精品解析：上海市第四中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二数学 2026.10.15 （满分120分 考试时间90分钟） 一、填空题（每题4分，满分48分） 1. 复数的虚部为_________． 【答案】 【解析】 【详解】复数的标准代数形式为，其中，实数称为该复数的虚部. 复数可改写为，对应， 因此该复数的虚部为. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 3. 已知的角对应边长分别为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 4. 已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 5. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图连接C1D，则C1D∥AB1， ∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．，AA1=1， 在△BC1D中，，，， ∴cosBC1D．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：． 6. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出底面圆半径及圆锥的母线即可求出侧面积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为， 依题意，，解得，则， 所以该圆锥的侧面积. 故答案为：. 7. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 8. 已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小 【详解】设点是二面角内的一点，过P分别作直线的平行线，且垂直于于，垂直于于，设平面交直线于点，连接，，由于，，，， 故，，又，平面， 故平面，又，平面，故，， 所以为二面角的平面角， 因为直线所成角的大小为，所以或， 当时，如图 因为，所以； 当时， 如图 因为，所以; 综上，二面角的大小为或 故答案为：或 9. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线相交； ②直线与直线平行； ③直线BM与直线是异面直线； ④直线与直线成角. 【答案】③④. 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，确定各点位置，根据异面直线的定义可判断①②③，根据异面直线所成角的定义，求出直线与直线所成的角，判断④. 【详解】如图，将正方体的平面展开图，复原为正方体， 对于①，平面，平面,平面, 故直线与直线是异面直线，①错误； 对于②，平面，平面,平面, 故直线与直线是异面直线，②错误； 对于③，平面平面,平面,平面, 故直线BM与直线不相交，连接,则,而相交， 故不平行，否则，则，不合题意， 故直线BM与直线是异面直线，③正确； 对于④，连接,则为正三角形，则, 由于，则即为直线与直线所成角， 即直线与直线成角，④正确， 故答案为：③④. 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式求得正确结论. 【详解】如图所示，是圆锥的轴截面. , 所以, 所以任意截面的面积为， 当时，截面面积最大为. 故答案为：2. 11. 如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 12. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， ， 四棱锥O−EFGH的高3cm， ∴． 又长方体的体积为， 所以该模型体积为， 其质量为． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 二、选择题（每题4分，满分16分） 13. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据且与不共线求出的范围可得答案. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选:C. 14. 设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分别得出以、两边为轴旋转形成的几何体，根据体积公式求解即可. 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 15. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可知①为真命题，利用线面垂直可得②为真命题. 【详解】因为M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以， 因为平面ABD，平面ABD，所以①直线MN恒与平面ABD平行正确； 如图，取中点，则（菱形对角线垂直）， 又，且两直线在平面内，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以②正确； 故选：． 16. 如图所示，三棱锥的高，，，分别在和上，且，，图中的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，则，可得，求出，可得，从而可得结果. 【详解】因为，所以， 因为面，而在上，所以面， 因为，所以， 因为，所以， 从而可得， 函数图象是开口向下的抛物线一部分，故选A. 【点睛】本题主要考查棱锥的体积、空间线面关系，考查了函数的图象，考查了空间想象能力函数思想的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于难题. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17. 如图,在正四棱锥中,. （1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小; （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 设底面正方形ABCD的中心为O,连接AO,PO,可得平面ABCD,则为侧棱PA与底面ABCD所成角,设出正四棱锥侧棱,根据角度关系,找到各个长度,求出夹角余弦值,即可求出夹角; (2) 取AB的中点为E,连接PE,OE,即可证明为二面角的平面角,根据(1)中的数量关系,求出长度及夹角余弦值,即可得出结果. 【小问1详解】 解:由题知正四棱锥, 设底面正方形ABCD的中心为O, 连接AO,PO, 所以在正四棱锥中,平面ABCD, 即点P在平面ABCD上的投影为O, 故为侧棱PA与底面ABCD所成角, 在中,,, 故为等边三角形,设其边长为, 因为平面ABCD,平面ABCD, 故, 在中,,, 所以, 即, 故侧棱PA与底面ABCD所成角的大小; 【小问2详解】 取AB的中点为E,连接PE,OE, 在正方形ABCD中,, 在等边中,, 故为二面角的平面角, 因为平面ABCD,平面ABCD, 故, 在中,,, , 即, 故二面角的大小为. 18. 平面向量，，函数. （1）若，求的值域： （2）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，求面积． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换，将函数化简为 ；再根据自变量的范围求出整体相位的范围，结合正弦函数性质求得值域； （2）由结合三角形内角范围求出角，并利用余弦定理建立方程求出边长；最后代入三角形面积公式，通过代数恒等变形求得最终面积. 【小问1详解】 由题意，向量，， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，即， 因为，所以， 所以，解得， 此时， ， 在中，已知，， 由余弦定理，得， 化简得， 解得 （舍去负根）， 所以的面积 . 19. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作，垂足为，连接，确定直线与平面所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. （1），求几何体的体积； （2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设为圆柱底面半圆弧的一个点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 【答案】（1） （2），该亭子满足建筑要求 【解析】 【分析】（1）根据和圆锥的高可求出圆锥的底面半径，利用柱体，锥体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可. 【小问1详解】 圆柱的体积， 由于，则圆锥的底面半径 圆锥的体积为， 几何体的体积； 【小问2详解】 连接，，根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，，， 圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为. 又，因为，， 所以，故该亭子满足建筑要求. 21. 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：当，则条棱长均为1，故四面体为正四面体， 若为的中点，而为等边三角形，则， 由，平面，则平面， 由平面，则； （2）时，时； （3）条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 【解析】 【分析】（1）由题设四面体为正四面体，为的中点，得，再应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）由题意四面体中有条棱，其它条棱长为1，首先找到二面角对应的平面角，求出相关线段长，再应用余弦定理求其大小； （3）根据对称性，讨论条对边的棱长为、条邻边的棱长为两种情况，根据三角形边的关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当，则四面体中有条棱，其它条棱长为1， 如图为的中点，均为等边三角形，则， 故为二面角的平面角，， 此时， 当时， 当时； 【小问3详解】 当，根据对称性有如下两种情况， 若条对边的棱长为，不妨设为，则， 如下图为的中点，其中为全等的等腰三角形且， 所以，则，得， 综上，； 若条邻边的棱长为，不妨设为，则， 如下图为的中点，其中均为等腰三角形且，则， 所以，则，得， 综上，； 所以，条对边的棱长为时；条邻边的棱长为时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 2026.10.15 （满分120分 考试时间90分钟） 一、填空题（每题4分，满分48分） 1. 复数的虚部为_________． 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 3. 已知的角对应边长分别为，则__________. 4. 已知向量，，，的夹角为，则______. 5. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 6. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 7. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为__________. 8. 已知二面角，若直线，直线，且直线所成角的大小为，则二面角的大小为_________. 9. 如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是___________. ①直线与直线相交； ②直线与直线平行； ③直线BM与直线是异面直线； ④直线与直线成角. 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为2，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为______. 11. 如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 12. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 二、选择题（每题4分，满分16分） 13. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 15. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①为假命题，②为假命题； 16. 如图所示，三棱锥的高，，，分别在和上，且，，图中的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与的变化关系，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 17. 如图,在正四棱锥中,. （1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小; （2）求二面角的大小. 18. 平面向量，，函数. （1）若，求的值域： （2）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，求面积． 19. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面； （2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 20. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米. （1），求几何体的体积； （2）如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设为圆柱底面半圆弧的一个点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 21. 已知四面体的6条棱中，有条棱长为，有条棱长为1． （1）若，证明：； （2）若，求二面角的大小（用含的式子表示）； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $