精品解析：广东省江门市新会区广雅中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

高一年级10月份供题训练 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 或 D. 1 4. 已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设与，已知：“与均为等腰直角三角形”，：“与相似”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出成立的一个充分不必要条件______． 13. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 14. 不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 17. 设集合，． （1）当时，求； （2）若且，求实数的取值范围． 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级10月份供题训练 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，故． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题“”的否定为“”． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 或 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：，或， 解得或，经检验符合题意， 或． 4. 已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为命题为真命题，故当时，恒成立， 故当时，恒成立， 设， 其对称轴为，且， 故其最小值为， 故的取值范围为. 5. 设与，已知：“与均为等腰直角三角形”，：“与相似”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若为真，则与的三个内角均为，故，即； 取两个等边三角形，也相似，． 因此是的充分不必要条件． 6. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以； 当时，原不等式等价于，解得，所以. 综上所述，原不等式的解集为. 7. 某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示：设矩形为表演区，，则有， 由题意可知：， 所以， 设矩形的面积为， 所以， 由， 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，而． 因为，所以，故A对，B错； 又空集是任何集合的子集， 所以，且，故C对，D错． 10. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，故A正确； 当时，，故D错误. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出成立的一个充分不必要条件______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】解不等式，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】解不等式可得或， 因为或，故成立的一个充分不必要条件为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【解析】 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 14. 不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【详解】原不等式等价于，整理得，即，且． 如图， 由“穿根法”，可得原不等式的解集为或． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正实数x，y满足等式. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式即可求出的最大值； （2）先将分式进行通分，再结合的最大值即可求出答案，也可利用与相乘，根据基本不等式即可求出. 【小问1详解】 根据基本不等式可得， ，即，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 【小问2详解】 法一：， 由（1）得，故， 即的最小值为. 法二：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 可知或，则. 【小问2详解】 若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 17. 设集合，． （1）当时，求； （2）若且，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）或． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，代入求集合，再求并集. （2）由，得，分，，讨论不等式解集，结合自然条件求范围. 【小问1详解】 由，得， 所以．又，故． 当时，化为， 所以．又，故． 因此． 【小问2详解】 由且，得． 当时，， 由得． 因为，所以只需使均满足， 而4不满足，故． 当时，， 由得． 因为，所以只需使均满足， 而4不满足，故，解得． 当时，化为， 此时，不符合题意． 综上，实数的取值范围为或． 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】（1）和是完全集合，不是完全集合. （2）中的元素个数的最小值为7. （3）对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【小问1详解】 集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. 【小问2详解】 设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $