精品解析：陕西咸阳市实验中学2026-2027学年八年级上学期第一次质量检测数学试卷

绝密*启用前 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂选择题对应的答案（A、B、C或D）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 实数，，，0，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：是分数，是整数，二者均为有理数； ，是开方开不尽的数，与均为无理数； ∴无理数共有3个． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的立方根是5 C. 25的平方根是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根，算术平方根，及立方根的概念解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴9的平方根是，A错误； B选项：∵，，∴的立方根不是5，B错误； C选项：∵，∴25的平方根是，C正确； D选项：∵，∴D错误． 3. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则、二次根式的乘法运算法则，逐项计算即可判断正误． 【详解】解：选项A：根据同类二次根式合并时，系数相加，被开方数不变，可得 ，故A错误，故不符合题意； 选项B：左边，右边，，故B错误，故不符合题意； 选项C：，故C错误，故不符合题意； 选项D：根据二次根式乘法法则：当，时，，可得，故D正确，故符合题意． 故选：D． 5. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为尺，根据题意可得尺，利用勾股定理即可得出方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺， ∵秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步后，踏板升高到离地尺， ∴尺， ∵， ∴可列方程为． 6. 直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（ ） A. 30 B. 36 C. 48 D. 50 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在中，，为直角边，为斜边，，， ∴设，（）， ∴， 即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴三角形周长为． 7. 根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，立方根，算术平方根，无理数，先把输入，计算出的值，若结果为无理数则输出结果，若结果为有理数，继续把的值输入进行计算，如此反复直至的结果为无理数即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是有理数， 当输入为时， ，是无理数， ∴输出的值是， 故选：． 8. 如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键； 先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴的面积为：， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 如图，淇淇家的位置可用表示，●表示附近的快递投放点，则离他家最近的投放点的位置为______． 【答案】 【解析】 【分析】数对的第一个数表示列，第二个数表示行，通过观察图形确定具体位置． 【详解】由淇淇家的位置可用表示，可知坐标的第一个分量表示列，第二个分量表示行， 观察图形可知，四个快递投放点的坐标分别为，，，， ∵点与点在同一行，且横坐标c与d相邻， ∴点离淇淇家最近． 11. 比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 12. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ， ∵点在数轴上，且表示的数为 ∴点E所表示的数为． 13. 已知，以、、为三边长构成三角形，则此三角形的形状为______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】由题意，即，根据非负性可得，故，则此三角形的形状即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是利用绝对值、根式、完全平方数的非负性求出a、b、c的值． 14. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理；分两种情形：如图1，当时，如图2，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ． 如图，当时，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为或． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 求下列方程中的值 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据平方根的定义解答即可； （）根据立方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 两边同除以，得， 开平方，得； 【小问2详解】 解：两边同除以，得， 开立方，得． 17. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解得出的值。 根据立方根的定义，由的立方根为，得到，进而求出的值。通过估算的大小，确定其整数部分，得到的值。 （2）把（1）中求得的、、的值代入，计算出该式的值。 再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。 本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键。 【小问1详解】 解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴的平方根是． 18. 已知，，求的值； 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ，， ． 19. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积． 【答案】204 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案． 【详解】解：连接AC， 在△ADC中， ∵∠D＝90°，AD＝12，CD＝9， ∴AC＝＝15， S△ADC＝AD•CD＝×12×9＝54， 在△ABC中， ∵AC＝15，AB＝25，BC＝20， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ACB是直角三角形， ∴S△ACB＝AC•BC＝×15×20＝150． ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝150+54＝204． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点． （1）请在网格中画出格点三角形，使，，； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理画出图形即可； （2）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：在网格中由勾股定理可得：，符合要求． 【小问2详解】 解：如图， ． 21. 有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【答案】 能通过． 如图中的长方形是卡车横截面的示意图： 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得 ， 解得， ∵， ∴卡车能通过． 【解析】 【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过． 【详解】略 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意化出图形. 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【小问1详解】 解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 23. 阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． （1）使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． （2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，理解题意是解此题的关键． （1）当，时，代入勾股数生成公式计算即可得解； （2）由题意求出，从而可得，或，，再结合题意验证即可得解． 【小问1详解】 解：当，时，代入勾股数生成公式， 得，，． 对应的勾股数是． 【小问2详解】 解：根据题意得，，． ． 又，m，n都是正整数， ，或，． 当，时，，不符合题意； 当，时，，，符合题意． ∴，． 24. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ，， ． 25. 阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简__________；__________． （2）方法迁移，解决变式问题：化简__________． （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的方法进行分母有理化并化简即可； （2）把分母有理化即可； （3）根据题中给出的例子计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：原式 ． 26. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； （2）由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； （3）当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【小问1详解】 解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即； 【小问2详解】 解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 【小问3详解】 解：四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密*启用前 咸阳市实验中学2026—2027学年度第一学期第一次质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷全卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂选择题对应的答案（A、B、C或D）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 实数，，，0，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的平方根是3 B. 的立方根是5 C. 25的平方根是 D. 3. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（ ） A. 30 B. 36 C. 48 D. 50 7. 根据图中的程序，当输入为时，输出的值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ） A. 36 B. 54 C. 72 D. 108 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 如图，淇淇家的位置可用表示，●表示附近的快递投放点，则离他家最近的投放点的位置为______． 11. 比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 12. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 13. 已知，以、、为三边长构成三角形，则此三角形的形状为______． 14. 如图，在中，，，，是的中点，是边上一动点．将沿所在直线折叠得到．当是直角三角形时，的长为_______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 求下列方程中的值 （1）； （2）． 17. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 18. 已知，，求的值； 19. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝12，CD＝9，AB＝25，BC＝20，求四边形ABCD的面积． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点． （1）请在网格中画出格点三角形，使，，； （2）求的面积． 21. 有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 22. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 23. 阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题． 勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理的三个正整数a，b，c．其中a和b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长． 勾股数可以通过以下公式生成：，，，其中m和n都是正整数，且． 例如，当，时，，，．因此，是一组勾股数． （1）使用勾股数生成公式，当，时，求对应的勾股数． （2）若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数，请你计算他代入的正整数m和的值． 24. 对于任意的正数m，n，定义运算“”： （1）计算的结果； （2）计算的结果． 25. 阅读下列材料，然后解答下列问题． 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简__________；__________． （2）方法迁移，解决变式问题：化简__________． （3）化简：． 26. 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $