湖南省部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性素质评价数学试题

HUN202610 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．若方程表示圆，则实数的值可能为 A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为，则 A． B． C． D． 5．已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则 A．最大 B．最大 C．最大 D．最大 6．若构成空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则 A． B． C． D． 7．已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：（），则下列说法正确的是 A．可能与轴平行 B．恒过第一象限 C．原点到的距离的最大值为 D．若不过第四象限，则的取值范围为 10．如图，在正四面体中，，，分别为，的中点，则 A． B． C．异面直线与所成的角为 D．在上的投影向量的模为1 11．对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有 C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是 D．若，是非零向量，且，则，的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一个圆锥的底面积为，母线长为5，则该圆锥的侧面积为__________． 13．在台球运动中，无旋转反弹球技法是一种比较简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边，然后按照光线反射的方向弹出．如图，现有一目标球从点无旋转射出，经过直线（桌边）上的点反弹后，恰好能从，两球的中间穿过去（与，球不能相撞），则直线的斜率的取值范围为__________．（球的大小忽略不计） 14．若关于的不等式（，）恒成立，则的所有可能取值共有__________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这100名学生的成绩的中位数； （3）从成绩在内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率． 16．（15分） 已知直线：，与直线：相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 17．（15分） 已知函数是的反函数． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集； （3）设，若存在，使得，求的取值范围． 18．（17分） 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设点在线段上，且，判断直线是否在平面内，并说明理由． 19．（17分） 若直线，在轴上的截距互为相反数，且斜率之积为，则称，是一对“共轭直线”，如直线与是一对“共轭直线”． （1）若，是一对“共轭直线”，且的方程为，求的方程； （2）若，是一对“共轭直线”，记，的夹角为，求的最小值； （3）若，是一对“共轭直线”，且过点，记与的交点为，证明：点到点的距离与点到点的距离之和为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $HUN202610 高二数学·答案 一、选择题 1.C2.D3.D4.B5.B6.C7.D8.A 二、选择题 9.BCD 10.AD 11.ABC 三、填空题 12.1513. 2别 14.3 四、解答题 15.(1)由思可得（a+0.020+0.025+0.035+a)×10=1 即(0.080+2）×10=1，解得Q=0.010.(4分) （2)因为(0.010+0.020)x10=0.3<0.5,而(0.010+0.020+0.025)x10=0.5>0.5, 所以中位数m在[70,80）内. 由中位数的定义可得0.3+(m-70)x0.025=0.5,解得m=78】 所以估计这100名学生的成绩的中位数为78.…(8分) (3)由[80,10]的频率为(0.035+0.010)×10=0.45 可得80,100]内的总人数为100×0.45=45， 51 所以这次考了89分的小明被抽中的概率为459， (13分) 16.(1)由题意，得×2+(-a×1=0,即2-a=0. …(3分) 解得a=2 …(5分) (2)由题意知，四边形PBAC为矩形，PB,PC分别是点P到直线，的距离，…(7分) 1P8=B-2x4+2_3N5 V+(-2 5 所以 (10分) 1PC=2x3+4-375 √22+12 J …… (13分) 四边形PBAC的面积为 =PPC=35x7521 5 5 5 (15分) 17.(1)由题意知f()-1=nx 所以f(x)=l+lnx (4分) (2)因为f()的定义域是(0，+0)，且是(0，+切)上的增函数。 x>0, 3x-1>0, 1 所以由f(3x-)<f(),得3x-1<x解得3x<2, <X< 故原不等式的解集为 …(9分) (3)由2f(ar)=f(x+3)+f(x+5),得2n(ax)=lh(c+3)+h(+5), 所以(x=(x+3x+5),x>0, 即-+3 x2 在0，十60)上有解，…………… (11分) +3)x+5)=15+ě+1t=1 x2 +x+,设x,则a2=15r2+8+1在te(0,+o）时有解， 又152+8t+1>15×02+8×0+1=1,所以a2>1,即a>1. 故a的取值范围为(1，+o)】 (15分) 18.(1)如图，取AC的中点E,连接EB,EN. 因为N为1G的中点，所EN/CC且EN-CG 2 …（们分) 又BMICC BM-1CC 2 所以ENIBM且EN=BM, 所以四边形ENMB为平行四边形，故BE/MN.. (3分) 又BEC平面ABC,MN￠平面ABC, 所以MW/∥平面ABC. …(（4分) (2)取BC的中点O,B,C的中点F,连接A0,OF 易得OFBB,而BBL平面ABC,则OF⊥平面ABC, …(5分) 因为1B=4C,所以401BC,且10=AB-0B=5矿-平=2 …(6分) 所以OA,OB,OF两两互相垂直.以O为坐标原点，直线OB,OF,OA分别为x,',z轴建立 空间直角坐标系，如图所示， 则c-100,C(←12,0).M0.40,2.N B（0,20) 所a=210,-( (8分) 设平面CMN的法向量为m=(化，y2)】 m.CM=2x+y=0, m-M=-3x+2=0 则 2 令x=2,得y=-4,z=3, 所以平面CMN的一个法向量为m=(2,4,3) (10分) 易知i=(0,1,0)是平面ABC的一个法向量. (11分) m cos(m,)= -4 4V29 因为 m同 V4+16+9×1 29 4V29 所以平面CMN与平面ABC夹角的余弦值为29 (13分) (3)由(2)可知，B=(1,2-2).C1=(10,2). CG=CA+4G= 731 422),平面CMN的一个法向量为m=(2,4,3). (15分) G=2x+(923×写1*0 3 因为 所以直线CG不在平面CMN内. (17分) 19.设4，的斜率分别为k,. 0,1 ,令y=0,得x=2,即在x轴上的截距为2 (1分) 因为4，马是[2]共轭直线”，所以在x轴上的截距为-2，且k,=2 1 k=2 因为=一2，所以 ，解得3=-4 …(3分) 所以4的方程为”-0=-4(x+2）,即y=4x-8】 …（4分) (2)设，的倾斜角分别为a,B,易知Q, B￥ 2,则k=tana,k,=tanB 由题意知，kk=-3,0=la-川或0+la-川=180° …(5分) 无论哪种情况，都有 m0-a(a-年氏片-飞 1+kk21-32 …（7分) 因为Kk=-3<0,所以k,异号. 所以长-=k+≥2风=25，当且仅当k=k=V5时取等号.…9分) m0≥2y5-V5 所以 2 ,即tanB的最小值为V5 (10分) (3)因为4过点(-2,0)，所以4过点(2,0). 63 由题意知， ,4.y=k(x-2),1:y=k(x+2) (11分) 及P长).由是夜知.文2.有2.名= x-2 kk=少.y3 所以 x+2x-24,整理得 2=3-3 1 …(12分） 33 2≥0 由41 ,可得-2<x<2」 设E(1,0),F(-1,0) (14分) p-i少-+213-242ax4+2 2* (16分) 所以 s+r-2-r2+j-4 即点P到点（-1,0)的距离与点P到点L,0)的距离之和为定值. (17分)