高考尖子生培优专题08：抽象函数性质应用10大热点题型(一) 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦抽象函数性质应用热点题型，覆盖定义域、值域、单调性、奇偶性等高考核心考点，按性质内在逻辑构建知识体系，通过考点梳理、解题技巧指导、真题变式训练等环节，帮助学生系统突破抽象函数性质综合应用难点。 资料采用分层教学策略与问题导向设计，如单调性判定通过“凑定义+赋值”方法培养数学思维，奇偶性与单调性结合解不等式的步骤化训练强化模型意识，配合限时能力提升训练，高效提升学生抽象函数问题的分析与解决能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题08：抽象函数性质应用10大热点题型(一) 解题技巧一 抽象函数的定义域 4 解题技巧二 抽象函数的值域 5 解题技巧三 比较抽象函数值大小 6 解题技巧四 抽象函数单调性应用 7 解题技巧五 抽象函数的奇偶性 9 第三部分 能力提升 限时训练 10 思维导图 1.函数的单调性(定义法)： 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ， 则有；在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2.函数的对称性： 结论1：任意函数关于直线对称 推广：的图像关于对称； 结论2：任意函数关于直线对称 3.函数的周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 4.函数的对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 5.抽象函数模型 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为  （4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . （5） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 （6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为  对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 （8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 经典重现+解题技巧 解题技巧一 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 【例1】（2026·河南洛阳·模拟预测）(多选)下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【变式1-1】（25-26高三上·山东·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）(多选)已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）(多选)下列说法中，正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数的单调递增区间是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知，则函数的最小值为4 解题技巧二 抽象函数的值域 【例2】（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【变式2-2】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【变式2-3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 解题技巧三 比较抽象函数值大小 已知抽象函数的单调性与奇偶性，待比较的自变量不在同一单调区间（如一个正、一个负），需利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间后再比较。 解题步骤：①利用奇偶性转化自变量：将负自变量转化为正自变量（偶函数：；奇函数：）；②验证定义域与单调区间：确认转化后的自变量在同一单调区间内； ③结合单调性比较大小：根据单调性法则推出函数值的大小关系。 【例3】（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解题技巧四 抽象函数单调性应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 【例4】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【变式4-1】（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-2】（25-26高三上·湖南·期中）函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. (1)任取，，证明：. (2)证明：是上的减函数. (3)解关于的不等式. 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上函数同时满足如下三个条件： ①对任意都有；②当时，；③． (1)计算的值；(2)证明在上为减函数； (3)有集合，问：是否存在点使？ 解题技巧五 抽象函数的奇偶性 函数奇偶性定义：（研究函数问题，一定要先确定好函数定义域）一般地，设函数的定义域为，如果，都有， (1)且，那么函数是偶函数，偶函数图像关于轴对称。【】 (2)且，那么函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称。【】 函数奇偶性应用： (1)是偶函数，常用于解与偶函数有关的不等式或方程； (2)是奇函数，且在处有定义，则 【例5】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式5-2】（2026·广西河池·三模）(多选)已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【变式5-3】（2026·山西·二模）(多选)已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 5．（24-25高三上·天津·期中）已知偶函数在上单调递减，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北邯郸·三模）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 12．（2024·河北邯郸·三模）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）(多选)下列命题是真命题的是（    ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．“”是“”的一个充分不必要条件 D．已知是函数上任意两点，则满足： 14．（2026·福建南平·二模）(多选)已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题08：抽象函数性质应用10大热点题型(一) 解题技巧一 抽象函数的定义域 4 解题技巧二 抽象函数的值域 8 解题技巧三 比较抽象函数值大小 11 解题技巧四 抽象函数单调性应用 14 解题技巧五 抽象函数的奇偶性 20 第三部分 能力提升 限时训练 24 思维导图 1.函数的单调性(定义法)： 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ， 则有；在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 2.函数的对称性： 结论1：任意函数关于直线对称 推广：的图像关于对称； 结论2：任意函数关于直线对称 3.函数的周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 4.函数的对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 5.抽象函数模型 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为  （4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . （5） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 （6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为  对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 （8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 经典重现+解题技巧 解题技巧一 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 【例1】（2026·河南洛阳·模拟预测）(多选)下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. 【变式1-1】（25-26高三上·山东·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再由抽象函数求定义域的法则列不等式，解不等式求的定义域． 【详解】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 【变式1-2】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）(多选)已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D. 【详解】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知， 令，则，即， 故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的知识的综合应用，涉及到函数定义域、求函数值、以及奇偶性和单调性问题，解答此类题目一般采用赋值法，以及结合函数的奇偶性以及单调性定义进行解答. 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江大庆·期末）(多选)下列说法中，正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．函数的单调递增区间是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．已知，则函数的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，的解为或，利用充分条件和必要条件的定义得解；选项B，先求出函数的定义域，再利用还原法，设，利用二次函数的图象得到的单调性，由为上的单调递增函数，利用复合函数得到的单调性，从而得解；选项C，由的定义域为，求出的定义域，从而得到中的的范围，从中解出的范围，从而得解；选项D，由得到，利用基本不等式得到，经过验证等号不成立设，则转化为，利用对勾函数可得在范围内是单调递减函数，利用单调性求出的最小值，从而得解. 【详解】选项A，的解为或，则由“”可以得到“”， 但是“”不一定得到“”，故“”是“”的充分不必要条件， 故选项A正确； 选项B，，或， 设，对称轴为， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 为上的单调递增函数， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 故选项B错误； 选项C，的定义域为， 中的的范围为， 中的， 中的，的定义域为， 中的，解得， 的定义域为，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， ，等号取不到， 设，则转化为， 由对勾函数可得在范围内是单调递减函数， 时，取最小值，且最小值为， 故选项D错误. 故选：AC. 解题技巧二 抽象函数的值域 【例2】（2026·浙江·三模）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得， 由是定义在上的偶函数，得， 则，则， 所以， 而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为8. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如果奇函数在上是增函数且最小值5，那么在区间上是 （    ）． A．增函数且最小值为 B．减函数且最小值为 C．增函数且最大值为 D．减函数且最大值为 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可得对称区间上的单调性与最值. 【详解】因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与在上的单调性相同，也是增函数，在上的最小值5，即， 所以在区间上的最大值为. 故选：. 【变式2-2】（2026·河南许昌·三模）已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用偶函数性质列出，再由奇函数性质列出，联立两式消去化简求得，换元令得，转化为对勾函数，由其在单调递增，代入算出最小值为. 【详解】已知是偶函数，所以① 已知是奇函数，所以，即② 由①得， 代入②：. 整理得，. 令，，则，. 对勾函数在递增，区间在递增区间内. 最小值在处：. 【变式2-3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 【答案】D 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，可判定A错误，利用叠加法，求得的解析式，列出方程，可判定B错误；结合二次函数的性质，可判定C错误，D正确. 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 解题技巧三 比较抽象函数值大小 已知抽象函数的单调性与奇偶性，待比较的自变量不在同一单调区间（如一个正、一个负），需利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间后再比较。 解题步骤：①利用奇偶性转化自变量：将负自变量转化为正自变量（偶函数：；奇函数：）；②验证定义域与单调区间：确认转化后的自变量在同一单调区间内； ③结合单调性比较大小：根据单调性法则推出函数值的大小关系。 【例3】（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数可得函数的对称轴，再结合时的单调性得出整个定义域内单调性，最后比较与对称轴距离的大小根据函数单调性比较大小 【详解】根据函数对称轴的性质，若，则函数的图象关于直线对称，所以函数关于对称， 又因为时，函数单调递增， 由函数对称性知，当时，函数单调递减， 比较自变量到对称轴的距离， 对于 ， ，故， 同理， ，， 对于 ，因为，所以， ， 先比较与，因为，且对数函数在上单调递增， 在上单调递增，当同取时，， 又，所以， 同理，因为，且对数函数在上单调递增，在上单调递增， 当同取时，，又，所以， 即， 因为时，函数单调递增，且自变量到对称轴的距离越远，函数值越大， 所以 ，即 【变式3-1】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当且时，不等式恒成立，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断函数在上的单调性，根据偶函数的性质及指数、对数的运算性质，结合单调性判断即可. 【详解】因为当且时，不等式恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以. 因为， 所以，即. 【变式3-2】（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 【变式3-3】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 解题技巧四 抽象函数单调性应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 【例4】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 【变式4-1】（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) (3)或或 【分析】（1）应用单调性定义判断单调性； （2）根据单调性列不等式计算求解； （3）根据不等式在给定范围恒成立，分和分别判断计算求解. 【详解】（1）任取，且， 则为奇函数， ， 由已知得， ，即． 在上单调递增． （2）在上单调递增， ． 所以不等式的解集为． （3）在上单调递增． 在上，． 问题转化为， 即，对恒成立． 设． ①若，则，对恒成立． ②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须有且， 或． 实数的取值范围是或或． 【变式4-2】（25-26高三上·湖南·期中）函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. (1)任取，，证明：. (2)证明：是上的减函数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）赋值法，令，即可求解； （2）根据单调性的定义，结合已知条件，即可证明； （3）根据（2）中所求单调性，转化原不等式为含参不等式的求解，分类讨论即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，，则， 所以； （2）证明：任取，，且， 则由（1）得， 因为当时，， ，则， 所以，即， 所以是上的减函数； （3）由， 可得， 即， 因为是上的减函数， 所以， 即，① （ⅰ）当时，不等式①式即为，解得，即原不等式的解集为； （ⅱ）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得，即原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； （ⅲ）当时，不等式①式化为，即， 此时，所以原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上函数同时满足如下三个条件： ①对任意都有； ②当时，； ③． (1)计算的值； (2)证明在上为减函数； (3)有集合，问：是否存在点使？ 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)不存在 【分析】（1）运用赋值法，结合题中条件分别令，，即可求解； （2）设，令，结合时，即可证明； （3）代入得到，化简得到一元二次不等式，根据判别式符号即可判断. 【详解】（1）由， ， 得． （2）对任意，有．根据条件②有． 所以． 所以在上为减函数． （3）联立， 将，代入上式得， 因为在上是减函数， 所以消去得． 因为，所以无实数解．所以不存在满足题设的点． 解题技巧五 抽象函数的奇偶性 函数奇偶性定义：（研究函数问题，一定要先确定好函数定义域）一般地，设函数的定义域为，如果，都有， (1)且，那么函数是偶函数，偶函数图像关于轴对称。【】 (2)且，那么函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称。【】 函数奇偶性应用： (1)是偶函数，常用于解与偶函数有关的不等式或方程； (2)是奇函数，且在处有定义，则 【例5】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 【变式5-1】（25-26高三上·福建龙岩·开学考试）已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】先令、、得出为奇函数，再根据为偶函数，得出是以为周期的函数，结合得出即可求出. 【详解】令，则，得； 令，则，即 ， 令，则， 若，则； 若，则，则，则为奇函数， 因为为偶函数，所以，则， 则， 因为为奇函数，所以， 可得，则是以为周期的函数． 因为，所以，则． 由得，则， 得， 故． 【变式5-2】（2026·广西河池·三模）(多选)已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 【变式5-3】（2026·山西·二模）(多选)已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 2．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值 【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大， 因为，且， 所以. 又因为，所以. 因为，所以， 因此，故B选项正确. 4．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【分析】根据函数为偶函数，推出函数的图象关于直线对称，再由条件推出函数在上单调递增，于是可得，利用幂和对数的运算性质和换底公式，以及对数函数的单调性化简比较得，再由的单调性即可判断. 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 5．（24-25高三上·天津·期中）已知偶函数在上单调递减，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数及对数函数单调性分析可得，进而利用偶函数的对称性以及函数单调性分析判断. 【详解】因为函数是偶函数，所以 又由，， 所以， 又因为在上单调递减，所以在上为增函数， 所以 故选：D. 6．（2024·河北邯郸·三模）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解. 【详解】因为是偶函数，，在上单调递减， 所以在上单调递减．，， 因为，，所以，， 所以， 所以，故． 故选：B. 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 8．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）设函数，则使得成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数单调性，判断题干函数单调性，根据函数奇偶性的定义，证明题干函数奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为都是R上的增函数，所以也是R上的增函数， 因为，且，所以函数为R上的奇函数， 则等价于， 由函数在R上单调递增，得，解得. 故选：B. 9．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围． 【详解】当时，，， 又是定义在上的偶函数，所以， 所以，如图所示， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是． 10．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上递增，然后将转化为，再利用函数的单调性可得，从而可求出的取值范围. 【详解】当时，，则在上单调递增， 因为在处连续，且函数是定义域为R的奇函数， 所以在上递增， 由，得， 因为是定义域为R的奇函数， 所以可化为， 因为在上递增，所以，解得， 即的取值范围. 故选：A 11．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 12．（2024·河北邯郸·三模）已知是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得在上单调递减，进一步通过偶函数性质以及将自变量都转换到区间内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解. 【详解】因为是偶函数，，在上单调递减， 所以在上单调递减．，， 因为，，所以，， 所以， 所以，故． 故选：B. 13．（25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）(多选)下列命题是真命题的是（    ） A．函数与是同一个函数 B．若函数的定义域为，则函数的定义域为 C．“”是“”的一个充分不必要条件 D．已知是函数上任意两点，则满足： 【答案】BD 【分析】根据相同函数的定义判断A，根据抽象函数的定义域的解法，判断B，根据集合的包含关系和充分必要条件的定义，判断C，根据基本不等式判断D. 【详解】A. 函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一函数，故A错误； B. 若函数的定义域为，令，得，所以函数的定义域为，故B正确； C. ，得，解得， 集合是集合的真子集，所以“”是“”的一个必要不充分条件，故C错误； D. ，，故D正确. 故选：BD 14．（2026·福建南平·二模）(多选)已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 【答案】ACD 【分析】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D. 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误； 令，则，两边取导数可得，即，故C正确； 由，对两边求导，， 令，可得，又，所以， 当时，，所以在上是减函数，故D正确. 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $