第2章 第11讲 第1课时 对数的运算 （word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦对数运算核心考点，涵盖对数概念、运算性质、换底公式及实际应用，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过激活思维题组、知识整合表格、题型突破（基本运算、换底公式、实际应用）及分层练习（A组夯基、B组提升），系统帮助学生构建对数运算知识网络，突破运算技巧与实际应用难点。 讲义突出真题导向与素养培养，如设计大气压强、湟鱼游速等实际问题，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过换底公式推理训练发展数学思维，设置教材经典题改编与分层练习，确保学生高效掌握运算规律，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准指导。

第11讲　对数与对数函数 第1课时　对数的运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．化简4log16x2的结果为(　　) A．|x|　 B． C．x　 D． 2．计算：2log525＋3log264－8log71＝(　　) A．14　 B．8 C．22　 D．27 3．(教材经典题改编)下列各式正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 4．(教材经典题改编)计算：2(log43＋log83)(log32＋log92)＝(　　) A．1　 B． C．2　 D． 5．(教材经典题改编)(多选)若lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　　) A．lg 6＝a＋b　 B．log34＝ C．log212＝a＋2b　 D．lg ＝b－a 聚焦知识 1．对数的概念及运算性质 概念 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作______．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，将log10N记作lg N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将logeN记作ln N 运算 法则 (1) 对数的性质： ①alogaN＝____； ②logaab＝b(a＞0且a≠1)． (2) 对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝_________； ②loga＝_________； ③logaMn＝_________(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0) 换底公式 换底公式：logaN＝(a，b均大于零且不等于1) 2．常用结论 (1) logab＝； (2) logab·logbc·logcd＝logad． 题型突破　思维拓展 举题说法 对数的基本运算 例1　(1) 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝_________． (2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝_________． (1) 将同底对数的和、差、倍合并； (2) 对数运算中的常用结论：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N． 变式1　(1) 计算：4log43＋log2－log169＝_________． (2) 若正实数a，b满足(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50，lg a·lg b＝lg ，则(ab)lg(ab)＝____． (3)(2026·苏州期初)f(x)＝lg(2x)lg(5x)－lg 2·lg 5的最小值为________． 换底公式的应用 例2　(1)(2025·烟台调研)若12a＝3b＝m，且－＝2，则m＝(　　) A．2　 B．4 C．6　 D．8 (2) 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝(　　) A．　 B． C．　 D． 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 变式2　(1)(2025·许昌二模)若2a＝5b＝，则＋＝____． (2) 若log142＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528＝__________． 对数的实际应用 例3　(1)(2025·福州一检)大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5 000 m、8 000 m的两地的大气压强分别为54 kPa、36 kPa．若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．295 m　 B．995 m C．2 085 m　 D．3 025 m (2)(2025·萍乡一模)经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log3(单位：m/s)，θ表示湟鱼的耗氧量的单位数．某条湟鱼想把游速提高2 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的(　　) A．2倍　 B．4倍 C．9倍　 D．81倍 变式3　(2025·聊城期中)我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20 mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度N0为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y(单位：mg/m3)与处理时间t(单位：min)满足关系式：y＝N0，那么从现在起至少经过____min才能达到排放标准．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数) 随堂内化 1．eln 3－81＋log＋1＝(　　) A．－1　 B．1 C．－2　 D．2 2．(2025·莆田四模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t min时剩余的细沙量为y cm3，且y＝a·e－bt(b为常数)，经过16 min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　　) A．24 min　 B．28 min C．32 min　 D．36 min 3．(2024·全国甲卷理)已知a＞1且－＝－，则a＝____． 4．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝若f[f(a)]＝－1，则a＝_______． A组　夯基精练 一、单项选择题 1．计算log332·log49－log2＋log26的值为(　　) A．4　 B．8 C．16　 D．32 2．已知lg a＋b＝－2，ab＝10，则a＝(　　) A．　 B． C．10　 D．100 3．已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　　) A．　 B． C．＋　 D． 4．(2025·威海期末)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若N＝N，则＝(　　) A．log32　 B． C．log23　 D． 5．根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20—79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．某天，某人在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减少，那么他至少经过________小时才能安全驾驶(结果取整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 二、多项选择题 6．(2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60—90 混合动力汽车 10 50—60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　 B．p2＞10p3　 C．p3＝100p0　 D．p1≤100p2 7．若2a+1＝3，2b＝，则下列结论正确的有(　　) A．b－a＞1　 B．＋＞2 C．ab＞　 D．b2＜2a 三、填空题 8．(2025·临汾三模) 已知2log2a＝3，log55b＝2，则a－b＝____ ． 9．设p＞0，q＞0，且log4p＝log6q＝log9(2p＋q)，则＝______． 10．已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，则－＝______． 四、解答题 11．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y(单位：℃)与时间t(单位：min)的部分数据如下表所示： 时间t/min 0 1 2 3 4 5 水温y/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1) 给出下列三种函数模型：①y＝at＋b(a＜0)，②y＝a·bt＋c(a＞0，0＜b＜1)，③y＝loga(t＋b)＋c(b＞0，a＞1)，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2) 根据(1)中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．(结果精确到0.1，参考数据：lg 3≈0.477，lg 5≈0.699) 12．设关于x的方程lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β． (1) 求实数p的取值范围； (2) 求logαβ＋logβα的取值范围． B组　能力提升练 13．(2025·南通海安期中)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝ln x上的两点A，B满足OA⊥OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为_________． 14．已知x，y满足log4＋x＝4，4y＋2y＝17，则2x＋y＝____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　对数与对数函数 第1课时　对数的运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．化简4log16x2的结果为(　A　) A．|x|　 B． C．x　 D． 2．计算：2log525＋3log264－8log71＝(　C　) A．14　 B．8 C．22　 D．27 3．(教材经典题改编)下列各式正确的是(　B　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 【解析】 对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4．(教材经典题改编)计算：2(log43＋log83)(log32＋log92)＝(　D　) A．1　 B． C．2　 D． 【解析】 2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2＝log23×＝． 5．(教材经典题改编)(多选)若lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　AD　) A．lg 6＝a＋b　 B．log34＝ C．log212＝a＋2b　 D．lg ＝b－a 【解析】 对于A，lg 6＝lg(2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；对于B，log34＝＝，故B错误；对于C，log212＝＝＝，故C错误；对于D，lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确． 聚焦知识 1．对数的概念及运算性质 概念 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作__logaN＝b__．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，将log10N记作lg N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将logeN记作ln N 运算 法则 (1) 对数的性质： ①alogaN＝__N__； ②logaab＝b(a＞0且a≠1)． (2) 对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0) 换底公式 换底公式：logaN＝(a，b均大于零且不等于1) 2．常用结论 (1) logab＝； (2) logab·logbc·logcd＝logad． 题型突破　思维拓展 举题说法 对数的基本运算 例1　(1) 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝__－__． 【解析】 31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－． (2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝____． 【解析】 设m＝ln 8，则em＝8，所以7ln 8－8ln 7＝7m－(em)ln 7＝7m－(eln 7)m＝7m－7m＝0，则(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝(lg 2)2＋lg 2(lg 5＋1)＋2lg 5＋＋20＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 2＋2lg 5＋log32×log23＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 2＋2lg 5＋＋1＝＋1＝． (1) 将同底对数的和、差、倍合并； (2) 对数运算中的常用结论：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N． 变式1　(1) 计算：4log43＋log2－log169＝____． 【解析】 原式＝3＋log46－log43＝3＋log42＝3＋＝． (2) 若正实数a，b满足(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50，lg a·lg b＝lg ，则(ab)lg(ab)＝__100__． 【解析】 由lg a·lg b＝lg ，得2lg a·lg b＝lg 2①，又(lg a)2＋(lg b)2＝lg 50②，所以①＋②得(lg a)2＋2lg a·lg b＋(lg b)2＝lg 2＋lg 50＝2，即(lg a＋lg b)2＝2．对于(ab)lg(ab)取常用对数可得lg(ab)lg(ab)＝lg(ab)·lg(ab)＝(lg a＋lg b)2＝2，故(ab)lg(ab)＝100． (3)(2026·苏州期初)f(x)＝lg(2x)lg(5x)－lg 2·lg 5的最小值为__－__． 【解析】 由题设知f(x)＝(lg 2＋lg x)(lg 5＋lg x)－lg 2·lg 5＝(lg x)2＋lg x，且x＞0，令t＝lg x(t∈R)，则f(x)＝g(t)＝t2＋t＝2－，当t＝－，即x＝时，f(x)min＝－． 换底公式的应用 例2　(1)(2025·烟台调研)若12a＝3b＝m，且－＝2，则m＝(　A　) A．2　 B．4 C．6　 D．8 【解析】 因为12a＝3b＝m，且－＝2，所以m＞0且m≠1，所以a＝log12m，b＝log3m，所以＝logm12，＝logm3，所以－＝logm12－logm3＝logm4＝2，所以m＝2． (2) 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由换底公式得log27＝log23·log37＝mn，则log72＝，所以log4256＝log42(7×8)＝log427＋log428，其中log427＝＝＝＝＝，log428＝3log422＝＝＝，故log4256＝＋＝． 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 变式2　(1)(2025·许昌二模)若2a＝5b＝，则＋＝__－1__． 【解析】 若2a＝5b＝，则＋＝＋＝log2＋log5＝log10＝－1． (2) 若log142＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528＝____． 【解析】 因为14b＝5，所以b＝log145，则log3528＝＝＝． 对数的实际应用 例3　(1)(2025·福州一检)大气压强p(单位：kPa)与海拔h(单位：m)之间的关系可以由p＝p0e－kh近似描述，其中p0为标准大气压强，k为常数．已知海拔为5 000 m、8 000 m的两地的大气压强分别为54 kPa、36 kPa．若测得某地的大气压强为80 kPa，则该地的海拔约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　C　) A．295 m　 B．995 m C．2 085 m　 D．3 025 m 【解析】 由题54＝p0e－5 000k①，36＝p0e－8 000k②，①÷②得e3 000k＝，所以3 000k＝ln ③．当p＝80 kPa时，由80＝p0e－kh④，②÷④得ekh－8 000k＝，所以k(h－8 000)＝ln ⑤，由⑤÷③，得＝＝＝≈－，解得h≈2 085 m． (2)(2025·萍乡一模)经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数v＝log3(单位：m/s)，θ表示湟鱼的耗氧量的单位数．某条湟鱼想把游速提高2 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的(　D　) A．2倍　 B．4倍 C．9倍　 D．81倍 【解析】 设原来和现在的耗氧量的单位数分别为θ1，θ2，则log3＝log3＋2，所以log3＝4，所以＝34＝81，所以耗氧量的单位数是原来的81倍． 变式3　(2025·聊城期中)我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为20 mg/m3．已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度N0为100 mg/m3，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度y(单位：mg/m3)与处理时间t(单位：min)满足关系式：y＝N0，那么从现在起至少经过__16__min才能达到排放标准．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果取整数) 【解析】 由题意得100≤20，即≤⇒t lg ≤lg ⇒t(2lg 3－1)≤－lg 5，故t≥＝≈≈15.26，所以从现在起至少经过 16 min 才能达到排放标准． 随堂内化 1．eln 3－81＋log＋1＝(　A　) A．－1　 B．1 C．－2　 D．2 【解析】 eln 3－81＋log＋1＝3－34×＋log＋1 (＋1)－1＝3－3－1＝－1． 2．(2025·莆田四模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t min时剩余的细沙量为y cm3，且y＝a·e－bt(b为常数)，经过16 min时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　C　) A．24 min　 B．28 min C．32 min　 D．36 min 【解析】 依题意有ae－16b＝a，即e－16b＝，两边取对数得－16b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，得y＝ae－t．当容器上方细沙只有开始时的时，则有ae－t＝a，所以e－t＝，两边取对数得－t＝ln ＝－2ln 2，所以t＝32，即需要经过的时间为32 min． 3．(2024·全国甲卷理)已知a＞1且－＝－，则a＝__64__． 【解析】 由题知－＝－log2a＝ －，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0⇒log2a＝－1或log2a＝6．又a＞1，所以log2a＝6，故a＝26＝64． 4．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝若f[f(a)]＝－1，则a＝__或－1或__． 【解析】 设t＝f(a)，则f[f(a)]＝f(t)＝－1，当t＞0时，f(t)＝log3t，由log3t＝－1，可得t＝；当t≤0时，f(t)＝t，由t＝－1，两边同时立方可得t＝(－1)3＝－1．当f(a)＝时，若a＞0，则f(a)＝log3a＝，可得a＝3＝；若a≤0，则f(a)＝a，由a＝，两边同时立方得a＝3＝，但＞0，不满足a≤0这个条件，舍去．当f(a)＝－1时，若a＞0，则f(a)＝log3a＝－1，可得a＝3－1＝；若a≤0，则f(a)＝a＝－1，两边同时立方得a＝(－1)3＝－1．综上，a＝或a＝－1或a＝． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．计算log332·log49－log2＋log26的值为(　B　) A．4　 B．8 C．16　 D．32 【解析】 原式＝log325·log2232－log2＋log26＝5log32·log23－log2＋log26＝5－log2＋log26＝5＋log2＝5＋log28＝8． 2．已知lg a＋b＝－2，ab＝10，则a＝(　A　) A．　 B． C．10　 D．100 【解析】 由题设b＝loga10＝，则lg a＋＝－2且a＞0，所以lg 2a＋2lg a＋1＝(lg a＋1)2＝0，即lg a＝－1，故a＝． 3．已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　A　) A．　 B． C．＋　 D． 【解析】 由b＝log23，得＝log32，则lg 3＝＝＝＝． 4．(2025·威海期末)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若N＝N，则＝(　D　) A．log32　 B． C．log23　 D． 【解析】 由题意得d2＝，d1＝，由N＝N，可得N1＝N，所以＝·＝＝＝＝． 5．根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20—79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．某天，某人在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5 mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减少，那么他至少经过________小时才能安全驾驶(结果取整数，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　B　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 设至少经过x小时后才能安全驾驶，则满足100×0.5×(1－40%)x＜20，化简得0.6x＜0.4，根据y＝lg x是增函数可得lg 0.6x＜lg 0.4，即x lg 0.6＜lg 0.4．又lg 0.6＜0，所以x＞＝＝≈≈1.79，所以他至少要经过2小时后才能安全驾驶． 二、多项选择题 6．(2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60—90 混合动力汽车 10 50—60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　ACD　) A．p1≥p2　 B．p2＞10p3　 C．p3＝100p0　 D．p1≤100p2 【解析】 对于A，Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×＝20×lg ≥0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20lg ≤20，所以lg ≤1，所以≤10，故B错误；对于C，Lp3＝20×lg ＝40，所以lg ＝2，所以＝100，故C正确；对于D，Lp1－Lp2＝20×lg ≤90－50＝40，所以lg ≤2，所以≤100，故D正确． 7．若2a+1＝3，2b＝，则下列结论正确的有(　BC　) A．b－a＞1　 B．＋＞2 C．ab＞　 D．b2＜2a 【解析】 由题意得a＝log23－1，b＝log2＝3－log23，则b－a－1＝3－log29，而log29＞3，所以b－a－1＜0，即b－a＜1，故A错误；因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，a≠b，所以＋＝(a＋b)＝＞＝2，故B正确；ab＝(log23－1)(3－log23)＝－(log23)2＋4log23－3＝－(log23－2)2＋1，又2＞log23＞log2(2)＝，所以ab＞－＋1＝，故C正确；b2－2a＝(3－log23)2－2(log23－1)＝(log23)2－8log23＋11＝(log23－4)2－5，又3log23＝log227＜log232＝5，即log23＜，log23－4＜－4＝－，所以b2－2a＝(log23－4)2－5＞－5＝＞0，所以b2＞2a，故D错误． 三、填空题 8．(2025·临汾三模) 已知2log2a＝3，log55b＝2，则a－b＝__1__ ． 【解析】 由2log2a＝3，log55b＝2可得2log2a＝a＝3，log55b＝b＝2，则a－b＝1． 9．设p＞0，q＞0，且log4p＝log6q＝log9(2p＋q)，则＝____． 【解析】 令log4p＝log6q＝log9(2p＋q)＝k，则p＝4k，q＝6k，2p＋q＝9k，所以2p＋q＝2·4k＋6k＝9k，整理得2·2＋k＝1，解得＝(负值舍去)，所以＝＝＝． 10．已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，则－＝． 【解析】 由题意，令3x＝4y＝6z＝a，则a＞0，所以x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a，所以－＝－＝×－×＝－＝＝． 四、解答题 11．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y(单位：℃)与时间t(单位：min)的部分数据如下表所示： 时间t/min 0 1 2 3 4 5 水温y/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1) 给出下列三种函数模型：①y＝at＋b(a＜0)，②y＝a·bt＋c(a＞0，0＜b＜1)，③y＝loga(t＋b)＋c(b＞0，a＞1)，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； 【解答】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，模型③y＝loga(t＋b)＋c(b＞0，a＞1)为增函数，不符合，模型①y＝at＋b(a＜0)为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合．选模型②y＝a·bt＋c(a＞0，0＜b＜1)，则解得故y＝70·0.9t＋25(t≥0)． (2) 根据(1)中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间．(结果精确到0.1，参考数据：lg 3≈0.477，lg 5≈0.699) 【解答】　令70·0.9t＋25＝60，则0.9t＝，所以t＝log0.9＝＝＝≈6.5，即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为6.5 min． 12．设关于x的方程lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β． (1) 求实数p的取值范围； 【解答】　由lg 2x－lg x2＋3p＝0，即lg 2x－2lg x＋3p＝0，设t＝lg x，则关于t的方程t2－2t＋3p＝0的两根为lg α和lg β，所以Δ＝(－2)2－12p≥0，解得p≤，故p的取值范围为． (2) 求logαβ＋logβα的取值范围． 【解答】 由韦达定理，得所以logαβ＋logβα＝＋＝＝＝＝－2．因为3p≤1且3p≠0，所以≥4或＜0，所以－2≥2或－2＜－2，所以logαβ＋logβα的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞)． B组　能力提升练 13．(2025·南通海安期中)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝ln x上的两点A，B满足OA⊥OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为____． 【解析】 设A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)，则＝(x1，ln x1)，＝(x2，ln x2)，若OA⊥OB，则·＝x1x2＋ln x1·ln x2＝0．又因为线段AB的中点M在x轴上，则＝＝0，可得x1x2＝1，即x2＝，则1＋ln x1·ln ＝1－ln 2x1＝0，解得ln x1＝±1，即x1＝e或x1＝，即可得或所以点M的横坐标为＝． 14．已知x，y满足log4＋x＝4，4y＋2y＝17，则2x＋y＝__8__． 【解析】 令＝t＞0，则x＝，由log4＋x＝4，得log4t＋＝4，即4log4t＋t2＝17，即log2t2＋t2＝log2t2＋2log2t2＝17．又4y＋2y＝22y＋2y＝17，令f(x)＝2x＋x，知f(x)＝2x＋x在R上单调递增，所以2y＝log2t2，即y＝log2t＝log2，所以2x＋y＝2x＋log2＝2＝2(log4＋x)＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $