精品解析：福建省漳州第一中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

2026-2027学年高二上学期10月份质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式逆向分解条件即可求解. 【详解】由题意得，即，即. 2. 已知数列，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过递推，得到数列的周期为求解. 【详解】因为数列中，，且， 所以， 所以数列的周期为，则， 故选：B 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 4. 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 5. 已知数列满足，，则数列前2025项和为（ ） A. 1013 B. -1011 C. 1014 D. -1012 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果. 【详解】由题意可知，当为偶数时，， 因此，数列前项和为. 故选：C. 6. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 7. 一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第次着地后，它经过的总路程超过5m，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为， 即，结合选项，检验时，，时，成立， 所以的最小值是. 故选：C 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列，其前项和记为，则（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等差数列，且，则 C. 若是等比数列，且，其中为常数，则 D. 若是等比数列，则也是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前项和公式判断BC选项. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的； B选项中，设等差数列公差为，由前项和， 可知，所以B是正确的； C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为， 由等比数列前和公式得，则有，， 则常数，所以C是正确的； D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：BC． 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 11. 已知数列满足，则下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. 是等差数列； C. 是等比数列； D. 数列前项和为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据数列的首项以及递推公式，逐项计算，可得答案；对于B，利用等差数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于C，利用等比数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于D，根据BC的结论，利用分组求和以及等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】对于A，由，且，则， ，，，， ，故A正确； 对于B，由， 即，则数列为等比数列，故B错误； 对于C，由， 则数列为等比数列，故C正确； 对于D，由，则等比数列的首项为，公比为； 由，则等比数列的首项为，公比为. ，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 当时，由， 由，这与相矛盾，所以不成立， 当时，， . 13. 已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式直接两边取倒数，可求得数列是等差数列，可求得通项公式. 【详解】因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. 故答案为： 14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 【答案】12182 【解析】 【分析】根据新数列的结构特点，分组求和即可. 【详解】对于数列，由可得，又， 所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 又， 新数列结构为：后插1项，后插3项，…，后插项，到， 总项数为. 当时，到共项， 和为， 插入的到的和， 第92到100项为后插的9项，即到，其和为， 故. 故答案为：12182 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列，然后利用分组求和法和等差数列，等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 即. 16. 已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 即， 又因为，所以，即. 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 则，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列的通项公式； （2）设数列公差为，利用已知求得数列的通项公式.法一：当时，，当时，，进而计算可求得.法二：记数列前项和为，利用等差数列的前项和公式求得，结合，可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设数列公差为， 由（1）知，， 因为为与的等差中项，所以， 又因为，则. 所以. 解法一： 当时，， 当时，， . 综上，数列的前项和. 解法二： 记数列前项和为，则 . 又因为， 当时，. 当时， . 综上，数列的前项和 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，故， 故， ， 两式相减，得 ， 因此． 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 19. 已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. （1）若等差数列是“”数列，求的值； （2）若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据可直接得到结果； （2）根据“”数列定义可推导得到，由等比数列通项公式可求得，根据与关系可求得； （3）令，可推导得到，分别讨论和的情况，构造关于的表达式后结合双勾函数即可求得结果. 【小问1详解】 等差数列是“”数列，， ，存在，. 【小问2详解】 正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . 【小问3详解】 由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期10月份质量检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知数列，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则数列前2025项和为（ ） A. 1013 B. -1011 C. 1014 D. -1012 6. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第次着地后，它经过的总路程超过5m，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列，其前项和记为，则（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等差数列，且，则 C. 若是等比数列，且，其中为常数，则 D. 若是等比数列，则也是等比数列 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数n为14 11. 已知数列满足，则下列说法中，正确的是（ ） A. ； B. 是等差数列； C. 是等比数列； D. 数列前项和为. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前n项和为，若，，则________． 13. 已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 16. 已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 19. 已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. （1）若等差数列是“”数列，求的值； （2）若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $