第11讲第1课时对数的运算讲义-2027届高三数学一轮复习

第11讲　对数与对数函数 第1课时　对数的运算（一轮复习讲义） 一、课前诊断·自主测评 （本栏目5小题，建议用时6分钟，用于检测对对数运算性质的掌握程度） 1．化简 log23 · log34 · log45 · log52 的结果为（　　） 　A．1　　B．2　　C．3　　D．4 2．计算：lg25 ＋ lg4 ＋ log2 ＋ ＝（　　） 　A．4　　B．5　　C．6　　D．7 3．下列各式正确的是（　　） 　A．log2(8 × 4) ＝ 7　　B．lg5 ＋ lg20 ＝ 2 　C．ln5 ＋ ln ＝ 1　　D．log318 － log32 ＝ 3 4．计算：4(log43 ＋ log83)(log32 ＋ log92) ＝（　　） 　A．　　B．　　C．5　　D． 5．（多选）若 lg2 ＝ a，lg3 ＝ b，则下列各式正确的是（　　） 　A．lg12 ＝ 2a ＋ b　　B．log23 ＝ 　C．log34 ＝ 　　D．lg ＝ a － b 二、考点梳理·网络构建 1．对数的概念 概念 一般地，如果 a（a＞0，a≠1）的 b 次幂等于 N，即 ab ＝ N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b ＝ logaN，其中 a 叫做　　　　，N 叫做　　　　。 两种常用对数 以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lg N；以无理数 e ＝ 2.71828… 为底的对数叫做自然对数，记作 ln N。 2．对数的性质与运算法则（a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0） 性质 ① loga1 ＝　　　　；② logaa ＝　　　　；③ ＝　　　　；④ logaab ＝　　　　。 法则一 loga(MN) ＝　　　　；　　loga ＝　　　　。 法则二 logaMn ＝　　　　（n∈R）；　　 ＝ logaM（m≠0）。 换底公式 logaN ＝ （a，b 均大于 0 且不等于 1）。 3．常用推论（请自行推导——推导过程本身就是换底公式的应用） （1）logab ＝ ；　　（2）logab · logbc · logcd ＝ logad； （3） ＝ logab；　（4） ＝ （对数恒等式的推广）。 三、易错警示·避坑指南 易错点1　忽视"真数大于0"的前提 由 lgx2 ＝ 2lgx 是错误的，正确应为 lgx2 ＝ 2lg|x|（x≠0）； 解方程 lgx2 ＝ 2 时，得 x2 ＝ 100，故 x ＝ ±10，不能漏掉负根。 易错点2　混淆 logaMn 与 (logaM)n logaMn ＝ n · logaM，即"真数的幂"可以提到对数前面； 而 (logaM)n 是"对数值整体的幂"，二者不可混用。 易错点3　换底时底数选取不合理 多个对数相乘时，统一换成同一个底数最简便， 如 log23 · log35 · log57 ＝ log27，用链式法则一步到位。 易错点4　实际问题中的取整方向 "至少经过多少时间"要向上取整，"最多"要向下取整； 同时注意单位统一（如 mg/mL 与 mg/100mL 相差 100 倍）。 四、典例精析·方法建模 目标一　对数式的化简与求值 例1　（1）计算： － ＋ 102lg3 ＋ ＝　　　　。 （2）计算：(lg5)2 ＋ lg5 · lg20 ＋ lg4 ＋ (log43 ＋ log83)(log32 ＋ log92) ＋ 7lg8 － 8lg7 ＝　　　　。 方法归纳 （1）"拆"：把 拆成 am · N，用到恒等式 ＝ N； （2）"合"：同底对数的和、差、倍合并成一个对数； （3）"换"：不同底的对数相乘，用链式法则或换底公式统一底数； （4）"消"：形如 algb － blga 的式子恒为 0（由 ＝ 即得）。 变式1　（1）计算： ＋ lg － log927 ＝　　　　。 （2）若正实数 a，b 满足 (lga)2 ＋ (lgb)2 ＝ lg20，lga · lgb ＝ lg，则 (ab)lg(ab) ＝　　　　。 （3）函数 f(x) ＝ lg(2x) · lg(5x) － lg2 · lg5 的最小值为　　　　。 目标二　换底公式的灵活运用 例2　（1）若 2a ＝ 8b ＝ m，且 ＋ ＝ 2，则 m ＝（　　） 　A．2　　B．4　　C．6　　D．8 （2）已知 log23 ＝ m，log35 ＝ n，则 log3040 ＝（　　） 　A．　　B． 　C．　　D． 方法归纳 （1）已知 xa ＝ yb ＝ m，求 ± 型：先取对数得 a ＝ logxm、b ＝ logym， 　　再取倒数得 ＝ logmx、 ＝ logmy，最后合并成一个对数； （2）"用已知对数表示未知对数"：把目标对数和已知对数都换成同一个底，再代入。 变式2　（1）若 3a ＝ 5b ＝ ，则 ＋ ＝　　　　。 （2）若 log62 ＝ a，6b ＝ 7，则用 a，b 表示 log1421 ＝　　　　。 目标三　对数运算的实际应用 例3　（1）某药物注入人体后，血液中药物浓度 y（单位：mg/L）与时间 t（单位：h）满足 y ＝ y0e-kt（y0，k 为常数）。已知注射后 2 h 浓度为 60 mg/L，注射后 6 h 浓度为 15 mg/L。若浓度降至 30 mg/L 时需再次注射，则从注射起经过（　　） 　A．2 h　　B．3 h　　C．4 h　　D．5 h （2）溶液酸碱度用 pH 表示，定义为 pH ＝ －lg[H+]，其中 [H+] 表示氢离子浓度（单位：mol/L）。已知甲溶液 pH ＝ 3，乙溶液 pH ＝ 5。 　① 甲的氢离子浓度是乙的　　　　倍； 　② 取等体积的甲、乙混合（忽略体积变化与反应），混合液的 pH 约为　　　　。 　（参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg5 ≈ 0.699） 方法归纳 解实际应用题三步：①建立模型；②代入两组数据求参数（常通过"两式相除"消去 y0）； ③解不等式并按要求取整。 变式3　某工厂废水中含某种污染物，初始浓度 N0 ＝ 200 mg/L。用净化设备处理，剩余浓度 y（mg/L）与时间 t（h）满足 y ＝ N0 · ，其中 T 为该污染物的半衰期（单位：h）。已知处理 6 h 后浓度降为 25 mg/L。若排放标准为不超过 10 mg/L，则从开始处理起，至少需要经过　　　　h（结果取整数，参考数据：lg2 ≈ 0.3010）。 五、课堂检测·即时反馈 1．计算：eln2 － ＋ ＝（　　） 　A．－7　　B．－5　　C．7　　D．5 2．沙漏上方装有 a cm³ 细沙，细沙从中间小孔漏下，经过 t min 剩余 y ＝ a · e-bt（b 为常数）。已知经过 20 min 时上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的 ，需经过的时间为（　　） 　A．40 min　　B．50 min　　C．60 min　　D．70 min 3．已知 a＞1，且 log2a － ＝ 3，则 a ＝　　　　。 4．已知函数 f(x) ＝ log2x（x＞0），f(x) ＝ x3（x ≤ 0），若 f[f(a)] ＝ －1，则 a ＝　　　　。 A组·基础达标 一、单项选择题 1．计算 log225 · log58 － log3 ＋ log327 的值为（　　） 　A．8　　B．11　　C．14　　D．17 2．已知 lga ＋ b ＝ －2，ab ＝ 10，则 a ＝（　　） 　A．　　B．　　C．10　　D．100 3．已知 a ＝ log35，b ＝ log23，则 lg3 ＝（　　） 　A．　　B．　　C．　　D．＋ 4．生物丰富度指数 d ＝ 是河流水质的评价指标，其中 S，N 分别为河流中的生物种类数与个体总数，d 越大水质越好。若治理前后生物种类数 S 不变，个体总数由 N1 变为 N2，丰富度指数由 d1 变为 d2，且 N13 ＝ N22，则 ＝（　　） 　A．log32　　B．　　C．log23　　D． 5．按规定：100 mL 血液中酒精含量达到 20～79 mg 即为酒后驾车，80 mg 及以上为醉酒驾车。某人血液酒精含量达到 1.6 mg/mL，停止喝酒后其含量每小时减少 40%，那么他至少经过（　　）才能安全驾驶（结果取整数，参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.477） 　A．3 h　　B．4 h　　C．5 h　　D．6 h 二、多项选择题 6．某通讯系统中，信息量 I（单位：比特）与信号可能状态数 N 满足 I ＝ log2N。则下列结论正确的是（　　） 　A．若 N ＝ 8，则 I ＝ 3 　B．状态数增大到原来的 4 倍，信息量增加 2 比特 　C．N 越大，I 增长得越快 　D．若 I1 ＝ log2N1，I2 ＝ log2N2，则 I1 ＋ I2 ＝ log2(N1N2) 7．若 2a+1 ＝ 5，2b ＝ ，则下列结论正确的有（　　） 　A．b － a ＞ 1　　B． ＋ ＞ 2 　C．ab ＞ 　　D．b2 ＞ 2a 三、填空题 8．已知 log2(log3a) ＝ 1，log3(log2b) ＝ 0，则 a － b ＝　　　　。 9．设 p＞0，q＞0，且 log9p ＝ log12q ＝ log16(p ＋ q)，则 ＝　　　　。 10．已知 x，y，z 为正数，若 4x ＝ 6y ＝ 9z，则 ＋ ＝　　　　。 四、解答题 11．（12分）某种咖啡用 90 ℃ 的热水冲泡，待温度降至 55 ℃ 时饮用口感最佳。某兴趣小组在室温条件下每隔 1 min 测量一次温度，得到水温 y（单位：℃）与时间 t（单位：min）的部分数据如下表： 时间 t/min 0 1 2 3 4 5 水温 y/℃ 90.00 76.00 64.80 55.84 48.67 42.94 （1）给出三种函数模型：① y ＝ at ＋ b（a＜0）；② y ＝ a · bt ＋ c（a＞0，0＜b＜1）；③ y ＝ loga(t ＋ b) ＋ c（b＞0，a＞1）。请根据表中数据选出最符合实际的模型，简述理由，并利用前三组数据求出解析式； （2）根据（1）中所求模型，求咖啡达到最佳饮用口感所需的放置时间。 （结果精确到 0.1，参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg5 ≈ 0.699） 12．（12分）设关于 x 的方程 (lgx)2 － 2lgx ＋ 3p ＝ 0 的两个实根分别是 α，β。 （1）求实数 p 的取值范围； （2）求 logαβ ＋ logβα 的取值范围。 B组·素养提升 13．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y ＝ lnx 上的两点 A，B 满足 OA ⊥ OB，线段 AB 的中点 M 在 x 轴上，则点 M 的横坐标为　　　　。 14．已知 x，y 满足 2x ＋ x ＝ 5，log2(y － 1) ＋ y ＝ 6，则 x ＋ y ＝　　　　。 参考答案 第1课时　对数的运算 一、答案速查 课前诊断：1．A　2．C　3．B　4．C　5．AC 课堂检测：1．A　2．C　3．16　4． 或 或 －1 A组单选：1．B　2．A　3．A　4．B　5．C A组多选：6．ABD　7．BC A组填空：8．7　9．　10．2 A组解答：11．（1）y ＝ 70 × 0.8t ＋ 20（t ≥ 0）；（2）约 3.1 min 　　　　　12．（1）p∈(－∞，0)∪(0，]；（2）(－∞，－2)∪[2，＋∞) B组提升：13．　14．6 二、详细解析 课前诊断 1．A　由链式法则，log23 · log34 ＝ log24 ＝ 2，再 2 · log45 · log52 ＝ 2log42 ＝ 2 × ＝ 1。 2．C　lg25 ＋ lg4 ＝ lg100 ＝ 2；log2 ＝ －3； ＝ 7。故原式 ＝ 2 － 3 ＋ 7 ＝ 6。 3．B　log2(8 × 4) ＝ log232 ＝ 5，A错；lg5 ＋ lg20 ＝ lg100 ＝ 2，B对；ln5 ＋ ln ＝ ln1 ＝ 0，C错；log318 － log32 ＝ log39 ＝ 2，D错。 4．C　log43 ＋ log83 ＝ log23 ＋ log23 ＝ log23；log32 ＋ log92 ＝ log32 ＋ log32 ＝ log32。故原式 ＝ 4 × × ＝ 5。 5．AC　lg12 ＝ lg(4 × 3) ＝ 2lg2 ＋ lg3 ＝ 2a ＋ b，A对；log23 ＝ ＝ ，B错；log34 ＝ ＝ ，C对；lg ＝ lg3 － lg2 ＝ b － a，D错。 例1 （1）答案： 解析： ＝ 2 × 5 ＝ 10； ＝ 9 × 2 ＝ 18；102lg3 ＝ 10lg9 ＝ 9； ＝ ＝ 。故原式 ＝ 10 － 18 ＋ 9 ＋ ＝ 。 （2）答案： 解析：设 u ＝ lg5，v ＝ lg2，则 u ＋ v ＝ 1，lg20 ＝ 2 － u，lg4 ＝ 2v。 u2 ＋ u(2 － u) ＋ 2v ＝ 2u ＋ 2v ＝ 2； 又 (log43 ＋ log83)(log32 ＋ log92) ＝ × ＝ ； 由 ＝ 得 7lg8 ＝ 8lg7，故 7lg8 － 8lg7 ＝ 0。 原式 ＝ 2 ＋ ＋ 0 ＝ 。 变式1 （1）答案：4　 ＝ ＝ 4；lg ＝ ；log927 ＝ 。故原式 ＝ 4 ＋ － ＝ 4。 （2）答案：100 解析：(lga ＋ lgb)2 ＝ (lga)2 ＋ (lgb)2 ＋ 2lga · lgb ＝ lg20 ＋ 2lg ＝ lg20 ＋ lg5 ＝ lg100 ＝ 2， 即 [lg(ab)]2 ＝ 2。令 t ＝ lg(ab)，则 ab ＝ 10t，(ab)lg(ab) ＝ (10t)t ＝ ＝ 102 ＝ 100。 （3）答案：－ 解析：f(x) ＝ (lg2 ＋ lgx)(lg5 ＋ lgx) － lg2 · lg5 ＝ (lgx)2 ＋ (lg2 ＋ lg5)lgx ＝ (lgx)2 ＋ lgx。 令 t ＝ lgx，则 f ＝ t2 ＋ t ＝ (t ＋ )2 － ≥ －， 当 t ＝ －（即 x ＝ 10-1/2）时取等号。 例2 （1）答案：B 解析：a ＝ log2m，b ＝ log8m，故 ＝ logm2， ＝ logm8。 由 ＋ ＝ 2 得 logm2 ＋ logm8 ＝ logm16 ＝ 2，故 m2 ＝ 16，m ＝ 4。 （2）答案：B 解析：log25 ＝ log23 · log35 ＝ mn。 log3040 ＝ ＝ ＝ 。 变式2 （1）答案：2　 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 2。 （2）答案： 解析：由 6b ＝ 7 得 b ＝ log67。 log1421 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 例3 （1）答案：C 解析：由 y0e-2k ＝ 60，y0e-6k ＝ 15，两式相除得 e4k ＝ 4，即 ek ＝ 。 代入第一式：y0 ＝ 60e2k ＝ 60 × 2 ＝ 120。 令 120e-kt ＝ 30，得 e-kt ＝ ，即 kt ＝ 2ln2。又 k ＝ ln2，故 t ＝ 4（h）。 （2）答案：①100；②3.3 解析：① [H+]甲 ＝ 10-3，[H+]乙 ＝ 10-5，故 ＝ 102 ＝ 100（倍）。 ② 等体积混合后 [H+] ＝ ≈ 5.05 × 10-4， pH ＝ －lg(5.05 × 10-4) ≈ 4 － lg5.05 ≈ 4 － 0.703 ＝ 3.297 ≈ 3.3。 变式3 答案：9 解析：由 200 · ＝ 25 得 ＝ ＝ 3，故 ＝ 3，T ＝ 2。 令 200 · ≤ 10，得 ≤ ， 两边取常用对数：lg ≤ lg，即 ≥ ＝ ≈ ≈ 4.32， 故 t ≥ 8.64，取整数得至少经过 9 h。 课堂检测 1．A　eln2 ＝ 2； ＝ 8；由 (＋1)(－1) ＝ 1 得 －1 ＝ (＋1)-1，故 ＝ －1。原式 ＝ 2 － 8 － 1 ＝ －7。 2．C　由 ae-20b ＝ 得 e-20b ＝ ，即半衰期为 20 min。要剩 ＝ 3，需 3 × 20 ＝ 60（min）。 3．答案：16　设 u ＝ log2a，则 u － ＝ 3，即 u2 － 3u － 4 ＝ 0，解得 u ＝ 4 或 u ＝ －1。由 a＞1 知 u＞0，故 u ＝ 4，a ＝ 24 ＝ 16。 4．答案： 或 或 －1 解析：设 t ＝ f(a)，则 f(t) ＝ －1。若 t＞0，log2t ＝ －1 得 t ＝ ；若 t ≤ 0，t3 ＝ －1 得 t ＝ －1。 当 t ＝ 时：a＞0 则 log2a ＝ ，得 a ＝ ；a ≤ 0 时 a3 ＝ 无解。 当 t ＝ －1 时：a＞0 则 log2a ＝ －1，得 a ＝ ；a ≤ 0 时 a3 ＝ －1，得 a ＝ －1。 A组·基础达标 1．B　log225 · log58 ＝ 2log25 · 3log52 ＝ 6；－log3 ＝ 2；log327 ＝ 3。原式 ＝ 6 ＋ 2 ＋ 3 ＝ 11。 2．A　由 ab ＝ 10 得 b · lga ＝ 1，即 b ＝ 。代入 lga ＋ b ＝ －2 得 lga ＋ ＝ －2，即 (lga ＋ 1)2 ＝ 0，lga ＝ －1，a ＝ 。 3．A　lg3 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 4．B　 ＝ ；由 N13 ＝ N22 得 3lnN1 ＝ 2lnN2，故 ＝ 。 5．C　1.6 mg/mL ＝ 160 mg/100mL。令 160 × 0.6t ＜ 20，得 0.6t ＜ 。 t · lg0.6 ＜ lg ＝ －3lg2，而 lg0.6 ＝ lg2 ＋ lg3 － 1 ≈ －0.222，故 t ＞ ≈ 4.07，取整数得 5 h。 （验算：160 × 0.64 ＝ 20.7 ＞ 20，160 × 0.65 ＝ 12.4 ＜ 20） 6．ABD　N ＝ 8 时 I ＝ log28 ＝ 3，A对；log2(4N) ＝ log2N ＋ 2，B对；I ＝ log2N 增长越来越慢，C错；由对数运算性质，D对。 7．BC　由 2a+1 ＝ 5 得 a ＝ log25 － 1；由 2b ＝ 得 b ＝ 3 － log25。故 a ＋ b ＝ 2。 设 u ＝ log25 ∈ (2，3)，则 ab ＝ (u － 1)(3 － u) ＝ －u2 ＋ 4u － 3。当 u ∈ (2，3) 时，ab ∈ (0，1]， 且 u ≈ 2.32 时 ab ≈ 0.90 ＞ ，C对。 ＋ ＝ ＝ ＞ 2（因 ab ＜ 1），B对。 b － a ＝ 4 － 2u ＜ 0，A错；b ＝ 3 － u ≈ 0.68，b2 ≈ 0.46，2a ＝ 2(u － 1) ≈ 2.64，故 b2 ＜ 2a，D错。 8．答案：7　log2(log3a) ＝ 1 ⇒ log3a ＝ 2 ⇒ a ＝ 9；log3(log2b) ＝ 0 ⇒ log2b ＝ 1 ⇒ b ＝ 2。故 a － b ＝ 7。 9．答案： 解析：设 log9p ＝ log12q ＝ log16(p ＋ q) ＝ k，则 p ＝ 9k，q ＝ 12k，p ＋ q ＝ 16k， 即 9k ＋ 12k ＝ 16k。两边除以 16k 得 2k ＋ k ＝ 1。 令 x ＝ k ＞ 0，则 x2 ＋ x － 1 ＝ 0，解得 x ＝ （负根舍去）。 故 ＝ k ＝ k ＝ ＝ ＝ 。 10．答案：2 解析：设 4x ＝ 6y ＝ 9z ＝ T，则 x ＝ log4T，y ＝ log6T，z ＝ log9T。 ＝ ＝ log64， ＝ ＝ log69， 故 ＋ ＝ log64 ＋ log69 ＝ log636 ＝ 2。 A组·解答题 11．解：（1）选模型②。理由：由表中数据知水温单调下降，但相邻 1 min 的降幅依次为 14、11.20、8.96、7.17、5.73，降幅逐渐变小（递减速度变慢），而模型①为匀速下降、模型③为单调递增，均不符合，故选②。 代入前三组数据（t ＝ 0，1，2）： a ＋ c ＝ 90，ab ＋ c ＝ 76，ab2 ＋ c ＝ 64.80。 由前两式相减得 a(1 － b) ＝ 14；由后两式相减得 ab(1 － b) ＝ 11.2。 两式相除得 b ＝ 0.8，代回得 a ＝ 70，c ＝ 20。 故 y ＝ 70 × 0.8t ＋ 20（t ≥ 0）。 （2）令 70 × 0.8t ＋ 20 ＝ 55，得 0.8t ＝ 。 t ＝ lg ÷ lg0.8 ＝ －lg2 ÷ (3lg2 － 1) ＝ ＝ ≈ 3.1（min）。 答：咖啡达到最佳饮用口感约需放置 3.1 min。 12．解：（1）令 t ＝ lgx，方程化为 t2 － 2t ＋ 3p ＝ 0。 由 Δ ＝ 4 － 12p ≥ 0 得 p ≤ ；又 logαβ 与 logβα 有意义需 α ≠ 1、β ≠ 1， 即 t ＝ 0 不是方程的根，故 3p ≠ 0，即 p ≠ 0。 综上，p ∈ (－∞，0) ∪ (0，]。 （2）由韦达定理：lgα ＋ lgβ ＝ 2，lgα · lgβ ＝ 3p。 logαβ ＋ logβα ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ － 2。 令 s ＝ 3p，则 s ∈ (－∞，0) ∪ (0，1]，原式 ＝ － 2。 当 s ∈ (0，1] 时， ≥ 4，原式 ≥ 2；当 s ＜ 0 时， ＜ 0，原式 ＜ －2。 故 logαβ ＋ logβα ∈ (－∞，－2) ∪ [2，＋∞)。 B组·素养提升 13．答案： 解析：设 A(x1，lnx1)，B(x2，lnx2)。 由 OA ⊥ OB 得 x1x2 ＋ lnx1 · lnx2 ＝ 0； 由 AB 中点 M 在 x 轴上得 lnx1 ＋ lnx2 ＝ 0，即 x1x2 ＝ 1，故 lnx2 ＝ －lnx1。 代入得 1 － (lnx1)2 ＝ 0，即 lnx1 ＝ ±1，x1 ＝ e 或 ，相应地 x2 ＝ 或 e。 故 M 的横坐标为 ＝ 。 14．答案：6 解析：设 u ＝ log2(y － 1)，则 y － 1 ＝ 2u，即 y ＝ 2u ＋ 1。 代入 log2(y － 1) ＋ y ＝ 6 得 u ＋ 2u ＋ 1 ＝ 6，即 2u ＋ u ＝ 5。 又 2x ＋ x ＝ 5，令 f(t) ＝ 2t ＋ t，则 f 在 R 上单调递增，由 f(u) ＝ f(x) ＝ 5 得 u ＝ x。 故 log2(y － 1) ＝ x，即 y － 1 ＝ 2x，y ＝ 2x ＋ 1。 所以 x ＋ y ＝ x ＋ 2x ＋ 1 ＝ (2x ＋ x) ＋ 1 ＝ 5 ＋ 1 ＝ 6。 学科网（北京）股份有限公司 $