广东深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学　2026-2027学年第一学期 九年级数学学情测试（10月 ）

2026－2027学年第一学期数学学情测试 一、选择题（每题3分，共24分．） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是矩形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 菱形的对角线相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4. 第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架长为，则的长（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点O，点E在延长线上，与相交于点F．若，，则菱形的面积为（ ） A. 95 B. 96 C. 97 D. 98 8. 如图，E为正方形中边上的一点，且，，M、N分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A. 8 B. 8 C. 8 D. 12 二、填空题（每题3分，共15分．） 9. 若，则____________． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 11. 小提琴的设计蕴含着黄金分割的美学智慧．如图，线段表示一把小提琴的长度，点为线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 12. 教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 13. 在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题（共7小题） 14. 选择合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）仅用无刻度直尺做出的中线，保留作图痕迹． 16. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 17. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则　　　． 18. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 19. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”有_______个 ①；②；③； （2）若关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 20. 综合与实践 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图，在中，是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“射影点”． 初步感知 （1）如图，在中，，于点，则点______（填“是”或“不是”）中边上的“射影点”． 尝试探究 （2）如图，已知在四边形中，对角线交于点，，若点是中边上的“射影点”，求证：． 迁移应用 （3）如图，在矩形中，为边上一动点，连接交对角线于点，当点恰好是中边上的“射影点”时． ①求证：点也是中边上的“射影点”． ②若，直接写出的长． 2026－2027学年第一学期数学学情测试 一、选择题（每题3分，共24分．） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（每题3分，共15分．） 【9题答案】 【答案】##0.5 【10题答案】 【答案】且 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2或 三、解答题（共7小题） 【14题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【15题答案】 【答案】（1） 即为所求： （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 【16题答案】 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）旗杆的高度约为11.4米 【17题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【18题答案】 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【19题答案】 【答案】（1）2 （2） ①证明：， ， 此方程一定是“友好方程”； ②的值为1 【20题答案】 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；②或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $