精品解析：江苏省苏州市人大附中苏州学校2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

人大附中苏州学校2026-2027学年第一学期高一数学10月测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 4. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 5. 对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“若，则，中至少有1个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”，命题的否定为________． 13. 已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 18. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中苏州学校2026-2027学年第一学期高一数学10月测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空集、点集、数集的定义判断集合是否相等及元素与集合的关系. 【详解】对于A，由表示没有元素的集合，则不相等，A错， 对于B，由是点集，是数集，则不相等，B错， 对于C，由表示仅含有空集的单元素集合，则不相等，C错， 对于D，由于是自然数，故，D对. 故选：D 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得出等价条件，再结合必要不充分条件定义判断求解. 【详解】，解得， 可以推出“”，“”不能推出， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义求出，再结合集合子集个数的结论即可求解． 【详解】因为，，所以，所以的子集个数为． 故选：B． 4. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为，则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 5. 对，使恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题为真求出参数的取值范围，再利用区间的包含关系可得出结果. 【详解】，使恒成立，则，解得， 因为，，， 因此，对，使恒成立的一个充分不必要条件是. 故选：D. 6. 已知a，b，c满足，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设并结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】对A：由，则，故，故A错误； 对B：若，则，故B错误； 对C：由，则，故C正确； 对D：若，则，故D错误. 故选：C 7. 命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化为命题成立为真命题，再结合基本不等式求得最小值，从而可得，求解即可. 【详解】依题意，命题成立为真命题， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立； 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A举反例即可判断；对B利用作差法即可判断；对CD根据不等式性质即可判断. 【详解】对于A，当，时，，故A错误; 对于B，因为，所以，， 则，所以，故B正确; 对于C，因为，则，，所以，故C正确; 对于D，由，故，同除以ab得，故D正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. 命题“若，则，中至少有1个大于2”为真命题 D. 集合中的元素个数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，命题的真假及集合的列举法逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】选项A，的解集为，由能够得到，充分性成立，所以A正确； 选项B，当时，满足，但无法得到，必要性不成立，所以B错误； 选项C，假设都不大于2，则，这与已知矛盾，所以要满足中至少有1个大于2，所以C正确； 选项D，因为，且8的因数有， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以，共有8个元素，所以D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若,则的最小值为 B. 已知,且,则的最小值为 C. 已知,且,则的最小值为 D. 若,则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用“1的妙用”、配凑法、换元法等解决基本不等式问题. 【详解】对于A：,当且仅当时，即时等号成立.故A正确. 对于B：，所以. 所以,当且仅当时,即时等号成立.故B正确. 对于C：令,则, ,当且仅当时，即时，等号成立.故C错误. 对于D：,当且仅当时取等号.故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”，命题的否定为________． 【答案】， 【解析】 【详解】原命题是全称量词命题，其否定形式是将换成，同时否定原命题的结论， 原命题的结论的否定为， 所以原命题的否定为，. 13. 已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可. 【详解】解：由二次函数图象可知， 二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为， 所以，，解得， 所以化简整理得：，解得或， 所以不等式的解集为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴不等式的解集为R 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 16. 已知集合，集合 （1）若，求和. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1），或 （2）. 【解析】 【分析】（1）直接解出集合，再根据集合交并补即可得到答案； （2）根据交集结果得，分和讨论即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，所以 ①若，则， ， 因为或，所以或 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得， ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围为. 17. 已知命题p：存在，不等式成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最大值，解不等式即可求解； （2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵p为真命题，∴， ∵，∴当时，， ，解得 所以. 【小问2详解】 若q为真，则， ∵，，， ∴， ， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，无解； ②若p为假，q为真，则且，或且， 解得或. 综上，或. 18. 某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 【答案】（1）20 （2）；最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定函数代入计算即得； （2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值； （3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得. 【小问1详解】 因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且， 则，解得， 所以的值为20. 【小问2详解】 设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 19. 设函数，其中. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”，，再根据二次函数的性质知函数的图象开口向上，在上的最大值为或，即可求解； （3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，将问题“对任意的，都有”等价于“”，根据二次函数的图象与性质，分别讨论，，和，得到和，从而得到关于不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. 【小问2详解】 “对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则，即，解得：， 故实数的取值范围为区间. 【小问3详解】 设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，都有”等价于“”， 又在上单调递减，在上单调递增， ①当时，在上单调递增， 则，， 即，解得， 即； ②当. 由，解得：， 即； ③当时，. 由，得， 即； ④当时，. 由，得， 即. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $