精品解析：广东省清远市南阳中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

南阳中学2025-2026学年第一学期第1次月考 高一级数学科试卷 一、单选题 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A B. C. D. 2. 集合，，若，则（ ） A 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 3 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（  ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根充要条件是 三、填空题 12. 用列举法表示集合______． 13. 若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为__________． 14. 关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围_________ 四、解答题 15. 已知集合，求： （1）； （2）. 16. 求下列一元二次不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求的解集. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. （3），解关于的不等式. 19. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳中学2025-2026学年第一学期第1次月考 高一级数学科试卷 一、单选题 1. 给出下列关系：①；②；③；④，其中错误的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断出各数所属的数集，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于①：，所以①错误； 对于②：，所以②错误； 对于③：因为是无理数，即，所以③错误； 对于④：因为，所以④正确； 综上所述：错误的个数是3. 故选：C. 2. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】由集合，，可得. 故选：A. 4. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得. 【详解】命题：，，则为，. 故选：A 5. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 7. 若命题“”是假命题，则可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式得到函数的最小值，即可得到命题为假命题时求解. 【详解】因为时，，当且仅当时取等， 则当命题“”为真命题时， 所以命题为假命题时. 故选：D. 8. 一元二次不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合二次函数的性质，开口向上，判别式小于零解不等式组即可； 【详解】由题意可得， 即， 故选：A. 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图验证B，C，D选项，再解出集合，利用交集补集定义判断A选项. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断A；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断C； 【详解】由，得，因为，所以，解得， 又，所以，故A正确； 因为，故，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； ， 当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为0 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个正根的充要条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，直接解方程判断，对于B，根据必要条件的定义判断，对于CD，根据根的分布和充要条件的定义判断. 【详解】对于选项，方程为，方程没有实数根，所以选项错误； 对于选项B，如果方程没有实数根，则，所以是的必要条件，所以选项B正确； 对于选项C，如果方程有两个正根，则，所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项错误； 对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则，所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 13. 若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为__________． 【答案】8cm2 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则， 直角三角形的面积，取等条件为， 故直角三角形面积的最大值为. 故答案为： 14. 关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围_________ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【详解】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，求： （1）； （2） 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合，再由集合的交并补运算求集合. 【小问1详解】 由，而， 所以，； 【小问2详解】 由或，，所以. 16. 求下列一元二次不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因式分解得，再解不等式即可； （2）直接求解即可； （3）由判别式判断即可． 【小问1详解】 或. 所以所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 ， 所以所求不等式的解集为：； 【小问3详解】 因为， 由， 所以所求不等式的解集为：． 17. 已知集合，集合. （1）若，求实数m取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，则，然后求解即可； （2）由题知是的真子集，再分和讨论求解． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以实数m的取值范围． 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，,可得； 当时，，即， 又，解得，(等号不同时成立） 又，所以， 综上，实数m的取值范围为． 18. 已知函数. （1）若，求的解集. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. （3），解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得，再对参数分、、、、的情况讨论，分别求出不等式的解集； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 解：∵对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立， ①若，解得，不符合题意（舍）， ②若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 解：，即， ∴， ①当时，解得， ②当时，有， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述：当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 19. 如图，设矩形周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. （1）当时，求的值； （2）设的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 如图，由矩形周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. 【小问2详解】 如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $