16.3 乘法公式（第2课时）课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

第16章　整式的乘法 16.3 乘法公式（第2课时） 完全平方公式 数学新教材人教版　八年级上册 情境引入 边长增加，面积怎样增加 情境 一个边长为的正方形，两条边的长度都增加，新正方形面积为。它比原来的多了多少？ 观察 把新图形分成原正方形、两个的长方形和一个的小正方形。增加的面积是。 探究新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） ______ （2） __________________ （3） __________________ （4） __________________ （1） 答：。 展开得。 （2） 答：。 两个交叉积都是，和为。 平方表示相同的两个因式相乘，不是各项分别平方后相加。 探究新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） ______ （2） __________________ （3） __________________ （4） __________________ （3） 答：。 两个交叉积为，常数积为正1。 （4） 答：。 两个交叉积为，常数积为正4。 两个负的交叉积相加，末项负乘负仍为正。 新知讲授 推导和的完全平方公式 思考与解释 。两项是同类项，可以合并为。 结论与使用 得到。中间项来自两次交叉相乘，因而既有也有，系数为2。 新知讲授 推导差的完全平方公式 思考与解释 。两个交叉积合并为。 结论与使用 得到。与和的平方相比，只改变中间项的符号，末项仍是。 新知讲授 完全平方公式 公式 ；。 文字表述 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 新知讲授 三项结构与中间项 思考与解释 结果按“首平方、积的2倍、末平方”排列。和的平方取正的中间项，差的平方取负的中间项。 结论与使用 例如，两平方项为与，中间项为。 例题讲解 示例 你能根据图中的面积说明完全平方公式吗？ 答：大正方形面积等于四个小区域面积之和。 整块正方形边长为，面积为。 四部分面积依次为、、、，相加即得公式。 两个长方形同时存在，解释了中间项为何有2。 例题讲解 示例 你能根据图中的面积说明完全平方公式吗？ 答：从中减去两条面积为的长条，再补回重复减去的。 两条长条重叠的部分是边长的小正方形。 它被减了两次，应补回一次，留下边长的正方形。 重叠区域被重复减去，所以最后加回b²。 新知巩固 辨析 判断并说明理由。 （1） 。 错误 漏了中间项。 （2） 。 正确 末项仍为正的平方。 （3） 。 错误 中间项应为。 分别核对两平方项和二倍乘积，不能只检查首末项。 例题讲解 例3 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 中间项是两个完整单项式乘积的2倍。 例题讲解 示例 计算。 答：。 先看成，因为整个式子取相反数后平方不变。 展开为。 两个负项同时平方时，中间项为正。 例题讲解 例4 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：10404。 。 相加得10404。 （2） 答：9801。 。 相加得9801。 与整百数相差很小时，保留二倍乘积更容易心算。 例题讲解 示例 计算。 答：408.04。 。 原式。 小数的平方与二倍乘积分别计算，注意小数位数。 探究新知 思考 下列两组式子相等吗？为什么？ （1） 与。 （2） 与。 （1） 答：相等。 ，互为相反数的两个数平方相等。 （2） 答：相等。 ，平方后符号差异消失。 判断两个整体是否互为相反数，可比直接展开更快。 例题讲解 示例 与相等吗？为什么？ 答：一般不相等。 前者为，后者为，结构不同。 例如，两者分别为4与8。 反例足以否定“对所有数都相等”；名称相近不代表式子相同。 课堂练习 练习1 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1） 。 （2） 。 （1） 答：错误。 应为。 （2） 答：错误。 应为。 两条错误都发生在中间项，必须写成积的2倍。 课堂练习 练习2 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 。 （2） 答：。 。 差的平方只有中间项取负号，末项仍取正。 课堂练习 练习2 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 。 （4） 答：。 中间项系数为。 中间项先单独算系数，再补上字母乘积。 课堂练习 练习3 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：9604。 。 （2） 答：4970.25。 。 靠近哪个整数，就写成该整数加减一个小数。 课堂练习 巩固 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 答：。 中间项为。 （2） 答：。 中间项为。 两个单项式分别平方，中间再乘2。 课堂练习 巩固 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 答：。 先写成再展开。 （4） 答：。 中间项系数。 相反数的平方相同；分数与小数可先化成便于计算的形式。 课堂练习 巩固 运用完全平方公式计算： （1） 。 （2） 。 （1） 答：3969。 。 （2） 答：7225。 。 把两位数写成整十数加个位数，二倍乘积不能遗漏。 课堂练习 练习 一个正方形纸片的边长增加，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是多少？ 答：。 设原边长为，则。 展开得，解得。 增加的是两条长条与角上小方块的总面积。 课堂练习 练习 如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积。 答：。 剩余面积。 括号内化简为，所以面积为。 题目给直径，计算圆面积前要除以2。 课堂练习 练习 已知，，求的值。 答：19。 由，得。 代入得。 把目标写成已知的和与积，无须分别求a、b。 新知讲授 从完全平方走向杨辉三角 思考与解释 的系数依次为1、2、1。杨辉三角中，两腰上的数都是1，其余每个数为上方左右两数之和。 结论与使用 按这个规则，下一行依次为1、3、3、1，再下一行为1、4、6、4、1。每行的规律可由上一展开式再乘来检验。 例题讲解 示例 利用杨辉三角写出的展开式，并利用整式的乘法验证你的结果。 答：。 五次幂的系数为，再乘。 同类项系数相加，依次得到。 a的指数逐项减1，b的指数逐项加1，每项总次数为6。 方法归纳 比较两种乘法公式 完全平方 ① 两个因式相同，展开为三个部分。 ② 中间项是二倍乘积，符号由两项乘积确定。 平方差 ① 两个因式一同一反，交叉项抵消。 ② 结果是相同项的平方减去相反项的平方。 课堂总结 完全平方公式 公式 。 结构 两个平方项和一个二倍乘积项。 符号 和取正中项，差取负中项，末项都是平方。 整体 系数、字母、负号同时参与计算。 应用 简算、面积增量、由和与积求平方和。 针对训练 训练 等于哪一项？A．；B．；C．；D．。 答：C。 中间项为，末项为16。 先检验中间项的系数与符号。 针对训练 训练 ______。 答：。 中间项为。 二倍乘积要包含两个字母与两个系数。 针对训练 训练 判断并说明理由。 （1） 。 正确 两个整体互为相反数。 （2） 。 正确 互为相反数的平方相等。 （3） 。 错误 差的平方不能写成平方差。 先看两个因式是否相同，再选择公式。 针对训练 训练 计算。 答：。 中间项。 两个平方项为与。 中间项的符号来自两项乘积，不取决于表面加号。 针对训练 训练 计算。 答：。 中间项系数为。 两平方项系数分别为、。 先约分二倍乘积的系数，再填写字母。 针对训练 训练 计算。 答：。 展开为。 平方项和常数项抵消，余下。 第二个括号前是减号，展开后的三项全部变号。 针对训练 训练 已知，，求。 答：40。 。 整体代入已知条件，无须解出两个数。 针对训练 训练 若，求。 答：。 中间项为，所以。 得，且，与末项一致。 中间项确定正负，末项用于检查。 针对训练 训练 正方形广场原边长为，扩建后边长增加。求新增面积。 答：。 新增面积。 化简为。 两条边同时增加，新增面积不只是角上的小正方形。 针对训练 训练 一块正方形金属板原边长为，沿相邻两边各裁去宽的长条，使剩下部分仍为正方形。求剩余面积。 答：。 新边长为，面积。 计算。 按剩余边长的平方计算，可避免重复扣除角部面积。 方法归纳 本课解题方法 三项逐一核对 ① 先写首项平方，再写二倍乘积，最后写末项平方。 ② 核对中间项符号与系数，负数作为整体要加括号。 把已知变成可用整体 ① 简算把数拆成整十、整百数加减小数。 ② 求平方和时，用和的平方减去二倍积。 $