16.2 整式的乘法 （第3课时） 多项式与多项式相乘 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章　整式的乘法 16.2　整式的乘法 第3课时　多项式与多项式相乘 【R·数学八年级上册】 看一个数 1．先算两道： (1)(3b－3p)·(－3b)＝　　　　　　　； (2)(－3p2)(－4p2＋3p－1)＝　 　　　　　. 2．算一算：b3·(－2b)2－2b(3b－2b4)＝　　　　　　　. －9b2＋9bp 12p4－9p3＋3p2 －6b2＋6b5 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 找出规律 1．教材P106　问题2. 动笔之前，先想清这几件事： (1)绿地扩完之后，总面积可以怎样算？能想出几种办法？ (2)把扩完整块地合在一起看，它是不是一个大长方形？长和宽能不能在图上直接读出来？ (3)长和宽都读出来了，套用面积公式一 步算出面积？式子怎么列？ 借助学过的内容，这个结果自己能算出来吗？ (4)换条路子，这块地扩完后的面积还有别的求法吗？把大长方形切成几块分别算，行不行？ (5)两条路子写出的式子，中间能不能连等号？把这串等号排在一起看，规律露出来了吗？ a p b q 　 设小区中心花园原本有一块长方形绿地，长是 a m，宽是 p m. 那么这块绿地的面积是多少？ 现在准备把绿地向外扩，长的一边加 b m，宽的一边也加 q m. a p ap b q 扩完之后，整块地的面积能怎样算？ 路子一：把整块地当作一个大长方形求面积. 扩完后，绿地面积就是： a p ap b q p+q a+b (a+b)(p+q) 路子二：左右切成两块，两块长方形面积相加. a p ap b q a p ap b q p+q a+b 扩完以后，面积可以记作： a(p+q)+b(p+q) 竖着切一刀，面积又能写成： p(a+b)+q(a+b) 路子三：横竖各来一刀，切成四小块，面积合起来. 这时，四块的面积合计是： a p ap b q ap+bp+aq+bq bp bq aq 同一块地，四种写法： (a+b)(p+q) a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) ap+bp+aq+bq a p ap b q 四个式子算的是同一块地，所以： (a+b)(p+q) = a(p+q)+b(p+q) = p(a+b)+q(a+b) = ap+bp+aq+bq 这串等式怎么推？动手算一遍，哪步都省不掉 (a+b)(p+q) + + = = 把(p+q)看作一个整体先算 a(p+q) b(p+q) 再按上一节的法则展开 ap bp aq bq + + (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq (a + b)(p + q) 展开的过程，就是用 a + b 的每一项，逐个去乘 p + q 的每一项，再把所得的积全部加起来. 多项式乘多项式，做法只有一条：一个因式的每一项，都要逐个乘遍另一个因式的每一项，一项也不能漏，乘完再把各个积相加. ①盯紧符号：每项都把身前的正负号带上再算； ②同类项没合并时，积有几项，看两因式项数相乘的结果. (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 13 2．先算一遍：(a＋b)(p＋q). 可以把p＋q当作一个整体，按单项式乘多项式的方法来算． 归 纳 1．多项式乘多项式，把一个因式的各项，逐个乘遍另一个因式的各项，再把积相加，即(a＋b)(p＋q)＝_______________. 2．乘完以后，结果仍是________.同类项未合并时，积的项数恰好________两个因式项数的乘积． ap＋aq＋bp＋bq 多项式 等于 照这样算 例1 看步骤：　 (1) (b + 4)(b – 3)； 解：(1) (b + 4)(b – 3) = b·b + b·(–3) + 4·b + 4×(–3) = b2 – 3b + 4b – 12 = b2 + b – 12 (2) (3p + 2)(p + 4)； (2) (3p + 2)(p + 4) = (3p)·p + (3p)·4 + 2·p + 2×4 = 3p2 + 12p + 2p + 8 = 3p2 + 14p + 8 (3) (b – 7p)(b – p)； (3) (b – 7p)(b – p) = b2 – bp – 7bp + 7p2 = b2 – 8bp + 7p2 (4) (b + p) (b2 – bp + p2)； (4) (b + p) (b2 – bp + p2) = b3 – b2p + bp2 + b2p – bp2 + p3 = b3 + p3 例2　算一算： (1)(3b＋7)(3b－7)＋2b(b - 1)； (2)(3b－2p)(p－3b)－(2b－p)(3b＋p)； 解：(1)原式＝12b2－2b－49； (2)原式＝－15b2＋10bp－p2； (3)5p2－(p－2)(3p＋1)－2(p＋1)(p－5)； (4)(2b－b2－3)(b3－b2－2). (3)原式＝13p＋12； (4)原式＝－b5＋3b4－5b3＋5b2－4b＋6. 例3　(1)把式子先整理到最简，再代值计算：3b(2b＋1)－(2b＋3)(b－4)，其中b＝－3； 解：原式＝4b2＋8b＋12. (2)算法是先把各项并起来，再代值：p(b＋p)＋(b＋p)(b－p)－b2，已知b＝－2，p＝. 解：原式＝bp. 当b＝－2，p＝时，原式＝－1. 当b＝－3时，原式＝24； 纸上的活 1. 动笔算： （1）(3b + 2)(b + 1)； 解： (3b + 2)(b + 1) = 3b·b + 3b·1 + 2·b + 2×1 = 3b2 + 3b + 2b + 2 = 3b2 + 5b + 2 （2）(p + 3b)(4b – p)； 解： (p + 3b)(4b – p) = p·4b + p·(–p) +3b·4b + 3b·(–p) = 4bp – p2 + 12b2 – 3bp = 12b2 + bp – p2 解： (p – 3)2 （3）(p – 3)2； （4）(b + 4p)(b – 4p)； = (p – 3)(p – 3) = p·p + p·(–3) + (–3)·p + (–3)×(–3) = p2 – 3p – 3p + 9 = p2 – 6p + 9 解： (b + 4p)(b – 4p) = b·b + b·(–4p) + 4p·b + 4p·(–4p) = b2 –4bp + 4bp – 16p2 = b2 – 16p2 解： (3p2 – 1)(p – 5) （5）(3p2 – 1)(p – 5)； = 3p2·p + 3p2·(–5) + (–1)·p + (–1)×(–5) = 3p3 – 15p2 – p + 5 解： (p2 + 3p + 4)(2p – 6) = p2·2p + p2·(–6) + 3p·2p +2p·(–6) + 4·2p + 4×(–6) = 2p3 – 6p2 + 6p2 – 18p + 8p – 24 = 2p3 – 10p – 24 （6）(p2 + 3p + 4)(2p – 6). 2. 写出积： （1）(x + 3)(x + 5)； 解： (x + 3)(x + 5) = x·x + x·5 + 3·x + 3×5 = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15 解： (x – 5)(x + 1) = x·x + x·1+ (–5)·x + (–5)×1 = x2 + x – 5x – 5 = x2 – 4x – 5 （2）(x – 5)(x + 1)； （3）(x + 3)(x – 2)； 解： (x + 3)(x – 2) = x·x + x·(–2) + 3·x + 3×(–2) = x2 – 2x + 3x – 6 = x2 + x – 6 解： (x – 6)(x – 3) = x·x + x·(–3) + (–6)·x + (–6)×(–3) = x2 – 3x – 6x + 18 = x2 – 9x + 18 （4）(x – 6)(x – 3). （1）(x + 3)(x + 5)； = x2 + 8x + 15 = x2 – 4x – 5 （2）(x – 5)(x + 1)； （3）(x + 3)(x – 2)； = x2 + x – 6 = x2 – 9x + 18 （4）(x – 6)(x – 3)； 把几题得数摆在一起，对照右图把空填好： (x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ). x2 x x p q qx px pq x p+q pq 3. 求它的值： (b – p)(b2 + bp + p2) – (b + p)(b2 – p2) ，其中 b = ，p = 5. 解： 原式 = b·b2 + b·bp + b·p2 + (–p)·b2 + (–p)·bp + (–p)·p2 – [b·b2 + b·(–p2) + p·b2 + p·(–p2)] = b3 + b2p + bp2 –b2p – bp2 – p3 –b3 + bp2 –b2p + p3 = bp2 –b2p 当 b = ，p = 5 时，原式 = 4．要让(4b－p)(b＋1)的乘积中不见b的一次项，须使p取( ) A．－4 B．2 C．3 D．4 5．已知b＋p＝6，bp＝4，则式子(b－3)(p－3)的值是　 　. 6．某场地原来长4b m，宽比长少5 m，如今长与宽一同增加3 m，场地面积一共多了　 　m2. D －5 (24b－6) 7．求使(4b＋3)(4b－5)＞16(b－2)(b＋4)成立的所有非负整数解． 解：两边各自展开，得16b2－8b－15＞16b2＋32b－128， 即40b＜113，可得b＜. ∵b为非负整数，故b只能取0，1，2. 看这条线 顺着绿地这道题，把今天的思路走一遍： 从面积等式出发，把一个因式的每项与另一个因式的每项逐个相乘，再把所得的积相加. (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq (1)教材P110　习题16.2第1题； (2)十分钟内做完练习册上的对应题． 检查几题 $