第五章 一元一次方程单元提升 2026～2027学年人教版数学七年级上册

第五章 一元一次方程【单元提升卷】七年级上册人教版 2026~2027学年 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设 a,b,c 为互不相等的数，且 b=3/4a+1/4c，则下列结论正确的是（　　） A．a>b>c B．c>b>a C．a-c=4(a-b) D．a-b=3(b-c) 【答案】 C 【解析】 由 b=3/4a+1/4c 两边乘 4 得 4b=3a+c。 所以 a-b=1/4(a-c)，即 a-c=4(a-b)，故 C 正确。 因 a 与 c 的大小关系未知，a>b>c、c>b>a 不一定成立；又 b-c=3/4(a-c)，所以 a-b=1/3(b-c)，D 错误。 2．（传统文化）程大位所著《算法统宗》中有一道题：一百个和尚分一百个馒头，如果大和尚每人分 4 个，小和尚 4 人分 1 个，正好分完。设大和尚有 x 人，依题意列方程得（　　） A．4x-100-x/4=100 B．x/4+4(100-x)=100 C．4x+4(100-x)=100 D．4x+100-x/4=100 【答案】 D 【解析】 大和尚 x 人共分 4x 个馒头。 小和尚有 (100-x) 人，4 人分 1 个，共分 100-x/4 个。 合计 100 个馒头，得 4x+100-x/4=100，选 D。 3．七年级(二)班共有 40 名学生，劳技课上老师组织同学们制作圆柱形笔筒（每个笔筒由一个筒身和两个筒底组成），每名学生能做筒身 15 个或筒底 20 个。设安排 x 名学生做筒身，则所列方程正确的是（　　） A．15x=20(40-x) B．2× 15x=20(40-x) C．15(40-x)=20x D．15x=2× 20(40-x) 【答案】 B 【解析】 做筒底的有 (40-x) 人，共做筒底 20(40-x) 个，做筒身 15x 个。 一个筒身配两个筒底，即筒底数是筒身数的 2 倍，得 2× 15x=20(40-x)，选 B。 4．小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数染污了，被污损的方程是 3y-2=1/3y+m，已知此方程的解是 y=3，则这个常数 m 应是（　　） A．6 B．-6 C．-4 D．4 【答案】 A 【解析】 把 y=3 代入 3y-2=1/3y+m，得 3× 3-2=1/3× 3+m。 即 7=1+m，解得 m=6，选 A。 5．如果 3a2m-1b2 与 9am+2b2 是同类项，那么 m 等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．-1 【答案】 C 【解析】 同类项要求相同字母的指数分别相等，故 2m-1=m+2。 解得 m=3，选 C。 6．某年 9 月有 5 个星期六，这 5 个星期六对应的日期数字之和是 80，那么这个月的 1 日是星期（　　） A．三 B．五 C．四 D．六 【答案】 B 【解析】 设这 5 个星期六依次为 x,x+7,x+14,x+21,x+28，则 5x+70=80，解得 x=2。 即 9 月 2 日是星期六，所以 9 月 1 日是星期五，选 B。 7．已知 a 为有理数，则下列结论正确的是（　　） A．关于 x 的方程 a|x|=a 的解是 x=± 1 B．关于 x 的方程 |a|x=2|a| 的解是 x=2 C．关于 x 的方程 |a|x=a 的解是 x=1 D．关于 x 的方程 (|a|+1)|x|=2|a|+2 的解是 x=± 2 【答案】 D 【解析】 A、B 中当 a=0 时方程变为 0=0，任意有理数都是它的解，解不唯一，故错误。 C 中当 a<0 时，由 |a|x=a 得 x=a/|a|=-1；当 a=0 时解也不唯一，故错误。 D 中 |a|+1>0 恒成立，两边同除以 |a|+1 得 |x|=2，所以 x=± 2，D 正确。 8．若关于 x 的方程 7x+bx-1/3=7(x-1)+4 的解是正整数，且关于 y 的多项式 (b+1)y2-by+1 是二次三项式，那么所有满足条件的整数 b 的值之和是（　　） A．-12 B．-13 C．-14 D．-15 【答案】 C 【解析】 方程两边乘 3 得 21x+bx-1=21(x-1)+12，整理得 bx=-8，即 x=-8/b。 由 x 为正整数知 b<0 且 b 是 8 的因数，故 b 的可能取值为 -1,-2,-4,-8。 又因多项式为二次三项式，需 b+1≠ 0，去掉 b=-1，得 b=-2,-4,-8，其和为 -14，选 C。 9．若不论 k 取何值，关于 x 的方程 3kx+p/2-x-qk/4=2（p,q 为常数）的解总是 x=2，则 p+q 的值是（　　） A．-1 B．-2 C．1 D．2 【答案】 A 【解析】 方程两边乘 4 得 2(3kx+p)-(x-qk)=8，整理得 (6k+qk-1)x+2p=8。 把 x=2 代入得 2(6+q)k+2p=10，它对任意 k 都成立，故 6+q=0，2p=10。 所以 q=-6，p=5，p+q=-1，选 A。 10．已知关于 a 的一元一次方程 2026a+n=2a-2026 的解为 a=4，则关于 b 的一元一次方程 2026(b-4)+n=2b-2034 的解为（　　） A．b=4 B．b=8 C．b=6 D．b=10 【答案】 B 【解析】 由 2026a+n=2a-2026 的解为 a=4 得 8104+n=-2018，所以 n=-10122。 设 u=b-4，则第二个方程化为 2026u+n=2u-2026，与第一个方程形式完全相同，故 u=a=4。 所以 b-4=4，解得 b=8，选 B。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用一根绳子绕一个圆柱形油桶。若环绕油桶 3 周，则绳子还多 2 m；若环绕油桶 4 周，则绳子还差 1 m。环绕油桶一周需要 ______ m，这根绳子长 ______ m． 【答案】 3；11 【解析】 设环绕油桶一周需要 x m，则绳长可表示为 3x+2，也可表示为 4x-1。 由 3x+2=4x-1 得 x=3，绳长为 3× 3+2=11。 12．有两条电线，第一条长 80 m，第二条长 20 m。要从第一条截下一段接在第二条上，使第一条电线的长度是第二条的 3 倍。设截下的那段电线的长度为 x m，则可列方程为 ______．（接头部分的长度忽略不计） 【答案】 80-x=3(20+x) 【解析】 截下 x m 后，第一条电线剩 (80-x) m，第二条电线变为 (20+x) m。 由第一条的长度是第二条的 3 倍得 80-x=3(20+x)。 13．《诗经》按内容分为《风》《雅》《颂》三部分，其中《颂》和《风》的篇数之和为 195 篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的 1/4，则《风》有 ______ 篇． 【答案】 156 【解析】 设《风》有 x 篇，则《颂》有 1/4x 篇。 由 x+1/4x=195 得 5/4x=195，解得 x=156。 14．在数轴上，若点 N 与原点的距离是点 N 与表示 40 的点距离的 3 倍，则点 N 表示的数是 ______． 【答案】 30 或 60 【解析】 设点 N 表示的数为 n，由题意得 |n|=3|n-40|。 当 n≥ 40 时，n=3(n-40)，解得 n=60；当 0≤ n<40 时，n=3(40-n)，解得 n=30。 当 n<0 时，-n=3(40-n) 解得 n=60，与 n<0 矛盾，舍去。故 n=30 或 60。 15．甲、乙两家水果店以相同的进价购买同样多的苹果，标价均为进价的 2 倍。甲店按标价“买 3 斤送 1 斤”（4 斤打包售卖），乙店按标价的六折售卖。若两家店都以促销方式刚好卖完，且利润相差 300 元，则每家店购买这批苹果花了 ______ 元． 【答案】 1000 【解析】 设每家店购进这批苹果的进价总额为 t 元，则按标价全部售出可卖 2t 元。 甲店每 4 斤按标价收 3 斤的钱，收入为 2t×3/4=1.5t，利润为 0.5t；乙店六折售卖，收入为 2t× 0.6=1.2t，利润为 0.2t。 由 0.5t-0.2t=300 得 t=1000，即每家店花了 1000 元。 16．对于有理数 a,b，定义新运算“∇”：a∇b=|a+b|+|a-b|。已知 (a∇a)∇a=10+a，则 a 的值为 ______． 【答案】 10/3 或 -2 【解析】 因为 a∇a=|2a|+|0|=2|a|，所以 a∇a 的值为 2|a|。 当 a≥ 0 时，2|a|=2a，(2a)∇a=|3a|+|a|=4a，由 4a=10+a 得 a=10/3。 当 a<0 时，2|a|=-2a，(-2a)∇a=|-a|+|-3a|=-4a，由 -4a=10+a 得 a=-2。 综上，a=10/3 或 -2。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）《孙子算经》中有一道题：今有 100 只橘子，每户分 1 只后还有剩余，将剩下的橘子按每 4 户共分 1 只，恰好分完。问有多少户人家？ （1）设有 x 户人家，列出方程； （2）解方程求出共有多少户人家。 【答案】 （1）x+x/4=100；（2）x=80，即共有 80 户人家。 【解析】 每户先分 1 只，x 户共分 x 只；剩下的橘子按每 4 户 1 只，共分 x/4 只。 橘子总数为 100，得方程 x+x/4=100。 解得 5/4x=100，x=80，即共有 80 户人家。 18．（6 分）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分 4 本，则剩余 15 本；若每人分 5 本，则还缺 20 本。 （1）设这个班有 x 名学生，根据题意列出方程； （2）求这个班的学生人数和图书的本数。 【答案】 （1）4x+15=5x-20；（2）x=35，即 35 名学生，共有 155 本图书。 【解析】 每人分 4 本余 15 本，图书共 (4x+15) 本；每人分 5 本缺 20 本，图书共 (5x-20) 本。 得方程 4x+15=5x-20。 解得 x=35，图书为 4× 35+15=155 本，即 35 名学生、155 本图书。 19．（6 分）一个长方形的周长为 36 cm，这个长方形的长减少 3 cm，宽增加 3 cm，就可成为一个正方形。 （1）设长方形的长为 x cm，列出关于 x 的方程； （2）说明 x=12 是（1）中所列方程的解，而 x=10 不是它的解。 【答案】 （1）x-3=(18-x)+3；（2）把 x=12 代入，左边等于 9、右边等于 9，相等，是方程的解；把 x=10 代入，左边等于 7、右边等于 11，不相等，不是解。 【解析】 长方形周长为 36 cm，长与宽的和为 18 cm，宽为 (18-x) cm。 长减少 3 cm、宽增加 3 cm 后成为正方形，故 x-3=(18-x)+3。 把 x=12 代入：左边 12-3=9，右边 18-12+3=9，相等，是方程的解；把 x=10 代入：左边 10-3=7，右边 18-10+3=11，不相等，不是解。 20．（6 分）李莹在水果店花 28 元买了苹果和橘子共 8 千克，已知苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元。 （1）设所购买的苹果质量为 x 千克，列出方程并求出苹果、橘子各多少千克； （2）设购买苹果的金额为 y 元，列出关于 y 的方程（写出一种即可）。 【答案】 （1）4x+3(8-x)=28，解得 x=4，即苹果 4 千克、橘子 4 千克；（2）y/4+28-y/3=8（答案不唯一）。 【解析】 （1）设苹果 x 千克，则橘子 (8-x) 千克，由“苹果金额加橘子金额等于总价”得 4x+3(8-x)=28。 解得 4x+24-3x=28，x=4，故苹果 4 千克，橘子 8-4=4 千克。 （2）设苹果金额为 y 元，则橘子金额为 (28-y) 元，由质量关系得 y/4+28-y/3=8，解得 y=16，与（1）结果一致。 21．（6 分）单项式 1/3a2m+1b3 与 -6am+4b3 的和仍是单项式。 （1）求 m 的值； （2）若 m 的值是关于 x 的方程 2c+6x=4+2x 的解，求代数式 (2c2+3c-1)-(c2+c-6) 的值。 【答案】 （1）m=3；（2）c=-4，代数式的值为 13。 【解析】 两单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，相同字母的指数相等，故 2m+1=m+4，解得 m=3。 把 x=m=3 代入方程 2c+6x=4+2x，得 2c+18=10，解得 c=-4。 原式 =2c2+3c-1-c2-c+6=c2+2c+5，代入 c=-4 得 16-8+5=13。 22．（7 分）小明利用方程的知识发现：所有纯循环小数都可以化为分数。例如，化 0.444… 为分数：设 x=0.444…，两边乘 10 得 10x=4.444…=4+x，所以 9x=4，x=4/9。请用上述方法解决下列问题。 （1）把 0.777… 化为分数； （2）把纯循环小数 0.363636… 化为分数。 【答案】 （1）7/9；（2）4/11。 【解析】 （1）设 x=0.777…，两边乘 10 得 10x=7.777…=7+x，所以 9x=7，x=7/9。 （2）设 y=0.363636…，循环节有两位，两边乘 100 得 100y=36.363636…=36+y。 所以 99y=36，y=36/99=4/11。 23．（7 分）观察下面一系列方程：第 1 个方程为 x/2+x/3=5，解为 x=6；第 2 个方程为 x/3+x/4=7，解为 x=12；第 3 个方程为 x/4+x/5=9，解为 x=20；…… （1）写出第 10 个方程及其解； （2）用含 n 的式子表示第 n 个方程及其解。 【答案】 （1）第 10 个方程为 x/11+x/12=23，解为 x=132；（2）第 n 个方程为 x/n+1+x/n+2=2n+3，解为 x=(n+1)(n+2)。 【解析】 观察可得：第 n 个方程左边为 x/n+1+x/n+2，右边为 2n+3。 两边同乘 (n+1)(n+2) 得 (2n+3)x=(2n+3)(n+1)(n+2)，所以 x=(n+1)(n+2)。 取 n=10：方程为 x/11+x/12=23，解为 x=11× 12=132。 24．（8 分）数学老师给出一个新定义：若 x0 是关于 x 的一元一次方程 ax+b=0（a≠ 0）的解，y0 是关于 y 的方程的某个解，且 x0+y0=10，则称关于 y 的方程是关于 x 的一元一次方程的“友好方程”。 （1）已知关于 y 的方程：①3y-9=0；②|y-1|=6。请通过计算说明哪个方程是一元一次方程 5x-4x-7=0 的“友好方程”； （2）若关于 y 的方程 |y-2|=3 是关于 x 的一元一次方程 x-3x+a/2=a-1 的“友好方程”，求 a 的值。 【答案】 （1）①是“友好方程”，②不是；（2）a=-1 或 a=-3。 【解析】 （1）由 5x-4x-7=0 解得 x=7。①3y-9=0 解得 y=3，7+3=10，故①是“友好方程”；②|y-1|=6 解得 y=7 或 y=-5，7+7=14、7-5=2，都不等于 10，故②不是。 （2）由 |y-2|=3 得 y=5 或 y=-1。 解 x-3x+a/2=a-1：两边乘 2 得 2x-(3x+a)=2a-2，解得 x=2-3a。 由 x0+y0=10 得 x0=10-y0，即 2-3a 应等于 10-5=5 或 10-(-1)=11：2-3a=5 得 a=-1；2-3a=11 得 a=-3。故 a=-1 或 a=-3。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程【单元提升卷】七年级上册人教版 2026~2027学年 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设 a,b,c 为互不相等的数，且 b=3/4a+1/4c，则下列结论正确的是（　　） A．a>b>c B．c>b>a C．a-c=4(a-b) D．a-b=3(b-c) 2．（传统文化）程大位所著《算法统宗》中有一道题：一百个和尚分一百个馒头，如果大和尚每人分 4 个，小和尚 4 人分 1 个，正好分完。设大和尚有 x 人，依题意列方程得（　　） A．4x-100-x/4=100 B．x/4+4(100-x)=100 C．4x+4(100-x)=100 D．4x+100-x/4=100 3．七年级(二)班共有 40 名学生，劳技课上老师组织同学们制作圆柱形笔筒（每个笔筒由一个筒身和两个筒底组成），每名学生能做筒身 15 个或筒底 20 个。设安排 x 名学生做筒身，则所列方程正确的是（　　） A．15x=20(40-x) B．2× 15x=20(40-x) C．15(40-x)=20x D．15x=2× 20(40-x) 4．小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数染污了，被污损的方程是 3y-2=1/3y+m，已知此方程的解是 y=3，则这个常数 m 应是（　　） A．6 B．-6 C．-4 D．4 5．如果 3a2m-1b2 与 9am+2b2 是同类项，那么 m 等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．-1 6．某年 9 月有 5 个星期六，这 5 个星期六对应的日期数字之和是 80，那么这个月的 1 日是星期（　　） A．三 B．五 C．四 D．六 7．已知 a 为有理数，则下列结论正确的是（　　） A．关于 x 的方程 a|x|=a 的解是 x=± 1 B．关于 x 的方程 |a|x=2|a| 的解是 x=2 C．关于 x 的方程 |a|x=a 的解是 x=1 D．关于 x 的方程 (|a|+1)|x|=2|a|+2 的解是 x=± 2 8．若关于 x 的方程 7x+bx-1/3=7(x-1)+4 的解是正整数，且关于 y 的多项式 (b+1)y2-by+1 是二次三项式，那么所有满足条件的整数 b 的值之和是（　　） A．-12 B．-13 C．-14 D．-15 9．若不论 k 取何值，关于 x 的方程 3kx+p/2-x-qk/4=2（p,q 为常数）的解总是 x=2，则 p+q 的值是（　　） A．-1 B．-2 C．1 D．2 10．已知关于 a 的一元一次方程 2026a+n=2a-2026 的解为 a=4，则关于 b 的一元一次方程 2026(b-4)+n=2b-2034 的解为（　　） A．b=4 B．b=8 C．b=6 D．b=10 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．用一根绳子绕一个圆柱形油桶。若环绕油桶 3 周，则绳子还多 2 m；若环绕油桶 4 周，则绳子还差 1 m。环绕油桶一周需要 ______ m，这根绳子长 ______ m． 12．有两条电线，第一条长 80 m，第二条长 20 m。要从第一条截下一段接在第二条上，使第一条电线的长度是第二条的 3 倍。设截下的那段电线的长度为 x m，则可列方程为 ______．（接头部分的长度忽略不计） 13．《诗经》按内容分为《风》《雅》《颂》三部分，其中《颂》和《风》的篇数之和为 195 篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的 1/4，则《风》有 ______ 篇． 14．在数轴上，若点 N 与原点的距离是点 N 与表示 40 的点距离的 3 倍，则点 N 表示的数是 ______． 15．甲、乙两家水果店以相同的进价购买同样多的苹果，标价均为进价的 2 倍。甲店按标价“买 3 斤送 1 斤”（4 斤打包售卖），乙店按标价的六折售卖。若两家店都以促销方式刚好卖完，且利润相差 300 元，则每家店购买这批苹果花了 ______ 元． 16．对于有理数 a,b，定义新运算“∇”：a∇b=|a+b|+|a-b|。已知 (a∇a)∇a=10+a，则 a 的值为 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）《孙子算经》中有一道题：今有 100 只橘子，每户分 1 只后还有剩余，将剩下的橘子按每 4 户共分 1 只，恰好分完。问有多少户人家？ （1）设有 x 户人家，列出方程； （2）解方程求出共有多少户人家。 18．（6 分）把一些图书分给某班学生阅读，若每人分 4 本，则剩余 15 本；若每人分 5 本，则还缺 20 本。 （1）设这个班有 x 名学生，根据题意列出方程； （2）求这个班的学生人数和图书的本数。 19．（6 分）一个长方形的周长为 36 cm，这个长方形的长减少 3 cm，宽增加 3 cm，就可成为一个正方形。 （1）设长方形的长为 x cm，列出关于 x 的方程； （2）说明 x=12 是（1）中所列方程的解，而 x=10 不是它的解。 20．（6 分）李莹在水果店花 28 元买了苹果和橘子共 8 千克，已知苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元。 （1）设所购买的苹果质量为 x 千克，列出方程并求出苹果、橘子各多少千克； （2）设购买苹果的金额为 y 元，列出关于 y 的方程（写出一种即可）。 21．（6 分）单项式 1/3a2m+1b3 与 -6am+4b3 的和仍是单项式。 （1）求 m 的值； （2）若 m 的值是关于 x 的方程 2c+6x=4+2x 的解，求代数式 (2c2+3c-1)-(c2+c-6) 的值。 22．（7 分）小明利用方程的知识发现：所有纯循环小数都可以化为分数。例如，化 0.444… 为分数：设 x=0.444…，两边乘 10 得 10x=4.444…=4+x，所以 9x=4，x=4/9。请用上述方法解决下列问题。 （1）把 0.777… 化为分数； （2）把纯循环小数 0.363636… 化为分数。 23．（7 分）观察下面一系列方程：第 1 个方程为 x/2+x/3=5，解为 x=6；第 2 个方程为 x/3+x/4=7，解为 x=12；第 3 个方程为 x/4+x/5=9，解为 x=20；…… （1）写出第 10 个方程及其解； （2）用含 n 的式子表示第 n 个方程及其解。 24．（8 分）数学老师给出一个新定义：若 x0 是关于 x 的一元一次方程 ax+b=0（a≠ 0）的解，y0 是关于 y 的方程的某个解，且 x0+y0=10，则称关于 y 的方程是关于 x 的一元一次方程的“友好方程”。 （1）已知关于 y 的方程：①3y-9=0；②|y-1|=6。请通过计算说明哪个方程是一元一次方程 5x-4x-7=0 的“友好方程”； （2）若关于 y 的方程 |y-2|=3 是关于 x 的一元一次方程 x-3x+a/2=a-1 的“友好方程”，求 a 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $