关于参数的不动点.设函数. （1）当时，求函数关于参数的不动点； （2）若，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围； （3）当时，函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围. 19. 给定正整数，设集合．对于，称为的第i个坐标分量．若且同时满足以下条件，则称S是的好子集：①集合S中的元素个数不少于4；②对于S中任意的三个元素，，，存在使得，，的第m个坐标分量都是1． （1）若是的好子集，直接写出，； （2）求的好子集S的元素个数的最大值； （3）当取到（2）中的最大值时，求出好子集S的具体形式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $