精品解析：福建省福州外国语高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

福州市福外高级中学2026-2027学年度上学期 高二年级第一次月考 数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为. 故选：D 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，利用坐标公式计算求解. 【详解】，，，，. 故选：D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，使用公式求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为，由得到倾斜角为135°. 故选：D. 4. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系,如图所示，则，从而， 故点到直线的距离是. 故选：A. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，根据向量投影公式求出向量在向量上的投影向量即可. 【详解】， ， ， 向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】如图，分别在平面内构造矩形、，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，又平行且相等，所以四边形为矩形， 因为二面角等于，，，所以， 因为，，所以在中， 因为，则 7. 若，，分别是的三个内角，，的对边，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出两直线的斜率，结合正弦定理，可验证 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为. 在中，由正弦定理得， 所以，所以两条直线垂直 故选：C 8. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】设平面的法向量为，则， 所以，令，可得，，即，， ，故点到平面的距离为． 故选：B. 二、多选题（共18分，每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围. 【详解】选项A，因为，所以，，解得，A正确. 选项B，因为，所以设，解得或，B错误. 选项C，时，，，，， 所以，所以夹角是，C错误. 选项D，，， 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，， 所以，D正确. 10. 已知直线，，下列命题中正确的有（ ） A. 当时，与重合 B. 若，则 C. 过定点 D. 一定不与坐标轴平行 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D． 【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确； 当时，有且，解得，故B错误； 因为，所以直线过定点，故C正确； 当时，直线与x轴平行，故D错误； 故选：AC． 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上的动点（不与端点重合），则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 当平面时， D. 当为的中点时，点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量的方法进行计算、判断. 【详解】如图：以为原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，（）. 对A：假设，，，共面，则存在，使得，且， 即，解得：，即.故只有，重合时，才有直线与共面.而条件不与线段端点重合，所以与必为异面直线，故A对； 对B：若平面，则，故B错误； 对C：当时，设平面的一个法向量，则 ，取可得：，此时，所以与不垂直，即平面不成立，故C错误； 对D：当为中点时，设到平面的距离为，则.而，在中，，，所以边上的高为：，所以，故，故D正确. 故选：AD 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 【答案】## 【解析】 【分析】计算得，即可得到倾斜角大小. 【详解】设直线的倾斜角为，则，，则. 故答案为：. 13. 直线的倾斜角的变化范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率为，由的取值范围可知：，进而得到倾斜角的变化范围. 【详解】因为直线的斜率为， 由的取值范围可知： 因此倾斜角的变化范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查了直线的斜率和倾斜角的关系，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 14. 在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解 【详解】不妨设 取平面xOy的法向量， 设平面α的法向量为， 则 即3x＝4y＝az，取z＝1，则. 又∵a>0，∴ 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，由坐标计算模长. （2）分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为0建立等量关系，从而求出参数的值. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 16. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【小问1详解】 由图可得，; 【小问2详解】 由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 17. 已知的三个顶点分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程． （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其一般式方程． 【小问1详解】 如图， 由于分别是的中点， 所以，所以， 直线的方程为，即． 【小问2详解】 因为， 所以边的垂直平分线的斜率为2，又， 所以的垂直平分线的方程为， 所以边的垂直平分线的一般式方程为． 18. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 【答案】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)建系设参，借助平面法向量与线面角公式列式，求解线段长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，所以设，则， 有， 因为与平面所成角的大小为，所以， 所以，则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州市福外高级中学2026-2027学年度上学期 高二年级第一次月考 数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 4. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 若，，分别是的三个内角，，的对边，则直线与直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 无法确定 8. 在四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分，每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 10. 已知直线，，下列命题中正确的有（ ） A. 当时，与重合 B. 若，则 C. 过定点 D. 一定不与坐标轴平行 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上的动点（不与端点重合），则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 当平面时， D. 当为的中点时，点到平面的距离为 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 若直线的一个方向向量，则的倾斜角等于_________. 13. 直线的倾斜角的变化范围是________. 14. 在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 四、解答题（共77分） 15. （1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 16. 如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. （1）以为基底表示； （2）若，且，，，求. 17. 已知的三个顶点分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的一般式方程． 18. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上． （1）求证：平面； （2）已知与平面所成角的大小为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $