16.2 多项式与多项式相乘（第3课时）教学课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十六章　整式的乘法 16.2　整式的乘法 第1课时　单项式与单项式相乘 【R·数学八年级上册】 温故知新 1．计算： (1)(2a－3b)·(－3a)＝　　　　　　　； (2)(－3x2)(－x2＋2x－1)＝　 　　　　　. 2．算一算：x3·(－2x)2－2x(3x－2x4)＝　　　　　　　. －6a2＋9ab 3x4－6x3＋3x2 －6x2＋6x5 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 尝试探究 1．教材P106　问题2. 先来看几个问题： (1)扩大之后的绿地，面积该怎样算？你能想出几种解法？ (2)若把扩大后的整块绿地当成一个大长方形，它的长、宽分别能在图上找到吗？ (3)长和宽都知道了，能不能套公式一 步算出面积？式子怎么列？ 结合学过的知识，能把结果算出来吗？ (4)换个思路，求扩大之后的绿地面积还有没有别的办法？能不能把这个大长方形切分成几个小长方形来算？ (5)两种算法各自列出的式子之间能画等号吗？由这组相等的式子，你又能读出什么规律？ a p b q 　 已知街心花园内原有一块长方形的绿地，长为 a m，宽为 p m. 则这块绿地的面积有多大？ 现在想把花园的绿地扩得更大，把长方形的长加长 b m，把宽加宽 q m. a p ap b q 扩大之后，这块面积有几种不同的求法？ 方法一：整块来看，按一个大长方形算面积. 扩大后，绿地面积为： a p ap b q p+q a+b (a+b)(p+q) 方法二：拆成两块，把两个长方形的面积加起来. a p ap b q a p ap b q p+q a+b 扩大之后，绿地面积可表示为： a(p+q)+b(p+q) 扩大之后，绿地面积又可写为： p(a+b)+q(a+b) 方法三：切成四小块，四个长方形面积求和. 扩大之后，绿地面积即： a p ap b q ap+bp+aq+bq bp bq aq 同一面积的几种写法： (a+b)(p+q) a(p+q)+b(p+q) p(a+b)+q(a+b) ap+bp+aq+bq a p ap b q 三种写法算的都是同一块面积，所以： (a+b)(p+q) = a(p+q)+b(p+q) = p(a+b)+q(a+b) = ap+bp+aq+bq 这个等式要经过怎样的推导才能得到？ (a+b)(p+q) + + = = 把多项式(p+q)整体打包来算 a(p+q) b(p+q) 再按单项式乘多项式法则展开 ap bp aq bq + + (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq (a + b)(p + q) 的展开结果，可以理解成拿 a + b 的每一项去乘 p + q 里的每一项，再把各个乘积一并相加得来的. 通常情况下，两个多项式做乘法，先拿其中一个式子里的每一项，分别与另一个多项式的各项相乘，最后把全部乘积加起来. ①留意符号：每一项都要连同它前面的正负号一起算； ②未合并同类项前，积的项数应等于两因式项数之积. (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 13 2．计算：(a＋b)(p＋q). 可以把p＋q当作一个整体，按单项式乘多项式那套法则来算． 提 炼 1．碰到多项式乘多项式，就拿其中一个式的各项，逐个去乘另一个式的各项，再把乘得的积逐一相加，即(a＋b)(p＋q)＝_______________. 2．多项式乘多项式，最后的结果仍是________.尚未合并同类项时，积里的项数应是________两个因式项数的乘积． ap＋aq＋bp＋bq 多项式 等于 范例剖析 例1 计算：　 (1) (a + 3)(a – 2)； 解：(1) (a + 3)(a – 2) = a·a + a·(–2) + 3·a + 3×(–2) = a2 – 2a + 3a – 6 = a2 + a – 6 (2) (3x + 1)(x + 2)； (2) (3x + 1)(x + 2) = (3x)·x + (3x)·2 + 1·x + 1×2 = 3x2 + 6x + x + 2 = 3x2 + 7x + 2 (3) (x – 8y)(x – y)； (3) (x – 8y)(x – y) = x2 – xy – 8xy + 8y2 = x2 – 9xy + 8y2 (4) (a + b) (a2 – ab + b2)； (4) (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3 例2　算一算： (1)(3x＋7)(3x－7)＋2x(x - 1)； (2)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)； 解：(1)原式＝12x2－2x－49； (2)原式＝－15x2＋10xy－y2； (3)5y2－(y－2)(3y＋1)－2(y＋1)(y－5)； (4)(2x－x2－3)(x3－x2－2). (3)原式＝13y＋12； (4)原式＝－x5＋3x4－5x3＋5x2－4x＋6. 例3　(1)先化简下式，再求它的值：3x(2x＋1)－(2x＋3)(x－5)，已知x＝－2； 解：原式＝4x2＋10x＋15. (2)先把式子化简，再代入求值：y(x＋y)＋(x＋y)(x－y)－x2，已知x＝－2，y＝. 解：原式＝xy. 当x＝－2，y＝时，原式＝－1. 当x＝－2时，原式＝11； 限时练兵 1. 计算： （1）(2x + 1)(x + 3)； 解： (2x + 1)(x + 3) = 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1×3 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 （2）(m + 2n)(3n – m)； 解： (m + 2n)(3n – m) = m·3n + m·(–m) +2n·3n + 2n·(–m) = 3mn – m2 + 6n2 – 2mn = – m2 + mn + 6n2 解： (a – 1)2 （3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)； = (a – 1)(a – 1) = a·a + a·(–1) + (–1)·a + (–1)×(–1) = a2 – a – a + 1 = a2 – 2a + 1 解： (a + 3b)(a – 3b) = a·a + a·(–3b) + 3b·a + 3b·(–3b) = a2 –3ab + 3ab – 9b2 = a2 – 9b2 解： (2x2 – 1)(x – 4) （5）(2x2 – 1)(x – 4)； = 2x2·x + 2x2·(–4) + (–1)·x + (–1)×(–4) = 2x3 – 8x2 – x + 4 解： (x2 + 2x + 3)(2x – 5) = x2·2x + x2·(–5) + 2x·2x +2x·(–5) + 3·2x + 3×(–5) = 2x3 – 5x2 + 4x2 – 10x + 6x – 15 = 2x3 – x2 – 4x – 15 （6）(x2 + 2x + 3)(2x – 5). 2. 计算： （1）(x + 2)(x + 3)； 解： (x + 2)(x + 3) = x·x + x·3 + 2·x + 2×3 = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 解： (x – 4)(x + 1) = x·x + x·1+ (–4)·x + (–4)×1 = x2 + x – 4x – 4 = x2 – 3x – 4 （2）(x – 4)(x + 1)； （3）(x + 4)(x – 2)； 解： (x + 4)(x – 2) = x·x + x·(–2) + 4·x + 4×(–2) = x2 + –2x + 4x – 8 = x2 + 2x – 8 解： (x – 5)(x – 3) = x·x + x·(–3) + (–5)·x + (–5)×(–3) = x2 – 3x – 5x + 15 = x2 – 8x + 15 （4）(x – 5)(x – 3). （1）(x + 2)(x + 3)； = x2 + 5x + 6 = x2 – 3x – 4 （2）(x – 4)(x + 1)； （3）(x + 4)(x – 2)； = x2 + 2x – 8 = x2 – 8x + 15 （4）(x – 5)(x – 3)； 由前面几题的得数找规律，对照右图填空： (x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ). x2 x x p q qx px pq x p+q pq 3. 求它的值： (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – y2) ，其中 x = ，y = 5. 解： 原式 = x·x2 + x·xy + x·y2 + (–y)·x2 + (–y)·xy + (–y)·y2 – [x·x2 + x·(–y2) + y·x2 + y·(–y2)] = x3 + x2y + xy2 –x2y – xy2 – y3 –x3 + xy2 –x2y + y3 = xy2 –x2y 当 x = ，y = 5 时，原式 = 4．要让(4x－a)(x＋1)的乘积里不出现x的一次项，那么a应取( ) A．－4 B．2 C．3 D．4 5．若a＋b＝3，ab＝2，那么代数式(a－2)(b－2)等于　 　. 6．学校操场原长2x m，宽比长小10 m，如今把长和宽各增加了5 m，全场面积的增量为　 　m2. D 0 (20x－25) 7．求出能让(3x＋2)(3x－4)＞9(x－2)(x＋3)成立的所有非负整数解． 解：先把原不等式化成9x2－12x＋6x－8＞9x2＋27x－18x－54， 即15x＜46，可得x＜. ∵x是非负整数，于是x可取0，1，2，3. 收获盘点 试着用自己的话讲一遍： 做多项式乘法时，先拿一个式子的各项，逐个去乘另一个式子，再把乘出的积加起来. (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq (1)教材P110　习题16.2第1题； (2)练习册对应题一份，记得交． 作业导航 $