精品解析：安徽皖南八校2026-2027学年高三上学期10月教学质量检测数学试卷

2027届高三10月教学质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题：，，则命题的否定为，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】或， 即或， 所以. 3. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的性质及充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，即，所以，即； 由，所以，即， 所以当时，一定可以推出，故充分性成立； 但时，不一定推出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 若是偶函数，则图象关于y轴对称，当时，函数取最值， 则有，解得. 选项A ：，选项B ：， 选项C：，选项 D：. 5. 设函数，曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】，， 切线方程为，当时，， 即①， ，， 将代入得到， 切线斜率，故， 将代入 ①，得到，解得，解得，即 则. 6. “物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 7. 已知的三边长分别是，，（），则最大内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用作差比较法判断三边中最长边，再利用余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以. 因此是最长边的边长，设它所对的内角为， 所以有 ， 因为，所以. 8. 已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】就或或分类讨论后可求实数的和. 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，， 【答案】BD 【解析】 【分析】选项 A，举反例求解；选项 B，根据不等式同向可加性求解； 选项 C，举反例求解；选项 D：根据幂函数在上是单调递增求解. 【详解】选项 A，因为，取 ，，结论不成立，故选项A错误； 选项 B，因为，， 所以，解得，即，故选项B正确； 选项 C，因为， 取 ，， 所以，，则，结论不成立，故选项C错误； 选项 D，因为，所以，， 当，幂函数在上是单调递增， 所以 ，结论恒成立，故选项D正确. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形内角性质、正余弦定理、正余弦函数的单调性逐一判断选项即可. 【详解】对于A：若是钝角三角形，则恰有一个为钝角，另两个为锐角，不妨设为钝角， 则，则，故A正确； 对于B：若，则，即为锐角，但不能保证，都为锐角，故B错误； 对于C：若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 因为在单调递增，在单调递减， 所以，， 所以，故C正确； 对于D：若，，可得，要使得有两解， 则满足，即，即的取值范围是，故D正确. 11. 对任意，存在，，使得，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设条件，将问题转化为在上不单调，进而逐项判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数，使得， 所以对任意的，在上不单调时，有满足“性质”， 对于A，， 由题得，当时，，此时， 即在上单调递减，所以函数不具有“性质”，符合题意； 对于B，， 由题得， 当时，，此时， 即在上单调递增，所以函数不具有“性质”，符合题意； 对于C，， 由题得，此时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以函数具有“性质”，所以C不符合题意． 对于D，， ，定义域为， ， 当时，， 令， 则， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增， 在上单调递减，在处取得极小值， 且当时，恒成立，又， 所以在上恒成立， 故在R上单调递增，不满足“性质”，符合题意. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是方程的解，且，则整数__________． 【答案】1 【解析】 【详解】令，则， 求导得，故在单调递减，最多有一个零点， ， ， ，由零点存在定理，零点，故整数． 13. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正切化弦得到，利用两角和正弦公式求出，再用余弦二倍角公式计算． 【详解】，则，故， 故， ， ． 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理将转化为边的关系，再通过余弦定理结合基本不等式求出角的取值范围，接着将原不等式有解转化为关于和的不等式，最后结合角的范围求出实数的取值范围. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 由余弦定理，得，又因为，所以， 记，则，. 因为，所以，从而， 则等价于， 即有解，故有， 化简得，即恒成立，又，则， 可得，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数为偶函数．设集合，． （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出实数，再求出函数的定义域验证即可； （2）求出集合、，利用可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为偶函数，则， 即， 所以，即， 所以对定义域内的任意恒成立，所以，解得， 此时，由得， 即函数的定义域为，关于原点对称，符合题意，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，可得，所以， 由题意可知，， 因为，所以，的取值范围为． 16. 已知函数（，）在区间上的值域为． （1）求函数的解析式以及单调增区间； （2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；单调增区间为（）． （2）． 【解析】 【分析】（1）先确定在给定区间内的范围，利用正弦函数的最值求出，再由正弦函数的单调区间求的单调增区间． （2）先求时的最小值，将全称存在条件转化为区间上的最小值不超过该值，再确定参数取值． 【小问1详解】 当时，． 在此区间上，的最小值为，最大值为，所以的值域为． 因此解得，从而． 由得 故的单调增区间为（）． 【小问2详解】 当时，，故，且． 当时， 要使该区间内存在满足，需且只需存在使，即． 从开始，首次达到的位置为，因此 解得． 所以的取值范围为． 17. 已知函数． （1）当，时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先求导数，再分两类讨论，①和②，由①可得函数是单调递减函数不符合题意；由②，再构造函数，再求导，可得，从而可得在内单调递增，进而将问题转化为在上有变号零点，再结合零点存在性定理可得. 【小问1详解】 当，时，，求导得， 所以，，所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为． 【小问2详解】 由题知，， ①当时，因为，所以，， 所以，因此在内单调递减，不满足题意，舍去； ②当时，令，则， 因为，所以，，所以， 则在内单调递增，即在内单调递增. 要使函数在内不单调，则在上有变号零点， 又因为，故只需， 又因为，因此. 综上①②，实数的取值范围为． 18. 如图，已知四边形四点共圆，且，已知，， （1）若，求三角形周长； （2）若，求四边形的面积； （3）求的最大值． 【答案】（1）; （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，正弦定理得到，由同角三角函数关系求出，由余弦定理可得，求出周长； （2）在和中，由余弦定理得到方程，求出，分别求出和的面积，相加即可； （3）设，，在和中，利用余弦定理得到方程，消去得，同理在和中，得到，表达出，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 四边形四点共圆，故， 因为，所以，故为钝角，为锐角， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 即， 因为均为锐角，所以，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，故，， ， 所以的周长为. 【小问2详解】 ，，所以， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 即，解得， 所以，， 同理可得， 所以， ， 故四边形的面积； 【小问3详解】 设，则，记，则， 在中，， 在中，， 联立可得，整理得， 联立消去得，， ，故， 在中，， 在中，， 两式联立可得， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 所以，故， 此时，，满足要求， 故的最大值为. 19. 设函数的极小值点组成集合． （1）若，证明：； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为的函数的图象是一条连续曲线，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 【答案】（1）函数，定义域为， 由，所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，所以． （2） （3）解法一：若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，， 则为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，由于存在，使得对任意恒成立， 所以存在实数，使得对任意恒成立， 且满足随着从连续减小趋近于负无穷，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于0， 所以为的渐近线，则有时，，时，， 由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以当时，有， 和，与不等式的传递性矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故． 解法二：先证明：当在上为严格增函数时，任取，，均有，等号当且仅当时成立， 设，则， 所以当，即时，，即函数在单调递增， 当，即时，，即函数在单调递减， 所以． 即，等号当且仅当时成立； 再证明：， 若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，，为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数， 即在也为严格减函数，所以存在，使得，与题意矛盾， 当，令， 则，由于的任意性，取， 则，故， 再取实数满足且， 有 ， 与“”对任意恒成立矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故． 【解析】 【分析】（1）根据导函数研究单调性即可； （2）分、、、四种情况研究其单调性； （3）利用反证法，设为的根，得出的单调性，分、两种情况讨论得出矛盾；先证明：当在上为严格增函数时，任取，，均有，等号当且仅当时成立，再利用反证法求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，，即，当时，； ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三10月教学质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：集合与逻辑，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设实数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，若为偶函数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，曲线在处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. “物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知的三边长分别是，，（），则最大内角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，， 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若是钝角三角形，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 对任意，存在，，使得，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是方程的解，且，则整数__________． 13. 若，，则__________． 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若关于x的不等式有解，则实数t的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数为偶函数．设集合，． （1）求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数（，）在区间上的值域为． （1）求函数的解析式以及单调增区间； （2）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当，时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，若函数在内不单调，求实数的取值范围． 18. 如图，已知四边形四点共圆，且，已知，， （1）若，求三角形周长； （2）若，求四边形的面积； （3）求的最大值． 19. 设函数的极小值点组成集合． （1）若，证明：； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为的函数的图象是一条连续曲线，记其导函数为，且在上为严格增函数．求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $