高考尖子生培优专题09：抽象函数性质应用10大热点题型(二)讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数性质应用热点题型，围绕对称性、周期性、奇偶性及综合应用等核心考点，通过思维导图系统梳理性质内在联系，按解题技巧分层设计考点梳理、方法指导、真题讲解及分层练习环节，帮助学生构建抽象函数问题的分析框架与解题思路。 讲义创新采用“性质联动”教学策略，如通过“对称性与周期性知二求一”规律推导培养数学思维，结合例3从奇偶性与对称性证周期、求解析式的典例精讲，渗透模型意识。设置经典重现、变式训练、限时提升三级练习，配合即时反馈，确保学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题09：抽象函数性质应用10大热点题型(二) 解题技巧六 抽象函数的对称性 3 解题技巧七 抽象函数的周期性 6 解题技巧八 抽象函数的奇偶性、对称性求解析式 10 解题技巧九 由抽象函数图象的对称性求参数 13 解题技巧十 抽象函数对称性、奇偶性、周期性的综合应用 16 第三部分 能力提升 限时训练 20 思维导图 1.函数的单调性(定义法)： 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ， 则有；在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 3.函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 4．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 5.函数的周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 6.函数的对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 经典重现+解题技巧 解题技巧六 抽象函数的对称性 函数对称性应用： 轴对称：的图像关于直线对称；或者 关于对称； 同号求周期，异号求对称 (2)中心对称：的图像关于点中心对称 两个对称(点点、线线、点线)+周期，知二求一 【例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 【变式1-1】（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知为奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为为奇函数， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 所以， 故的周期为， 所以 【变式1-2】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断. 【详解】由为偶函数，得，即关于对称. 由为奇函数，得，令可得. 所以，， 联立得，，周期为. 选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误. 选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误. 选项C：由，令，得，即恒成立，C正确. 选项D：在中，令，得，由， 所以，故，不一定等于，D错误. 【变式1-3】（25-26高三上·宁夏银川·期末）函数为奇函数，若函数与的图像交点为，…，则（    ）． A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】分别判断函数与的对称性，结合函数的对称性进行求解即可． 【详解】由函数为奇函数，所以， 所以，所以关于点对称， 又，所以关于点对称， 所以， 故选：C. 解题技巧七 抽象函数的周期性 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 【例2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对于A选项：令，则； 令，则，所以，故A正确； 对于B选项：因为， 两边求导，得，即，即； 因为为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对于C选项：因为， 所以，（为常数） 未必为0，故C错误； 对于D选项：因为， 令，则，故D正确. 【变式2-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 是偶函数 【答案】C 【分析】利用赋值法结合题目所给条件即可判断. 【详解】对于A：代入得，若， 则无意义，由题干知 是定义域为的函数， 与无意义矛盾，故A错误； 对于B：代入，得， 与A选项相同，故B错误； 对于C：由（①）可得（②）， 联立①②可得，用代换得（③）； 是定义域为的偶函数，所以， 用代换得（④），联立③④得（⑤）， 用代换得，故C正确； 对于D：若 是偶函数，则易得关于对称， 进而有，而由题干知，可得，此条件不一定成立，故D不一定正确. 故选：C. 【变式2-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 【变式2-3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（    ） A．-1012 B．-506 C．506 D．1012 【答案】D 【分析】由为奇函数得出，然后求导得出，得出对称轴. 为奇函数得出对称中心，取求出的值，结合前面两个等量关系得到，取特殊值求出的值，再由关系是推出周期为8，求出，的值，通过规律即可求出的值. 【详解】∵为奇函数，∴，∴两边求导得， ∵，可知关于直线对称， 又∵为奇函数，则，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即，可得 ，即， 令，可得； 令，可得 ; 且，可知8为的周期， 可知，，， 所以 故选: D 【点睛】方法点睛：本题利用函数的奇偶性得到对称性，然后对函数自变量进行转化，求出几个特殊点（偶数）的函数值，利用周期性得到规律，然后求出的值. 解题技巧八 抽象函数的奇偶性、对称性求解析式 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 方程法：即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 模型法：即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 【变式3-1】（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知得出函数周期，由奇函数的性质得出时的解析式，结合对数恒等式即可求解． 【详解】由题意得，，对称轴为直线，则， 所以，所以， 所以，则的周期， 因为，所以， 又当时，，函数是定义在上的奇函数， 所以时，， 所以， 故选：A． 【变式3-2】（24-25高三上·福建泉州·开学考试）(多选)设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A．的周期是2 B．在上递减，在上递增 C．的最大值是2，最小值是1 D．当时， 【答案】ACD 【分析】由结合奇偶性可判断A，利用和函数的对称性可判断BC的正误，结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误. 【详解】对于A，∵对任意的恒有，∴， 则的周期为 ，故A正确； 对于B，因为且为偶函数，故， 故的图象关于对称， 而当时，，∴函数在上是减函数， 上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B错； 对于C，由B的分析可得在的最大值是， 最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确； 对于D，设，则， 故，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-3】（2026·新疆·三模）(多选)设是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．恰有2个零点 【答案】ACD 【分析】利用已知可得，结合复合函数的导数可得，计算可判断A；利用偶函数性质求得的解析式判断B；利用导数可得在上单调递增，结合偶函数的性质判断C；利用单调性及，可得在上有且仅有一个零点，利用偶函数的性质可判断D. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 又当时，，所以， 所以，故A正确； 当时，则，所以 ，故B错误； 当时，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 又函数是上的偶函数，所以，故C正确； 又，，， 结合函数的单调性及，可得在上有且仅有一个零点， 又因为函数是上的偶函数，可得在上有且仅有一个零点， 所以恰有2个零点，故D正确. 解题技巧九 由抽象函数图象的对称性求参数 函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 【例4】（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【答案】C 【分析】先判断的对称性，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设， ， 所以 ， 所以． 【变式4-1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【答案】D 【分析】先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得. 【详解】依题意，可知函数为奇函数，满足. 因， ， 则， 由 ，因不恒为0，故得，即. 【变式4-2】（2026·四川成都·三模）(多选)已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有， 代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 【变式4-3】（2025高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 【答案】1 【分析】根据题意可知在函数的图象上，又根据对称性可知也在函数图象上，代入函数解析式可解得的值，从而得解. 【详解】由题可知点在函数的图象上， 设关于对称中心对称的点为， 则，得， 所以点也在函数图象上， 则， 解得. 故答案为：1 解题技巧十 抽象函数对称性、奇偶性、周期性的综合应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用. 【例5】（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，则下列正确的有（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于点中心对称 C．是图象的一条对称轴 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】, ，所以，故A正确； ，故C正确； 因为函数的周期为，故可取一个周期长度的区间来解函数的值域， 令，则，则，由定义域可去掉绝对值号， 故，所以的值域为，所以D正确； 由D正确可知：的图象上没有函数值小于0的点，的图象不可能关于点中心对称，故B错误． 【变式5-1】（2025·广西·模拟预测）(多选)已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】令，其中，分析函数的对称性与单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令，其中， 则， ，则， 故函数的图象关于直线对称，排除B选项， 因为函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递减， 故函数在上单调递减， 故当时，，此时，故函数在上单调递减， 排除D选项. 故选：AC. 【变式5-2】（2025·福建福州·一模）(多选)已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【变式5-3】（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 2．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【分析】先由题设依次求出函数周期和对称性，进而得到，再结合题意转化即可计算求解. 【详解】由题可得任意有即函数具有周期性且周期为2， 又为偶函数，则函数关于直线对称， 所以，又当时， 所以. 故选：D 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1012 B． C．1013 D．2025 【答案】B 【分析】由，得，利用它并项求和即得答案. 【详解】由 ，计算得， 注意到当 时，， 所以 ， . 故选： B 4．（2025高三·全国·专题练习）已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数定义判断A；利用复合函数求导、偶函数的定义，结合特例说明判断BC；利用复合函数求导求出的周期求解判断D. 【详解】对于A，由函数为奇函数，得，则，，A正确； 对于BC，由求导得，即， 而，则，的图象关于直线对称， 且，由为偶函数，得，的图象关于直线对称， 因此，的周期为4，取，满足的周期为4， 且，且 ，， 显然2不是的周期，BC错误； 对于D，设的周期为，即，求导得，即， 因此函数的周期可以是周期的正整数倍，则的周期可能为4的正整数倍（例如8）， 所以不一定正确，D错误. 故选：A 5．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解. 【详解】因为函数满足， 所以，即是以4为周期的函数. 由题意知奇函数的自变量可取0，所以. 又因为当时，，所以，解得， 所以当时，， 所以 . 6．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，结合函数表达式建立方程求解的值. 【详解】是奇函数，为偶函数， 为奇函数， . 故选：D. 7．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期性得到函数解析式，进而作出图象，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 得到的周期为，当时，， 此时解析式为， 而，由二次函数性质得对称轴为，且， 当时，， 此时解析式为， 而，同理可得， 由题意得当时，， 同理可得，， 若在区间上有个不同的实数根， 则和在区间上有个不同的交点， 如图，我们作出的图象， 由图象可得，故A正确. 故选：A 8．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 10．（2026·重庆·模拟预测）(多选)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 【答案】ACD 【详解】函数是定义在上的奇函数，则，故B错误； 当时，，则，根据奇函数的性质，故A正确； 当时，，则有，又函数为奇函数，，故C正确； 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极小值点，， 当时，，令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 是在上的极大值点，，故D正确. 11．（2026·重庆渝中·模拟预测）(多选)设是定义在上的偶函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C． D．恰有2个零点 【答案】BD 【分析】利用已知可得，结合复合函数的导数可得，计算可判断A；利用偶函数性质求得的解析式判断B；利用导数可得在上单调递减，结合偶函数的性质判断C；利用单调性及，可得在上有且仅有一个零点，利用偶函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以，即， 又当时，，所以， 所以，故A不正确； 对于B，当时，则，所以 ，故B正确； 对于C，当时，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 又函数是上的偶函数，所以，故，故C不正确； 对于D，，，， 结合函数的单调性及，可得在上有且仅有一个零点， 又因为函数是上的偶函数，可得在上有且仅有一个零点， 所以恰有2个零点，故D正确. 12．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【详解】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 13．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，进而可求得 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 14．（2024·全国·模拟预测）(多选)已知，，则（    ） A． B．恒成立 C． D．满足条件的不止一个 【答案】ABC 【分析】令即可判断A；令即可判断B；令即可判断C；令即可判断D. 【详解】A：令，得．又，所以，故A正确． B：令，得，即，所以， 令，得，即函数，所以，故B正确，D错误； C：令，得，代入， 可得，则，故C正确； 故选：ABC． 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选)下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性求解判断即可. 【详解】对于A，，满足，图像关于中心对称，故A满足； 对于B，是偶函数，关于轴对称，故B错误； 对于C，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为， ，所以函数图像的对称中心为，故C满足； 对于D，定义域为，若存在对称中心，则其横坐标只能为1， 所以函数图像的对称中心为，故D满足． 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）(多选)已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 17．（2026·安徽安庆·一模）(多选)已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 18．（2026·陕西西安·三模）(多选)已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 20．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________． 【答案】2 【分析】由题意得到，代入解析式即可求解. 【详解】由可得: ， 即恒成立， 得到恒成立，即， 即，恒成立， 因为在定义域内不恒为0， 所以， 即恒成立， 展开可得，即或， 当时，定义域为空集，舍去， 所以，所以． 故答案为：2 21．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则______． 【答案】 【分析】法一：设是的图象上一点，则关于点的对称点为也在函数图象上，列出方程组，消去后，整理后即可求得的值，检验后即得答案； 法二：由题意可得函数的定义域关于对称，即的解集关于对称，求得，证明的图象关于点对称，再由的图象关于点对称推出，即得答案. 【详解】法一： 设是的图象上一点，P关于点的对称点为， 由题知点Q也在的图象上，则， 两式相加得，即成立， 因为具有任意性，故可得，且， 即，可得， 解得或. 若，则，此时的图象不关于点对称，不合要求； 若，则，此时，， 可得的图象关于点对称，故. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，故得，此时 ， 设，则， 可得函数的图象关于点对称，要使的图象关于点对称， 则，故. 故答案为：. 22．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，，根据已知关系式得，再代入已知解析式即可得； （2）根据已知关系式得函数的周期为4，由时，利用周期性得，再由即可得. 【详解】（1）由于，则，即， 当时，，则； （2）由，得，则，即函数周期， 当时，， 则， 因为，所以； 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题09：抽象函数性质应用10大热点题型(二) 解题技巧六 抽象函数的对称性 3 解题技巧七 抽象函数的周期性 4 解题技巧八 抽象函数的奇偶性、对称性求解析式 6 解题技巧九 由抽象函数图象的对称性求参数 7 解题技巧十 抽象函数对称性、奇偶性、周期性的综合应用 8 第三部分 能力提升 限时训练 9 思维导图 1.函数的单调性(定义法)： 1、令式子中出现的变换判定单调性； 2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ， 则有；在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 3.函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 4．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． (4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝对称． 5.函数的周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 6.函数的对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 经典重现+解题技巧 解题技巧六 抽象函数的对称性 函数对称性应用： 轴对称：的图像关于直线对称；或者 关于对称； 同号求周期，异号求对称 (2)中心对称：的图像关于点中心对称 两个对称(点点、线线、点线)+周期，知二求一 【例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（24-25高三上·四川成都·阶段检测）已知为奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．9 【变式1-2】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·宁夏银川·期末）函数为奇函数，若函数与的图像交点为，…，则（    ）． A．n B． C． D． 解题技巧七 抽象函数的周期性 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 【例2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为 ，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三上·重庆·期中）已知函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 是偶函数 【变式2-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【变式2-3】（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（    ） A．-1012 B．-506 C．506 D．1012 解题技巧八 抽象函数的奇偶性、对称性求解析式 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点(a,0). 方程法：即构造关于函数(如)的方程（组），通过解方程（组）即得所求函数（如）的解析式； 模型法：即结合所给条件确定相应函数的模型，再求出其待定系数，即得函数的解析式. 【例3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【变式3-1】（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·福建泉州·开学考试）(多选)设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A．的周期是2 B．在上递减，在上递增 C．的最大值是2，最小值是1 D．当时， 【变式3-3】（2026·新疆·三模）(多选)设是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C． D．恰有2个零点 解题技巧九 由抽象函数图象的对称性求参数 函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． (3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为. 【例4】（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【变式4-1】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（   ） A．20 B．50 C．70 D．90 【变式4-2】（2026·四川成都·三模）(多选)已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【变式4-3】（2025高三·全国·竞赛）设实数满足：函数图象的对称中心为，则________. 解题技巧十 抽象函数对称性、奇偶性、周期性的综合应用 合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用. 【例5】（2026·河南开封·模拟预测）(多选)已知函数，则下列正确的有（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于点中心对称 C．是图象的一条对称轴 D．的值域为 【变式5-1】（2025·广西·模拟预测）(多选)已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】（2025·福建福州·一模）(多选)已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【变式5-3】（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东东莞·期末）已知函数对任意有，且为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C．3 D．-3 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则（    ） A．1012 B． C．1013 D．2025 4．（2025高三·全国·专题练习）已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D． 5．（2026·四川成都·三模）已知奇函数满足，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 6．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若函数是奇函数，则的值为（   ） A．2 B． C． D．1 7．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数满足，且当时，，若关于的方程在区间上有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 10．（2026·重庆·模拟预测）(多选)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．当时， D．的极大值为 11．（2026·重庆渝中·模拟预测）(多选)设是定义在上的偶函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C． D．恰有2个零点 12．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 13．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·全国·模拟预测）(多选)已知，，则（    ） A． B．恒成立 C． D．满足条件的不止一个 15．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选)下列函数中，其图像是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）(多选)已知函数的定义域为，且，则（   ） A．点与点关于原点对称 B．函数是奇函数 C．当时， D．当时， 17．（2026·安徽安庆·一模）(多选)已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（   ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 18．（2026·陕西西安·三模）(多选)已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（   ） A．是周期为4的周期函数 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 19．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 20．（25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________． 21．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则______． 22．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且对一切均有，当时，． (1)求当时，函数的解析式； (2)求当时，函数的解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $