精品解析：福建龙岩市长汀一中新城学校2026-2027学年上学期九年级10月测试数学试题

2026-2027学年第一学期10月份检测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，5 C. 3，， D. 3，，4 2. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个实数根 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的形状是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于y轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它的顶点在原点处，坐标为 8. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝（x+2）2﹣2 B. y＝（x﹣4）2+6 C. y＝（x﹣3）2﹣2 D. y＝（x﹣3）2+2 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ①④⑤ 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为_______． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________. 14. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 15. 若抛物线经过和两点，则______． 16. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是___________m． 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知，是方程的两个实数根： （1）填空：______；______． （2）求代数式的值． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，根据图象写出的取值范围． 22. 如图抛物线y＝x2＋bx＋c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积． 23. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 24. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 25. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月份检测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，5 C. 3，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【详解】解：将方程整理为一般形式，得，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 下列函数中，一定是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数． 根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、里含有分式，故C不符合题意； D、是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式是解题的关键． 根据方程的根的判别式列不等式求解答即可． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴没有实数根． 故选：B． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程； 根据两因式相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：B． 5. 若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线．根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 它的形状是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于y轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它的顶点在原点处，坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 8. 将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝（x+2）2﹣2 B. y＝（x﹣4）2+6 C. y＝（x﹣3）2﹣2 D. y＝（x﹣3）2+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移抛物线解析式的变化原则：“上加下减，左加右减”，即可得到答案． 【详解】根据题意得， 平移后的解析式为：， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图像得出，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为，进而得出，当时，，则，推出，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故③不正确，即可判断③；④由图可知，顶点在第二象限，则即可判断④；⑤根据二次函数与x轴交点坐标为，，得出，结合图象得出当时，对应x的值在左侧，右侧，即可判断⑤． 【详解】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵对称轴为直线，x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴，当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④由图可知，顶点在第二象限， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑤， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 一元二次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解求一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的顶点式形式为，其中，该形式下抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 13. 若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线 的图像与轴有交点可知，从而可求得的取值范围． 【详解】解：∵抛物线 的图像与轴有交点 ∴令，有，即该方程有实数根 ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键． 14. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 15. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 16. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：，则小球运动中的最大高度是___________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质配方找出顶点坐标，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 小球运动中的最大高度是m， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数性质的实际应用，解题的关键是配方化成顶点式． 三、解答题（共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或， 得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 得，． 18. 已知，是方程的两个实数根： （1）填空：______；______． （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设是一元二次方程是常数的两个实数根，则．据此进行解答即可； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【小问1详解】 解：方程中，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】 （1） ∵△= = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）0或-2或1或-1 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值； 【详解】解：（1）略 （2）∵ ∴ ∴=0 ∴，或， 当，时， ∵k与都为整数， ∴k=0或-2 当，时， ∴， ∵k与都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． 20. 如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 解得：， ， ， ， 此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 21. 如图，二次函数的图象的对称轴为，与直线 相交于点和点，其中A点轴上． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，根据图象写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，理解相关知识是解答关键． （1）先求出点的坐标，再把点的坐标代入二次函数求出，根据二次函数的对称轴求出即可求解． （2）根据抛物线与直线相交于点，，观察图形来求解． 【小问1详解】 解：在中，令，得， ． 把代入二次函数， 得， ． 二次函数的图象的对称轴为， ， 解得， 该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线与直线相交于点，， 由图象可得，当时，的取值范围是或． 22. 如图抛物线y＝x2＋bx＋c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）6 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线解析式； （2）通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3， 则B（0，﹣3）； 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝3， 则A（3，0）， 把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则C（﹣1，0）， ∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6． 【点睛】考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点，属于基础题，有一定综合性，把求二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3） 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 24. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）当天可获利1692元 （2） （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∴盈利与的函数关系式； 【小问3详解】 解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 25. 已知二次函数（为常数）， （1）若，求该二次函数图象的对称轴； （2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值； （3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求得解析式，再根据二次函数的性质即可解答； （2）先求得对称轴为．然后分和两种情况，分别运用二次函数的性质求解即可； （3）如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，然后结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴（为常数）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴是． 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或； 当时，函数有最小值．即，解得：（舍去）或 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，． 观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大， 当时，恒成立，即时，m的最大值为． ∴，得（舍去）或3． ∴，得或． ∴m的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $