精品解析：江苏淮安市2027届高三上学期第一次调研测试数学试题

淮安市2027届高三年级第一次调研测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与元素的属于关系性质，结合集合元素互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时集合不满足集合元素互异性，舍去， 当时，集合，此时集合满足集合元素互异性， 所以. 2. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性验证：当时，可得，充分性成立， 必要性验证：当时，取，，此时，但，因此必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 3. 已知，，且，则的最小值是（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立. 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，故，所以. 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为角与的终边关于直线对称，的终边经过点， 所以的终边经过点， 由三角函数定义可得， 所以. 6. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 7. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性得到在上的单调性及，再分和讨论与的符号，求解乘积小于的区间. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，故，且图象关于轴对称， 已知在上单调递减，由对称性可得在上单调递增， 当时，单调递减，故，此时不等式等价于， 由于时单调递减，且，因此的解集为， 当时，单调递增，故，此时不等式等价于， 由于时单调递增，且，因此的解集为， 综上，不等式的解集为. 8. 若，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系化简原式，再结合换元法并求解一元二次方程得到，最后结合正弦函数性质求解结果即可. 【详解】因为， 所以由同角三角函数的基本关系得， 设，，则方程变为， 而，则，可得， 解，解得 ，即， 而，可得，故B正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、幂函数的性质、幂函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 10. 某研究性学习小组开展测绘实践活动，为山体隧道工程收集测量数据.如图，，，为山脚同一水平面上共线的三个测量点，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，.现规划沿直线开通穿山隧道，经实地测量得到，，，以下是兴趣小组得出的结论，其中正确的有（ ）. A. B. C. 山顶到水平面的高度为 D. 隧道的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据俯角定义将空间角度转化为平面三角形的内角，利用三角形内角和定理及正弦定理求解边长和角度，进而逐一判断选项. 【详解】 由题意及图形可知，，， 因为为的俯角，根据平行线性质（内错角相等），可知. 对于A：在中，， 所以， A错误； 对于B：由选项A的分析可知，，而。 因为， 所以为等腰三角形，且， B正确； 对于C：在中，，， 所以 ， 由正弦定理 ，得 . 设山顶到水平面的高度为， 则 ， C错误； 对于D：在中，由正弦定理， 得， 因为共线，且， 所以， 解得，D正确. 11. 已知函数，，记，的图象分别为曲线，，则（ ）. A. 过原点作曲线的切线，则切线方程为 B. 当时，，分别为曲线，上的动点，则的最小值为 C. 若（，），则的最小值为 D. 当时，曲线，无公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出切点，求解切线方程判断A，设出点的坐标，利用两点间距离公式表示距离，法一利用导数得到，再结合基本不等式与放缩法判断B，法二利用反函数的性质将目标距离转化为上的点到最小距离的2倍，再作平行切线并求出切点，并利用点到直线的距离公式求解距离判断B，构造，再结合导数判断其单调性，进而求解最值判断C，结合题意判断公切线斜率恒正，再分别求出切线，得到，最后对参数范围分类讨论判断D即可. 【详解】对于A，设切点为，而，设切线斜率为， 则，可得切线方程为， 而切线过原点，可得，解得， 则切线方程为，故A正确， 法一：对于B，当时，，设，，且， 则由两点间距离公式得， 令，则， 令，可得，令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得，则，得到， 令，定义域为，且， 令，可得，令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到，则，即， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而， 当且仅当时取等，符合， 可得，即，故B错误， 法二：对于B，当时，，由题意得互为反函数， 则关于对称，则的最小距离为上的点到最小距离的2倍， 设最小距离为，设与平行的直线与切于，而斜率为， 得到，解得，则切点为， 由点到直线的距离公式得，即，故B错误， 对于C，构造，则，， 令，则， 可得在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以，令， 则，而，解得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到，即的最小值为，故C正确， 对于D，由题意得，则的切线斜率为正， 若，存在公切线，则公切线的斜率为正， 设斜率为，，设上的切点坐标为， 由已知得切线方程为，且， 解得，则切线方程变为， 设上的切点坐标为， 而，则， 则切线方程为， 而，解得，则切线方程变为， 若两切线为公切线，可得， 化简得，由题意得， 当时，， 则此时不可能存在公切线， 当时，由题意得， 令，则， 则在上单调递增，而， 得到，可得， 而，可得， 得到， 则此时不可能存在公切线，可得当时，曲线，无公切线，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【详解】由，解得，所以的定义域为. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简等式左侧，通分化简等式右侧，约去公共分母后利用正弦定理将边角关系转化为边的关系，再结合余弦定理求出，最终得到角的值. 【详解】化简等式左侧： ， 由两角和的正弦公式，， 又内角和为，即，故， 因此左侧可化简为： ， 对右侧通分可得： ， ，故，左右两侧同乘得： ， 由正弦定理可得：，得， 代入上式并消去得： ， 根据余弦定理，联立上式得： ， 化简得，又，故. 14. 已知，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先判断参数的符号为，通过求导得到函数的最大值，根据最大值小于等于建立与极值点的关系，将转化为关于的单变量函数，最后通过求导求解函数最小值即可. 【详解】∵ 不等式对任意恒成立. 若，当时, ，则，与不等式矛盾，故. 设，则. . ∵ ，故在上单调递减，且当时，当时. ∴ 存在唯一，使得，即，整理得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减. ∴ . 将代入上式得： . ∴ ，结合可知，即. 则. ∵ ，故，代入得: . 设，. 令，得. 设，方程转化为，解得或(舍去). 即，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ∴ . 当且仅当，时等号成立，满足题设条件. 故的最小值为. 【点睛】本题为导数应用的典型题型，核心解题方法是将双参数最值问题转化为单变量函数最值问题，利用函数极值点的导数性质与最值条件建立参数与极值点的关联，解题时需注意先判断的符号，避免因忽略参数范围导致错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 【答案】（1） 增区间为，减区间为、. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数后求导，根据导数正负判断函数单调区间； （2）先利用极值点处导数为求出的值，再计算区间内的极值和端点函数值，比较大小得到最小值. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 求导得. 令，即，整理得， 解得或. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 故的增区间为，减区间为和. 【小问2详解】 对求导得， 因为是的极值点， 故， 代入得，解得. 此时，， 令，解得或，两点均属于区间. 单调性分析： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 由单调性可知，最值出现在端点和极值点处，计算如下： ， ， ， ， 比较得最小值为. 16. 已知函数. （1）若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； （2）设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数先去绝对值，再代入方程，然后分离参数得到新函数，新函数是一个二次函数，通过二次函数的性质即可解得的取值范围. （2）函数先去绝对值后取得在区间上的最小值，再将其与一同代入不等式中，对不等式进行转化即可解得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，故， 代入，得： 分离参数，得：， 又因为函数开口向下且其对称轴为， 所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 当时，， ， 因为在上单调递减， 所以； 当时，， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以； 又因为， 所以，， 所以且， 的取值范围为. 17. 已知函数，. （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 【答案】（1）单调递增区间为. （2）选条件②或③时，均可得到；选条件①时，函数不存在. 【解析】 【分析】（1）先利用和差角的正弦公式展开，再用三角恒等变换进行化简，最后利用周期公式求和整体换元求单调增区间即可. （2）先利用正弦函数的增区间求出的范围，再选择条件作答，选择①结合偶函数的性质可判断不存在，选择②直接代入求解确定唯一的，选择③结合正弦函数的对称轴，整体代入求解确定唯一的即可 【小问1详解】 ∵ ， 又的周期为，∴， 则， 令， 解得，即的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵的单调递增区间为， 又在区间上单调递增， ∴，即必须取0， 且，又，∴， 选条件①：为偶函数 若为偶函数，则当时，取得最值， 但，∴不可能为偶函数，即条件①不成立， 选条件②： ∵，∴， 则， 当时，满足条件，此时. 选条件③：直线为图象的对称轴 代入对称轴公式得， 即，∵， ∴当时，满足条件，此时. 18. 在圆的内接四边形中，，，，. （1）求； （2）若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 【答案】（1）． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）设 ，分别在三角形 与 中应用余弦定理，再利用圆内接四边形对角互补求出 ． （2）延长，交于点．先利用圆内接四边形的角关系证明，求出，，，以及．（ⅰ）利用为中点及的分点关系求出，，再在有关三角形中应用余弦定理求；（ⅱ）把面积条件转化为的定值，再由余弦定理和基本不等式求 的最小值． 【小问1详解】 设． 因为四边形 为圆内接四边形，所以从而. 在中，由余弦定理，. 在中，由余弦定理，. 所以解得 故． 此时，所以为圆的直径，． 【小问2详解】 延长，交于点． 由共线，共线，且圆内接四边形的对角互补，可得所以. 因此. 又解得 在中，由余弦定理，. （ⅰ）因为为的中点，所以. 又共线，且，所以. 设. 由于 与 不共线，比较系数得故. 于是. 在中，由余弦定理，. 代入数据，得. 所以. 在中，，由余弦定理， （ⅱ）设. 由于依次共线，依次共线，所以 由 ，得 这些三角形在点 处的夹角相同，因此. 在中，. 由基本不等式，所以. 当且仅当 时等号成立． 此时 又所以相应的点 均在线段 上，等号可以取得． 故线段 的最小值为 19. 已知函数，记曲线在点处的切线倾斜角为. （1）求； （2）当时，若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时： （ⅰ）证明：在上单调递增； （ⅱ）若，，证明： 【答案】（1）． （2）． （3）（ⅰ）当时，. 令则. 当时，，故；且． 因此在上严格递增，并且． 又，故 正切函数在上严格递增，而在上严格递增，所以在上单调递增． （ⅱ）因为，所以 由基本不等式， 又由和差化积公式， 因为所以 因此 又因为且 所以 故结论成立． 【解析】 【分析】（1）利用切线斜率与倾斜角的关系，代入求解； （2）条件等价于．当时不等式自动成立；当时，转化为研究的最小值； （3）（ⅰ）先证明在上严格递增，再利用正切函数在上的单调性得到结论；（ⅱ）分别利用基本不等式和两角和与差的三角函数公式，对指数部分与正弦部分进行比较． 【小问1详解】 由且曲线在点处的切线斜率为，所以. 又，故. 【小问2详解】 由题意，对任意，都有所以. 当时，由可知，条件恒成立． 当时，需要. 先考察． 令则. 当时，； 当时，． 因此， 其余满足的区间均有，从而， 故所有满足的中，的最小值为． 结合，得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市2027届高三年级第一次调研测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 或0 2. 设，，是的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，且，则的最小值是（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知函数，若，则（ ）. A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 在平面直角坐标系中，角与的终边关于直线对称，的终边经过点，则的值为（ ）. A. B. C. D. 6. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 7. 已知偶函数及其导函数的定义域均为，在上单调递减，，时，，则关于的不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 8. 若，且，则（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数（为常数），则（ ）. A. 当时，是奇函数 B. 的图象过定点 C. 当时，的值域为 D. 若，则 10. 某研究性学习小组开展测绘实践活动，为山体隧道工程收集测量数据.如图，，，为山脚同一水平面上共线的三个测量点，在山顶处测得，，三点的俯角分别为，，.现规划沿直线开通穿山隧道，经实地测量得到，，，以下是兴趣小组得出的结论，其中正确的有（ ）. A. B. C. 山顶到水平面的高度为 D. 隧道的长度为 11. 已知函数，，记，的图象分别为曲线，，则（ ）. A. 过原点作曲线的切线，则切线方程为 B. 当时，，分别为曲线，上的动点，则的最小值为 C. 若（，），则的最小值为 D. 当时，曲线，无公切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为___________. 13. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则______. 14. 已知，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是函数的一个极值点，求在区间上的最小值. 16. 已知函数. （1）若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； （2）设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 17. 已知函数，. （1）若的周期为，求的单调递增区间； （2）若在区间上单调递增，从下面①②③中选择一个作为条件，使存在，并求出的解析式. ①为偶函数；②；③直线为图象的对称轴. 18. 在圆的内接四边形中，，，，. （1）求； （2）若，分别为边，上的动点： （ⅰ）如图1，若过圆心，，记，求； （ⅱ）如图2，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，求线段的最小值. 19. 已知函数，记曲线在点处的切线倾斜角为. （1）求； （2）当时，若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时： （ⅰ）证明：在上单调递增； （ⅱ）若，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $