山西晋城市第一中学校2026-2027学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题

( ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ ※※※※※※※※ )绝密★本科目考试启用前 2026—2027学年（上）高二年级阶段性测试（一） 数 学 考生注意： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，，且，则（   ） A．-10 B． C． D．10 4．已知正三棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是5cm，则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C．直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 6．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ） A． B． C．4 D．2 7．某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 10．已知，，，，，分别是平面，的法向量，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（    ）． A．当时，平面 B．当时，平面 C．当时，三棱锥体积的最大值为 D．当时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 13．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 14．如图，与都是边长为3的等边三角形，，，，，，分别是各边上的三等分点，沿，，，，，分别将，，，，，折起，使得点，，，，，共面，依次连接各点且满足，由此得到一个多面体，则该多面体的高为________，该多面体的外接球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知空间三点，，，设，. (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标. 16．（15分） 已知直线l：． (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程． 17．（15分） 如图，在平行六面体中，，，，. (1)求证：； (2)求的长； (3)求与所成角的余弦值. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求的值； (3)若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 19．（17分） 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年（上)高二年级阶段性测试（一) 数学·答案 1.B 设点B的坐标是(xy,),则AB=（x-4,y+2,=(3,6,-2, x-4=3 [x=7 所以}y+2=6,解得y=4, =-2 =-2 所以点B的坐标是(7,4，-2) 2.A 由k=上-上=tana,求出斜率即可得出倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 为3-水 设直线的倾斜角为α， 由题可得直线1的斜率k=2一-5-ana,又u∈0，，所以直线1的领斜角为 -V33 6 3.D 根据空间向量垂直的坐标表示求解。 因为a⊥b,所以a.b=0, 即-2×1+x+(-4)×2=0, 解得x=10. 4.D 设该正三棱台的高为h,则h=,52- 6W525 =3, 且上底面面秋s=9-5,下底面积8(6w5-w5. 所以该正三棱台的体积V-号33+275+55×27V5)x3=395cm2. 5.B 根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项 A:平行于平面的向量，均可平移至一个平行于α的平面，故它们为共面向量，正确： B:空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误： C:直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方 向向量确定直线，正确： D:由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同 一平面的向量，正确。 故选：B 6.C 根据题意，可得DC=DB+BA+AC，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 答案第1页（共10页） 由二面角的平面角的定义知(BD,AC)=120°， ∴.BD.AC-BD ACc0s(BD,AC)=2×2×c0s120°=-2， 由AC⊥I,BD⊥I,得AC.BA=0,BD.BA=0,又DC=DB+BA+AC, .DC=(DB+BA+AC)DB +BA+AC +2DB.BA+2DB.AC+2B4.AC =22+22+22-2BD.AC=12-2×(-2)=16, 所以DC=4,即CD=4. 故选：C 7.A 根据入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面列式计算求解. 因为入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面， 所以反射激光的方向向量为c=(xy,=)=元(1,1,1)+(1,2，-2)=(2+4，元+24,2-2u), y=+2u x=2+u 所以x=元+4，所以 -=1-2u 3y+==4x 对于A,x=1,3y+z=3×4-8=4,符合题意，A选项正确： 对于B,x=1,3y+二=3×(-4)+8=-4,3y+≠4x不符合题意，B选项不正确： 对于C,x=-1,3y+z=3×4-8=4,3y+z≠4x,不符合题意，C选项不正确： 对于D,x=1,3y+:=3×(-4)-8=-20,3y+≠4x,不符合题意，D选项不正确： 8.A 根据题意可设ā=(1,0,0)，万=(01,0)，c=(x,y,),从而求得x=y=23,3=25,结合空间向量的坐标 运算即可求解e-ā-b的最小值， 因为园==1，a.3=0,设a=(1,0,0)，万=(01,0)，c=(cy), 又c.a=c-i=23,所以x=y=25,且=VR+y2+F=12+12+2=7,解得：2=25， 又c-ma-b=（(2W3-m,25-n,z), 所以E-ma--(23-m)+25-nj+z2=6-mj+&n+25≥5， 当且仅当m=n=2√3时取得等号，所以e-a-nb的最小值是5. 9.BCD 利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB;利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 答案第2页（共10页） 对于A,直线的倾斜角ae,则其斜率k=tana<0,A正确： 对于B,倾斜角为的直线不存在斜率，B错误： 对于C,直线的一般式方程为Ax+By+C=0,A2+B≠0，C错误； 对于D,当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10.ACD 先利用空间向量坐标运算求得AB、CD的坐标，再利用线线关系、线面关系、面面关系进行各选项的判断。 由题意，得AB=(0,1,1),CD=(2,0,0), 因为AB.CD=0,所以AB⊥CD,即AB⊥CD,则A选项正确： 因为ABm=0,所以AB∥a或ABca,则B选项错误； 因为CD=2,所以CD/,即CD⊥a,则C选项正确； 因为m.n=0,所以a上B，则D选项正确. 11.ABD 建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标关系即可求解AB,利用体积公式，结合二次函数的性质即可 求解C,根据两点距离公式，结合对称关系即可求解D. 以A为原点建立坐标系，则F(,1,0),E(1,1-元，0)， D(0,1,1),D(0,1,0),B,(1,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),4(0,0,1) AF=(4,1,0),DE=(1,-元，-1)，AB1=(1,0,1), 1=u时，AF.DE=-1=0,故AF⊥DE, AB·DE=1-1=0,故AB,⊥DE, AB,∩AF=A,AB,AFC平面B,AF,故DE⊥平面BAF,A正确， 0 A D 当2+=1时，EF=(4-1,元，0)，BD=(-1,1,0), 由于u-1=-,故8F1BD,→EF∥BD, BDd平面B,EF,EFcC平面B,EF,故BD∥平面B,EF,B正确； 由sw=5ew-8ae8-8e=上妆0-Az0y1+na 2 克。茶雷 2 2 2 答案第3页（共10页） <1>5,故C错误： 当4-A=时，则片4<10<2<行 A-4F=2+0--2----++(合广 可将2+0-了+2+位2看作是￥面内(5，列到点Q1小0-的距商之和， 如图：作出(0号关于直线x-反的对称点25》 42 过25一》点@的亩线方起为y+1令x=反，则y-片 故当2=时取等号，D正确。 故选：ABD x=√2 0 2 22,) 【点睛】关键点点睛：4g+4P=V2+0-列+2+口-2+Q-2万++（合元，将 V2+1-) 看作是平面内5刘到点(O1Q司的距离之和，利用对称求解即可 12.4x-y-3=0 斜率为4且过点(1,1)的直线方程为y-1=4(x-1),整理为4x-y-3=0. 13.(-0,-8)U(8,5) 根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 由两向量夹角为钝角的必要条件，得ab<0, a.b=3×(-6)+(-1)×2+4m=4m-20<0,解得m<5. 若a与b共线，则存在实数1满足五=a, 答案第4页（共10页） 「-6=32 即2=-入，解得2=-2，此时m=-8, m=42 故m≠-8，实数m的取值范围为(-0，-8)U(仁8,5). 14. VW3-1 (3+V3)π 先判断所得多面体的形状，确定上下底面中心连线的长度即为该多面体的高，可求高：进一步确定上下底 面中心的中点为外接球球心，求出外接球半径，进而可求外接球的表面积 如图1， K M H M B B 图1 图2 该多面体是上、下底面互相平行且边长为1的正六边形，侧面是12个边长为1的等边三角形 设上、下底面的中心分别为O,O,M是GH的中点，连接BM,MO,OO,OB,易知四边形BMOO是直角梯 形 如图2，BM=MO=】 2,B0=L,过点M作WLBO,垂足为N,则 0O-MN- 设该多面体的外接球球心为2，则球心Q是OO的中点，连接BQ,则BQ为该多面体的外接球的半径， 于是半径R=0-80+00-+5--35 所以外接球的表面积为4πR=(3+√3)π. 50m=号 (2)(4,4,-2)或(-4,4,2) (1)根据空间向量的坐标运算求出相应坐标，再利用向量垂直关系即可求解； (2)根据空间向量模长公式以及平行关系即可求解 (1)由题意知a=MN=(←3,15)（←2,0,2)=（1,1,3)， i=MP=(-1,3,4)-(-2,0,2)=(1,3,2, 所以a+mb=(-1,13)+m1,3,2)=(m-1,3m+1,2m+3),又(a+mb)1a, 所以(a+mb)a=-(m-1)+3+1+3(2+3上0， 答案第5页（共10页） 解得m=-1卫 8 (2)因为i-a=(1,3,2)-（←1,1,3)=(2,2，-1)，又c/(6-d 设c=(2,2,-1)=(2,2元，-元)，又G=6,所以2元2+(2+(2}=6， 解得入=2， 当1=2时，c=(4,4,-2):当1=-2时，c=(-4,-4,2), 即向量c的坐标为(4,4，-2)或(-4,4,2)： 16.(1) 由1：(a-1)y=(2a-3)x+1,即a(2x-y)-3x+y+1=0,则 2x-y=0 -3x+y+1=0 解得 y=2’所以直线1过定点1,2). x=1 (2)2x+y-4=0. (1)直线方程可化为a(2x-y)-3x+y+1=0,故直线1过直线2x-y=0与直线-3x+y+1=0的交点，联 立求交点可得结论： (2)求直线1与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论 (1)略 (2)己知直线1：(a-1)y=(2a-3)x+1,且由题意知a≠1， 令x0,得y0,得a>1,令y=0,得r/ >0,得a<2' 3 3-2a S=1x-1 1 1 1 则2a-13-2a-4a2+10a-6 521,1<a<2 -4a- 十 44 5 所以当a=二时，S取最小值， 4 此时直线1的方传为任少2子3小1，印2x40, 17.(1)由题意知BD=AD-B,AC=AC+CC=AB+AD+AA, 因为AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°， 则AD.AB=0,ADA4=AB.A4=2x3×cos60°=3， 所以BDAC=(AD-AB(AB+AD+A4 AD.AB+AD+AD.AA-AB-AD.AB-AB.AA =0+4+3-4-0-3=0, 所以BD⊥AC即BD⊥AC. 答案第6页（共10页） (2)√29 3)8V203 203 (1)根据空间向量基本定理用AB+AD+AA来表示BD,AC,,利用向量的数量积公式证明BD.AC=0, 即可证明； (2)利用模长公式计算即可求出答案 (3)利用向量的夹角公式求出cos(AC,AD),即可得答案 (1)略 (2)由(1)知AC=AB+AD+AA, AC:=(4B+AD+A4)=AB+AD+44+24B.AD+248.44+24D.44 =4+4+9+0+2x3+2x3=29, 所以AC=AG=V29 (3)因为AD=AD-A4, 所以40=VA万=4D-A4=4D-24DA4+AM =√22-2×3+32=√7 AC AD=(AB+AD+A4)(AD-44) AB.AD+AD+AA.AD-AB.AA-AD.AA-AAAA =0+4+3-3-3-32=-8, 所以cos4C,4D）= AC1·AD -8 8V203 AC4DV29x万 203· 所以AC,与AD所成角的余弦值为8V2o3 203 18.(1)记O为AC与BD的交点，则POL平面ABCD, 又POC平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD. (2)-1: 3)3 AB2 (1)记O为AC与BD的交点，根据投影的定义和面面垂直的判定定理即可证明： (2)根据空间向量运算得PC=-PA+PB+PD,则得到x-y+=的值； (3)建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，从而求出OP的长度，最后再计算比值即可. (1)略； (2)由矩形性质可知AB=DC, 即PB-PA=PC-PD,故PC=-PA+PB+PD, 由PA,PB,PD不共面，可得x=-1,y=z=1,于是x-y+二=-1. 答案第7页（共10页） (3)如图，以O为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AD的方向为y轴正方向，OP的方向为z轴正方 向， 建立空间直角坐标系O-z. 不纺设46=20P21,则A1-20020.C0,20,.D120.P00202行L 而-0,40亚220证（分3小D服合1小 记平面PAD的法向量为乃=(x,乃，)， 则 nAD=0 4=0 ,即 h·AP=0 5+2y+2h6=0'可取乃=（←2h,0,1). 记平面BDE的法向量为乃=(x2,,32), 1 1BE=0 x2+3y2+hz2=0 则 ,即 2 ,可取2=(2h,h,-2). 2·DE=0 3 x3-y2+hz3=0 12 记平面PAD与平面BDE的夹角为a, n'n |-2h×2h+1×(-2)| 4h2+2- 26 则cosa= 丽 V4r+1xV5m+44r+1x5F+4行，解得-1. 于是P4-1+4+4h23 AB 2 19.(1)m=-2 (3)16 (1)根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解： (2)分析可知几何体为正八面体法1：根据题中公式直接求内切球半径，即可得表面积：法2：利用等体 积法求内切球半径，即可得表面积： (3)根据题意分析几何体的结构特征，利用割补法求体积 (1)根据题意，平面的法向量h=(1,1,1),平面B的法向量=(1,1,1)， 所以%2=1×m+1×1+1x1=0,故m=-2. (2)不妨设C≠0，在平面Ax+By+Cz+D=0内取 点e008,则响量or-(飞，+2) 取平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量i=(A,B,C), 答案第8页（共10页） 所以点P(6,,)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d= P月_L+B。+C名+D VA+B2+C2 对于0={(x出训+=， 当x,y,z>0时，x+y+二=2表示经过(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)的平面在第一象限的部分. 由对称性可知U表示（±2,0,0），(0，±2,0)，(0,0，±2)这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为r,则r即为原点O到平面x+y+=2的距离， 则r=0+0+0+22W 252 16元 12+1P+12 3 .所以内切球的表面积为S=4π2=4 (3 3； 法2：考虑Q={(x,y,z)x+y+z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}： 即为三个坐标平面与x+y+==2围成的四面体，其四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)， 比四面体的体积为%=兮2×合2x2-号由对称在，正人面体V的体积=。=号 32 设内切球的半径为，正八面体U的表面积为S=8× 2xa9 =163, 所以-8x,-兰，解得：725.所以内切球的表面积为5=4o=机 3 3 3 (3)由(2)可知Q=(x,y,z)儿++牙=所围几何体是关于平面x0y,oz,x对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直， ZA C 且OA=OB=OC=2. 集合T={(x,出，z训+≤2≤2到扌≤所表示的几何图形W也关于平面xoy,oz,0x对称， 其在第一卦限内的部分T'=(x,y,z)x+y≤2，y+z≤2，z+x≤2的图形如图1， 答案第9页（共10页） 2 C G 图1 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. ZA 图2 所以T所构成的几何体W如图3所示. D G 图3 法一：其中正方体ABCD-LJM记为集合P所构成的区域. 而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，所以V。=2x2x2=8, .m1x2x2-号所以U儿何体形的体积V=5+6D=2x2x2+6号16。 3 法二：从图2可以看出，几何体W在第一卦限的部分为有公共底面EGH的两个三棱锥O-EGH和C-EGH. 设其体积为？.由正方体的性质可知OC⊥面EGH.因为EG=GH=EH-2√2，OC=V1?+1?+1P=√3， 所以其体积巧=×，x2W2x2V2xsin60×V5=2. 32 所以几何体W的体积V=8=8×2=16. 答案第10页（共10页）