抽象函数的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

抽象函数的性质讲义-2027届高三数学一轮复习 视角1对称性 例1(1)已知函数x一1)为偶函数，且函数x)在[一1，+∞)上单调递增， 则关于x的不等式1一29≤一7)的解集为() A.(-∞，3) B.(3,+∞) C.（-∞，2) D.(2,+∞) (2)已知函数x)x∈R)满足一x)=2一x),若函数y=与y=孔x)图象的交 点为(x1,),(x,y2),…,(x10,y1,则十y闭=一· 总结提炼 若函数y=)满足a十)=a一x)或w)=2a一)，则函数y=w)的图象 关于直线x=a对称.推广：若函数y=x)满足a十x)=b一x),则函数y=x) 的图象关于直线x=对称 变式1已知定义在R上的函数x)在（一∞，2]上单调递增，若函数x十2） 为偶函数，且3)=0，则不等式xx>0的解集为 视角卫对称性、周期性的综合 例2(1)已知定义域为R的函数x),满足2x)是奇函数，3x一1)是偶函 数，则下列说法不一定正确的是() A.x)的图象关于直线x=一1对称 B.-3)=1 C.x的一个周期为4 D.x)的图象关于点(O,O)对称 (2)已知定义在R上的函数x),gw满足x)+g(2一x)=5,g)一x一4)= 3,且g(x十2)为偶函数，则1)十2)十3)十…+2025)= 总结提炼 函数对称性与周期性的关系 (I)若函数y=x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则x)为周期函数且 2b一d是它的一个周期. (2)若函数y=x)x∈R)的图象关于两点A(a,),B(b,yo)都对称，则2b 一d是y=x)的一个周期. (3)若函数y=x)x∈R)的图象关于点A(a,)和直线x=b都对称，则4b 一4是y=x)的一个周期. 变式2(I)已知x)是R上的连续函数，满足：Hx,y∈R,x十)+x一y) =x)y),且1)=1，则下列说法中正确的是() A.0)=0 B.x)为奇函数 C.x的一个周期为8 D.是x的一个对称中心 (2)(多选)已知定义在R上的函数)和g(),若x十2)为奇函数，g)为偶 函数，且x十1)+g(3一x)=4,则() A.g(2)=2 B.6)=0 C.x)的图象关于x=4对称 D.8为gx的一个周期 配套精练 一、单项选择题 1.若函数x)的图象关于点(1,0)对称，则() A.x+1)为偶函数 B.x一1)为偶函数 C.x+1)为奇函数 D.x一1)为奇函数 2.已知w是定义在R上的奇函数，x十1)=1一x),且孔一1)=1，则2 029)=() A.1 B.0 C.-2021 D.-1 3.已知定义在R上的奇函数x)满足x)=4一x),且x)在[一2,2]上单 调递增.设a=子b=c=一13)，则() A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 4.已知偶函数人x)满足：f(x)+f(x+2)=4,且xf>0,若2)<0，则2 025)=() A.1 B. C.- D.-1 5.已知函数x)对x∈R都有x)=x+4)+2),若函数y=x十3)的图象 关于直线x=一3对称，且对Hx1,∈[0,2]，当≠x时，都有(x一)[x)一 x]>0,则下列结论错误的是() A.2)=0 B.x是偶函数 C.x是周期为4的周期函数 D.3)≤-4) 二、多项选择题 6.已知函数x)的定义域为R,f为奇函数，且对于任意x∈R,都有2一 3x)=3x),则() A.x+1)=x) B.f=0 C.x+2)为偶函数 D.f为奇函数 7.已知函数x是定义在R上的偶函数，x+I)是定义在R上的奇函数， 则() A.x)的图象关于点(1，O)中心对称 B.x是周期为2的函数 C.2027)=0 D.∑)=0 8.已知非常数函数x)是定义在R上的偶函数，且0)=0,2x一1)= ),则() A.1)=0 B.2是x)的一个周期 C.当且仅当x∈Z时，x)=0 D.x)不存在最小正周期 三、填空题 9.已知定义在R上的两个函数x)和gx)满足x十g(1一x)=3.若y=x) 的图象关于点(1,0)对称，则0)=一· 10.已知函数x)的定义域为R,y=x)一1为奇函数，y=x十1)为偶函数， 若2025)=2，则3)= 11.已知x+1)是定义在R上的奇函数，且x+4)=2一x),当x∈(1,3] 时，x)=ex-2x,则2025)+2026)= 参考答案 一、对称性 例1(1)【答案】A【解析】因为x一1)为偶函数，所以x一1)的图象 关于y轴对称，则x)的图象关于直线x=一1对称.因为x)在[一1，十∞)上单 调递增，所以x)在（一∞，一1]上单调递减.因为1一2）<-7)=5)，所以 -7<1-2<5,解得x<3. 例1(2)【答案】10【解析】因为函数x)x∈R)满足一x)=2一)， 即满足=1，所以y=x)关于点(0,1)对称.又函数y==1十关于点(0,1)对称， 所以函数y=与y=)图象的交点(，y),(,),…,(x10,y)也关于点(0， 1)对称，故交点心1，y),(,y),…,(x1,)成对出现，且每一对点都关于 (0,1)对称，故6x十)=(x十x2十…+x0)十0y1十y2+…+y)=0+×2=10. 变式1【答案】（一∞，0）U(1,3)【解析】由函数x十2)为偶函数， 可知函数x)的图象关于x=2对称.又函数孔x)在（一∞，2]上单调递增，故函 数)在(2，+∞)上单调递减.由3)=0，知1)=0，作出函数)的大致图象 如图所示.由图可知，当x<0时，由x>0,可得x)<0,则x<0;当x>0 时，由x>0,可得x)>0,则1<x<3.综上，不等式x)>0的解集为（一 ∞，0)U(1,3). 二、对称性、周期性的综合 例2(1)【答案】B【解析】由3x一1)是偶函数，可知-3x一1) 3x一1)，则x关于x=一1对称，故A正确；因为2x)是奇函数，所以x也 是奇函数，关于点(0,0)对称，故D正确；由AD可知，术一2一x)=x)=一一 x),即-2十x)=一x),即x)=一x+2),则x)=一x十2)=x+4),所以 )是周期函数，一个周期为4，故C正确；由x)=一x十2)可知，一3)=一 -1),函数x)关于x=一1对称，但一1)不确定，故B错误. 例2(2)【答案】2025【解析】因为函数gx+2)为偶函数，所以g(x +2)=g(-x十2)，即w+g(2-x)=x)+g(2+)=5①，又gw-x-4)=3, 即g(x十2)-x-2)=3②，所以①-②得x)+x-2)=2,即x+2)+x)=2, 两式相减得x十2)一x-2)=0,即x十2)=x一2)→x十4)=x),所以)为 周期函数，周期为4.又x)+g(2-x)=5,一)+g(2+x)=5,gx+2)=g(-x 十2)，所以x)=(一x),即)为偶函数.又x+2)十x)=2,所以1)+-1) =21)=2→1)=1,1)+3)=2,2)+4)=2，所以1)+2)+3)+4)= 4,所以1)+2)+3)+…+2025)=506×4+2025)=2024+1)=2025. 变式2(1)【答案】D【解析】对于A,令x=1,y=0,则1十0)+1 -0)=1术0)，所以21)=1)0)，因为1)=1，所以0)=2，故A不正确； 对于B,令x=0,则0+)+0-)=0))，即y)十一)=2y),即一y) =y),则x)为偶函数，故B不正确；对于C,令y=1,则x十1)十x一1)= x1)=x),故x+2)+)=x+1),两式相加并整理得x+2)+x-1)= 0,即x+3)=一)，故x+6)=一x+3)=-[-九]=)，故x)的一个周 期为6，则9)=3)=2)一1)=1)一0)一1)=一0)=一2≠1)，故x)的 一个周期为8不成立，C不正确；对于D,由x十3)=一x),且为偶函数， 故x十3)=一几一)，所以是x)的一个对称中心，故D正确. 变式2(2)【答案】BCD【解析】对于A,由x+2)为奇函数，则x +2)=一(-x十2)，故x+1)=一-x十3)，由x十1)+g3一x)=4,则一-x +3)十g3-x)=4,-x十2十1)十g3+x一2)=4，即-x+3)十g(1十)=4，则 g(3一x)十g(1十x)=8.令x=1,则2g(2)=8,即g(2)=4,故A错误.对于B, 由g(x)为偶函数，则gx)=g(一x),由x+1)十g3-x)=4,则x+4)十g(-x)= 4,4-x+gx)=4,故x+4)+g(一)-4-)-8x)=4-4=0,又gx)= g(-),则x+4)=4-为，则x十2)=6-)，则2)=6).由x+2)=- -x+2),则2)=一2)，故2)=0，故6)=0，故B正确.对于C,由x十 4)=4一x),则x)的图象关于x=4对称，故C正确.对于D,由g(3一x)十g(1 +x)=8,则g(-)+g(4+x)=8,又gx)=g(-x),则g)十g4+x)=8,则gx -4)+g(x)=8,则g()十g(4十x)=gx-4)十gx),即g(4+x)=gx-4),即8为 x)的一个周期，故D正确. 三、配套精练 1.【答案】C【解析】因为函数x)的图象关于点(1，O)对称，所以将 )的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即x十1)是奇函数. 2.【答案】D【解析】因为x)为奇函数，所以x十1)=1一x)=- x-1),所以x+3)=x+2+1)=一x+2-1)=x-1),所以x+4)=x), 即w是周期为4的函数，故2029)=1)=一一1)=一1. 3.【答案】D【解析】由x)=4一x)知x)的图象关于直线x=2对称 由x)为奇函数知x)的图象关于点(0,0)中心对称，从而)是周期为8的周期 函数.作出x)的大致图象如图所示，因为x)在[一2,2]上单调递增，所以x) 在[2,6]上单调递减.又=f,f=∫，-13)=3)，2<<3<<6，所以f 13)<f,即b<c<a. 4.【答案】C【解析】由fy+f(x+2)=4,用x代换x+2,可得f(x +2)+f(x十4)=4，联立方程组可得f(x十4)=f(x),即x+4)=x).又x)为 偶函数，且xf>0,可得x)与f同号，所以x十4)=)，可得函数x)是周 期为4的函数.因为2)<0,1)与2)同号，则1)<0，令x=一1，可得f(一 1)+f(1)=2f(1)=4,所以1)=一，则2025)=506×4+1)=1)=一. 5.【答案】D【解析】因为y=x十3)的图象关于直线x=一3对称， 所以y=x)的图象关于y轴对称，即x)是偶函数，B正确；在w=x十4)十 2)中，令x=一2，得-2)=22)，因为-2)=2)，所以2)=22)，解得 2)=0,A正确；x)=x十4)，x)是周期为4的周期函数，C正确；对Hx1, x2∈[0,2]，当x1≠时，都有（一x1)[x)一x)]>0,故x)在[0,2]上单调递 增，又x是周期为4的周期函数，且x)是偶函数，故0)=一4)，3)=一 1)=1),因为1)>0)，所以3)>-4)，D错误. 6.【答案】BCD【解析】由2-3)=3)，得2一x)=w.由f是 奇函数，得f=一f即x)=一1一x),所以2-x)=一1一x),即x十1)=一 w,所以x十2)=x),故A错误；由)=一1一x),得f=0,由x十1)=一 w),得f=一f,所以f=0,故B正确；由x+2)=x),2一x)=x),得2一 x)=2十x),即x+2)为偶函数，故C正确；由x)=一1一x),x十2)=x), 得)=一一1一x),则f=一f,即f为奇函数，故D正确. 7.【答案】AC【解析】对于A,因为y=x+1)是R上的奇函数，其 图象关于原点对称，又y=x十1)的图象可看成是函数y=x)的图象向左平移1 个单位长度得到，所以x)的图象关于点(1，O)中心对称，故A正确；对于B, 由y=x十1)是R上的奇函数，得一x+1)=一x十1)，即-=一x十2)， 又尺-x)=,则x十2)=-x),所以x+4)=一x+2)=x),故x是周期 为4的函数，故B错误；对于C,由一)=一x十2)，令x=一1，得1)=一 1),则1)=0，所以2027)=506×4+3)=3)=-1)=1)=0，故C正确； 对于D,由x十2)+x)=0,得2)+4)=0，又1)=3)=0，w)是周期为4 的函数，所以∑)=4[1)+2)+3)+4)]+1)+2)+3)=2)，而2)的值 无法确定，故D错误. 8.【答案】ABD【解析】由2x一1)=x),令x=0,得-1)=O), 又)是定义在R上的偶函数，则1)=一1)=0)=0，A正确.由2x一1)= w),令2x=t,有t-1)=f,由2x-1)=x),令2x=一t,有-t-1)=f 又x是定义在R上的偶函数，f=f,则有t-1)=一t一1)，所以函数)的图 象关于直线x=一1对称，有一)=x一2).又x)是定义在R上的偶函数，则 一x)=x一2)=x),故x+2)=x,所以2是x)的一个周期，B正确.由 2x一1)=x),令x=,得0)=f=0,故C错误.若T是的一个周期，则 x+T)=xw),所以x)=2x一1)=2x一1+T)=f=f,则也是w的一个周期， 结合B可知，2,1，，，，…都是x)的周期，所以x)不存在最小正周期，D 正确. 9.【答案】3【解析】函数gw)的定义域为R,且y=w)的图象关于 点(1,0)对称，所以g(x)+g(2一x)=0,所以g(1)=0.又x)+g(1一x)=3,当x =0时，0)十g(1)=3,所以0)=3. 10.【答案】0【解析】由y=)一1为奇函数得-x)十w)=2,由y =x十1)为偶函数得1一x=1十x)→x)=2一)，所以有-)+2一x)= 2,即)+2十x)=2→x+2)+x+4)=2,所以x+4)=x),函数x)的一个 周期为4，所以2025)=4×506+1)=1)=2，又1)+3)=2，所以3)= 0. 11.【答案】e2-4【解析】由x十1)是定义在R上的奇函数，得一x 十1)=一x+1),即2一x)=一x).又x+4)=2一)，则x+4)=一x), x+8)=一x十4)=x),因此函数w)的周期为8.当x∈(1,3]时，x)=e一 2,则2)=e2-4,结合1)=0，所以2025)+2026)=1)+2)=e-4.