第2章 第11讲 指数与对数的运算(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与对数运算核心考点，依据课程标准要求，以根式、指数幂、对数的概念性质为基础，通过运算性质、换底公式构建知识网络，结合自测诊断、考点分层突破（指数幂运算、对数运算、实际应用）、方法总结及真题训练，帮助学生系统掌握运算规律，突破易错点。 讲义采用分层教学策略，如对数运算中通过换底公式转化不同底对数培养数学思维，实际应用环节结合臭氧含量、声压级问题建立函数模型提升应用意识，设置基础自测、能力提升、综合应用练习，确保高效复习，助力学生提升运算能力与应考技巧，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第11讲　指数与对数的运算 【课程标准】　1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.　2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 1.根式与有理数指数幂 (1)根式 (2)有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 aras＝ a＞0，b＞0，r，s∈Q (ar)s＝ars (ab)r＝arbr 2.对数 概念 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化：当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN 负数和0没有对数 1的对数是0：loga1＝0 底数的对数是1：logaa＝1 对数恒等式：＝N 运算性质 loga(MN)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1) 【常用结论】 1.lg 2＋lg 5＝1. 2.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)lobn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). 3.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0). 【自测诊断】 1.(多选)下列等式成立的是(　　) A.(－2＝ B.2＝ C.(－2)0＝－1 D.()4＝ 答案：AD 解析：对于A，(－2＝，故A正确；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，()4＝，故D正确.故选AD. 2.(链接人教A必修一P106例3)化简 (x＜0，y＜0)＝(　　) A.2x2y B.－2x2y C.2xy2 D.－2xy2 答案：B 解析：因为x＜0，y＜0，所以＝(16x8·y4＝(16·(x8·(y4＝2x2｜y｜＝－2x2y.故选B. 3.(链接人教A必修一P126练习T3)log23·log34·log45·…·log78＝　　　　. 答案：3 解析：原式＝···…·＝＝3. 4.＋－lg 5－lg 2＝　　　　　. 答案：11 解析：原式＝(33＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11. 学生用书⬇第46页 考点一　指数幂的运算 自主练透 1.若xy＝3，则x＋y＝　　　　. 答案：±2 解析：当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2，当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋(－)＝－2. 2.(双空题)已知a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝　　　　，－＝　　　　. 答案：7　±1 解析：将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，因为(－)2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1. 3.化简与求值： (1)(－(2)0.5＋(0.027； (2)(a＞0，b＞0)； (3)(×(－)0＋×－. 解：(1)原式＝(－()0.5＋(0.3＝－＋0.09＝－0.16. (2)原式＝＝·＝. (3)原式＝(×1＋×－(＝2. 指数幂运算的一般原则 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. 2.当底数是负数时，先确定运算结果的符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 注意：掌握乘法公式的常见变形， 如(＋)(－)＝a－b(a，b＞0)， (±)2＝a±2＋b(a，b＞0)， (±)(∓＋)＝a±b(a，b＞0). 考点二　对数的运算 多维探究 角度1　对数式的化简与计算 1.(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　) A.11 B.12 C.16 D.17 答案：D 解析：因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＝9，y＝8，所以x＋y＝17.故选D. 2.已知lg 2＝a，lg 7＝b，则log1498＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：log1498＝＝＝＝.故选D. 3.(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝　　　. 答案：64 解析：由已知得－＝－log2a＝－，整理得－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6.又a＞1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 4.计算下列各式： (1)(一题多解)log225·log3(2)·log59； (2)； (3)log23·log38＋(. 解：(1)法一：log225·log3(2)·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二：log225·log3(2)·log59＝··＝··＝6. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝·＋＝3＋＝3＋2＝5. 角度2　指数式与对数式的综合运算 (1)已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝　　　　. (2)已知2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝　　　　. (3)若9a＝4b＝m，且＋＝4，则m＝　　　　. 答案：(1) 　(2)　(3)4 解析：(1)因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝. (2)由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54 ＝××＝2，则log4(abc)＝log42＝. (3)由9a＝4b＝m＞0，可得a＝log9m，b＝log4m，由题意知m≠1，所以＋＝logm9＋4logm4＝4＝logm9＋logm44，即logm(9×44)＝4，即9×44＝m4，所以m＝4. 学生用书⬇第47页 1.对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解. 注意：利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 对点练1.(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝　　　　. 答案：e 解析：由ff＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即＝23.因为a＞0且a≠1，所以aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 对点练2.(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　) A.ab＋bc＝2ac B.ab＋bc＝ac C.＝＋ D.＝－ 答案：AD 解析：根据题意，设4a＝6b＝9c＝M(M＞0)，则a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，＝logM4，＝logM6，＝logM9. 因为logM4＋logM9＝2logM6，所以＋＝，即＝－，整理得ab＋bc＝2ac，易知A、D正确，B、C错误.故选AD. 考点三　指数与对数运算的实际应用 师生共研 (1)(2025·山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　　) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 答案：(1)D　(2)ACD 解析：(1)令Q＝Q0＝Q0可得＝，可得－＝ln＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.故选D. (2)燃油汽车＝20×lg∈[60，90]，所以＝1，∈[60，90]①，同理＝1，∈[50，60]②，＝1＝102＝100③.对于A，由题表知≥，故A正确；对于B，②÷③得，＝1∈[1，101]，所以≤10，故B错误；对于C，＝1＝102＝100，故C正确；对于D，①÷②得，＝1∈[100，102]，所以∈[1，100]，p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 对点练3.(2025·北京海淀一模)某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1％.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90％，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤(　　) A.小时 B.小时 C.5小时 D.小时 答案：C 解析：由题意，前5个小时消除了90％的污染物，因为P＝P0·e－kt，所以(1－90％)P0＝P0e－5k，所以0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1，所以k＝－ln 0.1，则由1％P0≥P0e－kt，即ln 0.01≥×ln 0.1，所以t≥10，即总共至少需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1％.又因为前面已经过滤了5小时，所以还需过滤5小时.故选C. 对点练4.(2025·江苏海安、宿迁测试)在可观测的宇宙中，平均大约有4 000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A.10－71 B.10－81 C.10－91 D.1091 答案：C 解析：由题意得lg＝lg＝lg1082－lg 3361≈82－361×0.48＝－91.28，所以≈10－91.28，所以与最接近的是10－91.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $