精品解析：江苏苏州第十中学2026-2027学年第一学期高一年级10月份自主学习能力检测数学试卷

苏州第十中学2026—2027学年第一学期高一年级10月份 自主学习能力检测数学试卷 2026.10.8 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 2. 下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：空集是任何集合的子集，故正确； B选项：是整数，故正确； C选项：表示正整数集，正整数都是实数，故正确； D选项：是无理数，所以也是无理数，不属于有理数集，故错误. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 4. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A. -4 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以根据集合元素相等得，， 此时，， 所以，解得或， 因为集合元素的互异性，所以， 所以. 5. 是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系,利用判别式求解即可. 【详解】由“不等式在上恒成立” 可得：，即， 因为， 所以是“不等式在上恒成立”的必要不充分条件， 故选：B 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例即可判断A，B；通过作差法即可判断C，D． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，则，故B错误； 对于C，， 因为， 所以， 所以，即，故C正确； 对于D，， 因为， 所以，即，故D错误， 故选：C． 7. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可得，由此可得出，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为、、均为正实数，则，即，所以， 故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数，分类讨论集合的可能情况，统计符合条件的个数即可得解. 【详解】当时，，则，，与矛盾，所以； 设集合中元素的个数， 则集合中元素的个数，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，，满足题意. ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则，以上都满足题意. ③当时，即，则，， 但此时，与题干矛盾，所以不满足题意. ④当时，由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有4个，即不同集合的个数有4个. ⑤当时，由，则，又， 所以，，满足题意. 综上，满足条件的所有不同集合的个数为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 集合，集合，，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先解出集合的方程，要使，即集合和集合的补集没有公共元素，即，按照集合是否是分两种情况，根据即可求出符合条件的的值. 【详解】对于集合，解方程得：或， 所以， 因为， 所以， 当时，即，符合要求，故A选项正确， 当时，， 因为， 所以或， 即或，故B选项和D选项正确. 当时，，不满足，故C错误. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若关于的方程没有实数根，则关于的不等式的解集为 B. 关于的不等式的解集是，则的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据一元二次方程无实根，求得判别式满足的条件，然后借助二次函数图象解决一元二次不等式的解的问题；对于B，根据一元二次不等式解法计算求解；对于C，最高次为二次的不等式恒成立问题，结合对应的二次函数的开口方向和判别式进行求解；对于D，利用换元法，简化函数，再利用新函数的单调性进行求解． 【详解】对于A，关于x的方程没有实数根，则． 对于关于的不等式，令，且． 但由于的取值正负不确定， 若，抛物线开口向上，则对所有实数都成立； 若，抛物线开口向下，则无实数解．故A错误； 对于B，关于的不等式的解集是， 则，解得，故B正确； 对于C，令， 若关于的不等式的解集为， 则需满足，且， 解得，故C正确； 对于D，对于函数，令，则． 由对勾函数性质可知，函数在区间上单调递增， 所以最小值为时的值，即，故D错误． 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分． 12. 已知命题，，则为__________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】命题，，则为，，， 13. 已知，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得：，， 所以，则的取值范围为. 14. 设矩形的周长为20，把沿向折叠，折过去后与交于点P，设，则面积最大时的x的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得，设，则，设，则，由三角形面积公式及基本不等式求解即可. 【详解】因为是矩形，所以有，， 因为是沿向折叠所得， 所以有，，因此有，， 在和中， 所以，因此， 因为，矩形的周长为20厘米，设， 所以，因为，所以，解得， 设， 而是矩形，所以， 因此， 在直角三角形中，有 ， 所以， 化简得：， 当且仅当时取等号，即时，的最大面积为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知正数，满足，求的最小值； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）9； （2）， 因为 恒成立，所以 ，当且仅当 时取等号. 【解析】 【分析】（1）等式变形构造倒数和，乘1法搭配基本不等式求 最小值；（2）用作差配方，借助实数平方大于等于0证明不等式. 【详解】（1）由 ，，得， 所以， 当且仅当 且 ，即 时取等号； （2）略 16. 求解下列不等式的解集： （1） （2） （3） 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）分，两种情况结合一元二次不等式解法计算求解即可； （2）根据分式不等式解法计算求解即可； （3）根据绝对值不等式解法计算求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式显然不成立， 当时，不等式等价于， 解得； 当时，不等式等价于， 解得或； 综上：不等式的解集为； 【小问2详解】 不等式，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 不等式，解得， 则或，解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 【答案】（1），. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于，若为线段的中点，则为线段的中点，结合三角形的性质，以及矩形的面积公式，求及的值； （2）设的长度为，结合三角形相似的几何性质，以及矩形的面积公式，用的式子表示，从而得所求； （3）根据与的关系，利用二次函数或者基本不等式求解最值即可得结论. 【小问1详解】 延长交于， 若为线段的中点，则为线段的中点， ，， 由得， 又， 所以， 所以矩形的面积为； 【小问2详解】 因为点在线段上，的长度为，则， 则， 因为，所以，得， 则， 所以矩形的面积， 综上， 答：矩形地块的面积，. 【小问3详解】 方法一：由（2）得， 因为，所以当时，取最大值， 答：时，矩形地块面积的最大值为； 方法二：由（1）得， 因为，所以， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立， 答：时，矩形地块面积的最大值为. 19. 已知集合，，，． （1）求集合，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合和；在求集合时需注意比较与的大小. （2）先求，由必要不充分条件转化为⫋，列出关于的不等式组求解. （3）由于中仅有一个整数，结合的区间特征和的区间方向，该整数只能是或，对分类讨论，利用区间端点与目标整数的位置关系列式求解. 【小问1详解】 由，得，解得或. 所以或. 由，因为，所以. 解得，所以. 【小问2详解】 因为或，所以. 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 即⫋，所以，解得. 当时，，不符合题意，所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，或， 对于集合，不等式可因式分解为. 对应方程的两根为和. 因为中有且仅有一个整数，且在附近， 结合的区间可知，该整数只能在内，即只能是或. ①当，即时，. 此时或， 要使中仅有一个整数，该整数只能是，且不能包含整数. 因此需满足，解得，此结果满足，故成立. ②当，即时，. 此时或， 要使中仅有一个整数，该整数只能是. 因此需满足，解得，此结果满足，故成立. ③当，即时，，，不合题意. 综上，实数的取值范围是或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州第十中学2026—2027学年第一学期高一年级10月份 自主学习能力检测数学试卷 2026.10.8 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 2. 下列关系式不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A. -4 B. 0 C. 2 D. 4 5. 是“不等式在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 64 二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 集合，集合，，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 3 D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若关于的方程没有实数根，则关于的不等式的解集为 B. 关于的不等式的解集是，则的取值范围是 C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若，则的最小值为2 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分． 12. 已知命题，，则为__________． 13. 已知，，则的取值范围为__________． 14. 设矩形的周长为20，把沿向折叠，折过去后与交于点P，设，则面积最大时的x的值为______. 四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知正数，满足，求的最小值； （2）已知，，求证：． 16. 求解下列不等式的解集： （1） （2） （3） 17. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 18. 如图，某市市政部门要在矩形区域上规划出一块矩形地块建造儿童游乐中心.为了保护绿化，游乐场不能超越四个全等直角三角形的绿化区域边界，其中为的边界.由实地测量知，，，，.点在线段上，设的长度为，矩形地块的面积为. （1）若为线段的中点，求及的值； （2）试用的式子表示，并求的取值范围； （3）求矩形地块面积的最大值. 19. 已知集合，，，． （1）求集合，； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $