精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

望城六中高二10月月考数学试题 一、单选题： 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的零点，则整数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 6. 已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（ ） A. 该圆台的体积为 B. 该圆台的内切球的半径为 C. 直线与直线所成角的最大值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B. 样本中支出不少于40元的人数为132 C. n值为200 D. 若该校有2000名学生，则估计有600人支出[50，60)内 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题： 12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 13. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 14. 三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是______． 四、解答题： 15. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求的定义域并判断其奇偶性. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积． 18. 某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 19. 如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． （1）求圆台的体积； （2）设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城六中高二10月月考数学试题 一、单选题： 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C 2. 已知，函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 3. 已知函数的零点，则整数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调性和即可由函数零点存在性定理求解. 【详解】和均为单调递增函数， 所以在上也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以. 故选：C. 4. 已知函数在上单调递增，且其图象经过点和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，根据两角差正切公式可得，结合根据在上单调递增即可求解. 【详解】由题意得，， 化简得，， 所以，可得， 根据在上单调递增，故，解得，所以. 故选：B 5. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示解方程即可. 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以，，解得． 故选：B． 6. 已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求出复数，根据复数的几何意义确定正确选项. 【详解】因为， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B 7. 已知是两条不同直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，且与不垂直，则与一定不垂直 B. 若与不平行，则与一定是异面直线 C. 若，且，则与可能平行 D. 若，则与可能垂直 【答案】D 【解析】 【分析】结合点线面之间关系逐项判断即可得. 【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 8. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 二、多选题： 9. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（ ） A. 该圆台体积为 B. 该圆台的内切球的半径为 C. 直线与直线所成角的最大值为 D. 直线与平面所成角的正切值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， 所以，则A选项正确． 对于B选项，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球， 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为， 易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆， 则腰长，所以梯形存在内切圆， 故圆台存在内切球，且内切球的半径为，则B选项正确；    对于C选项，如图（2），过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， 而，由圆的性质得，， 所以， 因为，则C选项错误．    对于D选项，如图（3），平面即平面， 过点做交于点，因为垂直于下底面，而在底面内， 所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且． 设，则， 所以， 所以， 当时，，当时， ，因为函数在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确．    故选：ABD 10. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ） A. 样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B. 样本中支出不少于40元的人数为132 C. n的值为200 D. 若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率之和为1即可求解A，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】样本中支出在[50，60)内的频率为，所以A错误； 样本容量为＝200，支出在[40，50)内的人数为， 支出不少于40元的人数为，所以B，C正确； 若该校有2000名学生，则估计有人支出在[50，60)内，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等体积法可知三棱锥的体积与的体积相等，且为定值，A正确；建立空间直角坐标系利用空间向量证明可知不存在点，使平面平面，即B错误；利用线面角的向量求法可得出，可得C正确；易知平面截正方体所得截面为五边形，求得该平面图形的面积即可. 【详解】对于A，易得平面平面，所以到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥， 即三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 则，，所以. 设平面的一个法向量， 则，令，解得1， 所以平面的一个法向量. 又，设，则， 所以. 设平面的一个法向量， 则，令，解得， 所以平面的一个法向量. 若平面平面，则，设，即， 解得，又，不符合题意， 所以不存在点，使平面平面，故B错误； 对于C，易得平面的一个法向量为， 又，所以. 因为， 所以，所以的最大值为，故C正确； 对于D，在上取一点，使得， 在上取一点，使得，连接， 则平面截正方体所得截面为五边形，如下图所示： 易得， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：在求解动点相关的线面角问题时，经常利用共线定理得出直线方向向量的坐标表示，在求出线面角正弦值的表达式即可求出其取值范围. 三、填空题： 12. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 13. 若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 14. 三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线l是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，可得答案. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量可取为， 平面的法向量可取为， 平面的法向量可取为， 直线l是两个平面与的交线，设其方向向量为， 则，令，则， 故设直线l与平面所成的角为 ， 则， 故答案为： 四、解答题： 15. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求的定义域并判断其奇偶性. 【答案】（1）3 （2），奇函数 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式化简得，求解即可； （2）解分式不等式求得的定义域，再利用奇函数定义判断即可. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点， 由题意知，即，解得. 【小问2详解】 由（1）得，， 由得，解得，所以的定义域为， 因为的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数的解析式可得最小正周期，利用整体代入法可求得函数的单调递增区间. （2）根据求得，借助正弦定理求出三角形外接圆半径可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∴函数的最小正周期， 由得， ∴的单调递增区间为． 【小问2详解】 由得，故， ∵，∴， ∴，解得. 设外接圆的半径为，由正弦定理得，故， 所以外接圆的面积为． 18. 某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）； （3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可； （2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解； （3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，可得， 解得； 【小问2详解】 设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得 ， 即本次测试的平均成绩为； 【小问3详解】 设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则， 即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为. 19. 如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． （1）求圆台的体积； （2）设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）台体体积计算公式计算即可 （2）（ⅰ）由面面平行的性质定理证明；（ⅱ）建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【小问1详解】 因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为， 所以圆台的高为， 所以圆台的体积为． 【小问2详解】 （ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M， 所以A，，，B四点共面． 又因为圆面圆面O， 平面圆面， 平面圆面， 所以． （ⅱ）在圆面O内作，垂足为O． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， ，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，，得． 设直线与平面所成角为， 则 ， 当且仅当，即，时，取“”， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $