贵州毕节市七星关区第三实验学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷A卷

七星关区第三实验学校2026秋第一次教学质量检测 九年级数学测试卷（A卷） 第I卷（选择题） 一．选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．如图，的对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则是菱形 B．若，则是正方形 C．若，则是矩形 D．若，则是正方形 9．如图，在中，为中点，在上，且，若，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 11．八月份上映电影《欢迎来龙餐馆》公映的第一天票房约为亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，点、分别是边、的中点，连接、、．若菱形的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13．如果一元二次方程有一个解是，那么这个一元二次方程可能是________（只写一个）． 14．如图，菱形的周长为，是的中点，是的中点，连接，则________． 15．若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 16．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为________． 三．解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）解下列不等式及方程： （1） （2）． 18．（10分）如图，已知矩形，过点作交的延长线于点．求证：． 19．（10分）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）求四边形的面积． 20．（10分）关于的一元二次方程有两个不等实根，． （1）求实数的取值范围； （2）若方程两实根，满足，求的值． 21．（10分）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为“幸福”方程． （1）判断方程是否为“幸福”方程，并说明理由． （2）已知关于的“幸福”方程的一个根是，求这个“幸福”方程． 22．（10分）如图，在中，，是两锐角平分线的交点，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形． 23．（12分）某超市以每箱元的进价购进一批水果，当该水果售价为元/箱时，六月销售箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价元，月销量在八月销量的基础上增加箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利元？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，；动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． （1）________，________，________，________（用含的代数式表示） （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为________时，能够使四边形成为菱形，说明理由． 25．（12分） 已知，如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点． （1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系：________． （2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论） 参考答案与解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B C C B C B C D B 二、填空题答案 13．答案不唯一，如（或、等，有一个解为 1 即可）；　14．；　15．；　16． 各题详细解析 1．【答案】 【解析】一元二次方程须满足：①只含一个未知数；②最高次数为 2；③整式方程且二次项系数不为 0。A 项中可能为 0，不一定是；B 项含两个未知数 x、y；D 项最高次数为 3。故选 C。 2．【答案】 【解析】先测两组对边相等，判定四边形是平行四边形；再测两条对角线相等，依据“对角线相等的平行四边形是矩形”。故选 B。注意 D 项“对角线相等的四边形是矩形”缺少平行四边形这一前提，是错误的。 3．【答案】 【解析】将方程整理为一般式：。二次项系数为 4，一次项系数为 ，常数项为 1。注意：求系数必须先化为一般式，且系数要带符号。故选 C。 4．【答案】 【解析】平行四边形的对边相等，故 一定成立；、、 均只在菱形（或特殊平行四边形）中成立，不具一般性。故选 B。 5．【答案】 【解析】把 代入 ，得 ，解得 。故选 C。 6．【答案】 【解析】因为四边形 是矩形，所以 。因为 ，直线 与 的夹角等于 （两直线平行，同位角相等），所以 。故选 C。 7．【答案】 【解析】移项得 ，配方：两边加上一次项系数一半的平方 4，得 ，即 。故选 B。 8．【答案】 【解析】A 项，（一个角是直角）判定平行四边形是矩形，不是菱形；B 项， 判定平行四边形是菱形，不是正方形；D 项，（一组邻边相等）判定平行四边形是菱形；C 项“对角线相等的平行四边形是矩形”正确。故选 C。 9．【答案】 【解析】因为 ，所以 是直角三角形。又 为斜边 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 。在 Rt 中，由勾股定理：。故选 B。 10．【答案】 【解析】由根与系数的关系：，，所以一次函数为 ：，图象经过第二、四象限方向下降；，与 y 轴交于正半轴。故图象过第一、二、四象限，选 C。 11．【答案】 【解析】第一天票房 2 亿元；第二天为 ；第三天为 。三天累计：。故选 D。 12．【答案】 【解析】连接 。菱形面积为 8，对角线 将其平分：。因为 是 的中点，所以 是 的中线，；同理 是 的中点，。所以四边形 的面积为 。又 、 分别是 、 的中点，所以 是 的中位线，，，相似比为 ，故 。四边形 被对角线 分成 与 ，所以 。故选 B。 13．【答案】（答案不唯一） 【解析】只要是一元二次方程且有一个解为 1 即可。例如 （解为 ）；或 ；或 等。写出一个即可。 14．【答案】 【解析】菱形周长为 20，则边长 。在 中， 是 的中点， 是 的中点，所以 是 的中位线，。 15．【答案】 【解析】由一元二次方程的定义：，解得 ；又二次项系数 ，即 。故 。 16．【答案】 【解析】因为 ，，，满足 ，所以 是直角三角形，。因为 ，，所以四边形 是矩形，故 。当 时 最短，此时 。所以 的最小值为 。 17．【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）去分母（两边乘 4）：，即 ，移项合并得 。 （2），，，，，即 ，。 18．【答案】证明见解析 【解析】因为四边形 是矩形，所以 ，。因为 在 的延长线上，所以 ；又 ，所以四边形 是平行四边形（两组对边分别平行），故 （平行四边形对边相等）。又矩形对角线 ，所以 。证毕。 19．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为四边形 是平行四边形，所以 ，。因为 ，且 ，即 ，所以 是直角三角形，，即 。对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形 是菱形。 （2）菱形面积等于对角线乘积的一半：。 20．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由两不等实根，判别式 ，展开得 ，即 ，解得 。 （2）由根与系数的关系：，。由 ，得 ，即 ，解得 ，。结合（1）中 ，舍去 ，故 。 21．【答案】（1）是；（2） 【解析】（1）在 中，，，，，满足“幸福”方程的定义，所以是“幸福”方程。 （2）设该“幸福”方程为 。由“幸福”条件：，即 。又 是方程的根，代入得 ，即 。联立两式：，解得 ，进而 。故这个“幸福”方程为 。（验证：，等式成立； 时 ，等式成立） 22．【答案】证明见解析 【解析】因为 ，，， 所以 ，四边形 是矩形。 因为 是 与 平分线的交点，即 是 的内心， 所以 也在 的平分线上，由角平分线上的点到角两边距离相等，得 。 有一个角是直角且邻边相等的矩形是正方形， 故四边形 是正方形。证毕。 23．【答案】（1）；（2）降价 5 元 【解析】（1）设七、八两月的月平均增长率为 。由题意：，即 ，开方得 （负值舍去），所以 。 （2）设每箱降价 元，则九月销量为 箱，每箱利润为 元。 由题意：， 展开整理：，即 ， 因式分解得 ， 解得 ，（不合题意舍去）。 故当该水果每箱降价 5 元时，超市九月获利 4250 元。 24．【答案】（1），，，；（2）；（3） 【解析】（1）由运动关系直接写出：，，，（）。 （2）因为 ，所以 。要使四边形 是平行四边形，只需 ，即 ，解得 。 （3）设 的速度为 ，则 。 若四边形 是菱形，则它先是平行四边形，故 ，即 ； 又菱形邻边相等，取 。 在 Rt 中，，， 由勾股定理 。 令 ，两边平方：，解得 。 此时 ， 故 。 即当 的速度为 单位/秒时，四边形 能成为菱形。 25．【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【解析】（1）因为 ，，， 所以 （SAS），得 。 又 ，，由等腰三角形三线合一， 为 中点。 在 与 中：， 公共，， 所以 （AAS），故 。 （2）成立。 证明：将 绕点 顺时针旋转 ， 与 重合， 落到 的延长线上点 处，则 ，，。 因为 ， 所以 ， 故 。 在 与 中：，，， 所以 （SAS）。 全等三角形对应边上的高相等： 中 ， 中 即 ， 所以 。故（1）中的数量关系仍成立。 （3）由（2）的结论 ， 设 。在 Rt 中，； 在 Rt 中，。 在 中，由余弦定理，。 因为 ，，所以 。 两边平方整理：。 设 ，展开得 ， 即 ， 解得 或 。 当 （即 ）时， ，，，与三角形三边关系矛盾，舍去。 故 。（检验：，，，验证成立） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $