精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

华二附中高二月考数学试卷 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 4. 在半径为的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________． 5. 已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为______． 6. 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______． 7. 已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 8. 如图所示，是空间四边形，分别是四边上的点，并且平面，平面，，，当是菱形时，的值是______． 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 10. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______ 11. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是______.（仰角为直线与平面所成的角） 12. 如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点、、到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是______． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 14. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 16. 正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（ ） ①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）： ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三．解答题（共78分） 17. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，已知四棱锥中，平面，四边形是矩形，，分别为，的中点，，，． （1）求直线与平面所成角大小； （2）求证：平面． 19. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 20. 如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． （1）试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 21. 如图，在四面体中，，，是中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求二面角的正弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二附中高二月考数学试卷 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 异面直线所成的角的取值范围：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3. 如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【解析】 【分析】连接，得到四点共面，推得不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与之异面的面对角线条数. 【详解】如图，连接， 因为六边形为正六边形，所以，因， 则，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而，又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 4. 在半径为的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，其轴截面的顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，由已知可得，在直角三角形或直角三角形中，可得． 【详解】作出圆锥的轴截面， 由题意， ，取中点，连结，则，，光源高度． 故答案为： 5. 已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，高为，则该圆台的母线长为______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆台上底面半径，下底面半径，高，母线长为. 由勾股定理得：. 6. 在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面， 平面与平面的交线必过且平行于， 故平面经过的中点，连接，得截面， 易知截面是边长为的菱形，其对角线， ，截面面积． 故答案为：． 7. 已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的________条件 【答案】充要 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理即可判断. 【详解】充分性：，，， 由 可得：； 必要性： 由可得：. 8. 如图所示，是空间四边形，分别是四边上的点，并且平面，平面，，，当是菱形时，的值是______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为平面，在平面内，所以， 所以，所以，同理得，又， 所以，所以，所以，所以①， 又②，，所以得． 9. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的大小等于_________________．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及二面角平面角的定义，再利用异面直线所成角的定义及锐角三角函数的正切函数，结合反三角函数即可求解. 【详解】取的中点，作平面，连接，如图所示 由于，即有为侧面与底面所成二面角的平面角.则， 设，则, 将平移到，为异面直线与所成角. 则,所以. 故答案为：. 10. 已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为_______ 【答案】． 【解析】 【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围. 【详解】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为， 连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化， 如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为； 如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 11. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是______.（仰角为直线与平面所成的角） 【答案】 【解析】 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图， 则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中， ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 12. 如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．若顶点、、到平面的距离分别为1、2、4，那么其余四个顶点到的距离构成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据、、到平面的距离分别为1、2、4，可求出任两个点连线中点到平面的距离，通过中点距离转化，即可求出相关顶点到平面的距离． 【详解】因为、、到平面的距离分别为1、2、4， 所以的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，所以到平面的距离为； 的中点到平面的距离为，则到平面的距离为； 因此其余四个顶点到的距离构成的集合是． 二．选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中线面关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，若，，则或， 当时，，则或者与斜交或者， 当时，，则或者与斜交或者，故A错误； 对于B，若，，，可在取作为的法向量， 由于，故，即，则，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行可能相交，也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误； 故选：B 14. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，. 所以对A：，但直观图中，，故A错误； 对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误； 对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误； 对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确. 15. 如图，正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、、CD的中点，连接、，空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段、上，则称M、N两点可视，下列选项中与点可视的为（ ）． A. 点Q B. 点P C. 点B D. 点R 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】A选项，四边形是平行四边形，，得点平面，得与为异面直线， 四边形是平行四边形，且平面，得点平面，得与为异面直线，根据题意，得两点可视，故A对； B选项：四边形是平行四边形，与相交，故B错； C选项：四边形是平行四边形，与相交，故C错； D选项：四边形是平行四边形，与相交，故D错； 故选：A. 16. 正方体的剖分是指若干多面体内部两两无交集（即无公共点），且并集（即拼接在一起）恰好等于原正方体，试判断下列两个命题的真假（ ） ①可将一个正方体剖分成5个四面体（不要求全等）： ②可将一个正方体剖分成3个全等的四棱锥． A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】命题①：正方体能够拆成中间 1 个正四面体加 4 个角落直角四面体，合计 5 个四面体，故①为真；命题②：从正方体一个顶点出发，可分出 3 个底面为正方形、高相等的全等四棱锥，故②为真. 【详解】①在正方体 中，取内部正四面体 ，此时正方体剩余4个“角”，每个角恰好是一个直角四面体，即四面体 、四面体、四面体、四面体，4个角的四面体与中间正四面体仅以面为界，内部互不重叠，因此正方体可以剖分成5个四面体.①是真命题. ②取正方体的一个顶点，如，以与该顶点相邻的三个正方形面分别为底面，作三个四棱锥、、，它们均为底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 设正方体的棱长为，则三个四棱锥底面均为边长为 的正方形，高均为，可通过绕体对角线 旋转120°彼此重合，因此全等， 所以正方体可以剖分成3个全等的四棱锥.②是真命题. 三．解答题（共78分） 17. 已知直四棱柱，，，，，． （1）证明：直线平面； （2）若该四棱柱的高为4，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）根据题意可知， 注意到平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又直线平面， 所以直线平面； （2）​  【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明两平面平行，再借助面面平行的性质推导线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的数量积与模长，代入夹角公式求解；注意异面直线所成角取向量夹角余弦的绝对值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为原点，分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系，由题知高， 则，，， 得向量：，. 计算数量积和模长：，， . 设异面直线与所成角为()，则​ . 异面直线所成角为. 18. 如图，已知四棱锥中，平面，四边形是矩形，，分别为，的中点，，，． （1）求直线与平面所成角大小； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）如图，取的中点，连接、， 四边形是矩形，， ， 分别为的中点，，， 又为中点，，，， 则四边形是平行四边形，； 平面，平面，， 四边形为矩形，， ，平面， 又平面，； 为中点，为等腰直角三角形，； 由且平面 ， 可证：平面， 又，. 【解析】 【分析】（1）连接，得到是在平面上的投影，再由几何关系找到线面角求解对应角的三角函数值； （2）取的中点，连接、，利用线面垂直的判定定理进行证明. 【小问1详解】 连接，因为平面，所以是在平面上的投影， 所以即为直线与平面所成角； 因为平面，平面，平面， 所以，； 又因为，所以为等腰直角三角形，从而， 因为四边形为矩形，所以，则， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角大小为. 【小问2详解】 略 19. 如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，而平面，平面， 则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）连接，作于，证明平面，再计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，作于，由（1）知平面，平面，则， 而平面，则平面， 显然，，则， 而，于是≌，因此， 所以点到平面的距离为. 20. 如图1，正的边长为，是边上的高，，分别是和边上的点，且满足，现将沿翻折，使平面平面，如图2． （1）试判断翻折后直线与的位置关系，无需说明理由； （2）求二面角的大小； （3）若异面直线与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线段比例关系，根据平行线分线段成比例定理，可得； （2）利用面面垂直的性质定理证明平面，作出二面角的平面角，在直角三角形中计算该角的正切值，从而得到二面角大小； （3）由，得到（或其补角）为异面直线与所成角，利用余弦定理求出的表达式，代入异面直线夹角的余弦公式建立关于的方程，解方程求得的值. 【小问1详解】 ，理由如下： 在中，， 故翻折后，直线与的位置关系为； 【小问2详解】 过D点作于点G，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，，，， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； 【小问3详解】 因为，所以（或其补角）是异面直线与所成的角， 因为，所以， 又，， 所以 ， 所以．即， 解得. 21. 如图，在四面体中，，，是中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的最大值； （3）求二面角的正弦值的最小值． 【答案】（1）连接，，因为，是中点，由等腰三角形三线合一得. 在中，，，故，斜边中线, 在中，，是中点，故斜边中线. 在中,, 由勾股定理逆定理得，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合等腰三角形三线合一与直角三角形斜边中线性质，用勾股定理逆定理证明线线垂直； （2）先证面面垂直，将线面角转化为点到直线的距离与棱长的比值，利用垂线段最短求最值； （3）建立空间直角坐标系，用参数表示动点坐标，通过法向量推导二面角正弦的表达式，结合三角函数值域求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，，且，平面，因此平面， 又平面，故平面平面，交线为， 过作于，由面面垂直的性质得平面，则即为直线与平面所成的角，记为， 在中，，由垂线段最短得，当且仅当时取等号， 因此， 又，故的最大值为，即直线与平面所成角的最大值为. 【小问3详解】 以为原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，为中点，可知在以为直径的圆（平面内）上， 设，且，，（当时，重合，当时，重合，都构不成四面体）， 设平面的法向量为，，， ，得 设平面的法向量为，向量， ， 得， 所以， ， 设二面角B－AD－C的平面角为，， 则， 所以， 当取最小值，即或时，分母最大为，此时取得最小值， 即二面角的正弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $