精品解析：福建省漳州市第三中学2026-2027学年上学期 阶段教学阶段（一）九年级数学试题

2026－2027学年上学期漳州三中阶段教学诊断（一） 九年级数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据定义分析可得本题答案. 【详解】A、是一元一次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是二元二次方程，故不符合题意； D、是分式方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四边形中，对角线一定互相垂直的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线一定互相垂直， 矩形，梯形，平行四边形的对角线均不一定互相垂直． 3. 根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ 　 ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A. ﹣1<x<1 B. 1<x<1.1 C. 1.1<x<1.2 D. ﹣0.59<x<0.84 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中数据得到x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0，x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0，则可以判断方程x2 +12x﹣15=0时，有一个解x满足1.1<x<1.2． 【详解】∵x=1.1时，x2 +12x﹣15=-0.59<0， x=1.2时，x2 +12x﹣15=0.84>0， ∴ 1.1<x<1.2时，x2 +12x﹣15=0 即方程x2 +12x﹣15=0必有一个解x满足1.1<x<1.2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该方案错误． 选项B：两组对边分别相等只能判定这个四边形是平行四边形，不能直接得出它是矩形，该方案错误． 选项C：仅对角线相等的四边形不一定是矩形，比如等腰梯形的对角线也相等，该方案错误． 选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，因此测量出四边形有三个角为直角，就可以判定它是矩形，该方案正确． 5. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 7. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 8. 下列命题中，真命题的是（） A. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】判定特殊四边形时，需先明确是否具备平行四边形的前提条件，再结合附加条件判断． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，该命题为假． B．两组邻边相等的四边形不一定是菱形，该命题为假． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该命题为真． D．有一个角是直角且对角线相等的四边形，不满足平行四边形前提时无法判定为矩形，该命题为假． 9. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正八边形的性质可得，再根据邻补角的定义、等腰三角形的内角和可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：如图，重叠部分是正八边形， ，， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正八边形的性质、等腰三角形的内角和问题等知识点，熟练掌握正八边形的性质是解题关键． 10. 如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造辅助线，将分散的线段转化到同一个三角形中，连接并延长交于点P，证明，从而得出H为中点，在直角三角形中利用勾股定理求出，最后利用三角形中位线定理将转化为的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵点是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点． ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴． ∵点是的中点，， ∴． 在中，由勾股定理得：． ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 将方程化为一般形式为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程移项，得． 12. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 【答案】矩形 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ，， ，即， 平行四边形是矩形． 13. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入一元二次方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， ∵， 把代入，得 ． 14. 如图，中，对角线交于点O，，E是的中点，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出． 15. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设门的宽为x尺，则，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设门的宽为x尺，则，根据勾股定理得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 16. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．下列说法正确的有__________． ①方程是“勾系一元二次方程”； ②关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； ③若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则； ④若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，则． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据“勾系一元二次方程”的形式，对比所给方程，得出对应系数关系，求出，，的值，验证是否满足勾股定理即可判断； ②计算根的判别式，对比所给方程，得出对应A、B、C的值，根据，代入化简，求出与0的大小关系即可判定； ③将代入方程得到关于，，的方程，结合三角形边长均为正数的特点，得到，对比可判定结论； ④将代入方程中得到关于，，的方程，再根据四边形的周长得到，两个方程联立，消掉，，即可求出c． 【详解】解：①根据定义，“勾系一元二次方程”的形式为， 对比方程，可得对应系数关系：，，， 解得． 在中，根据勾股定理，需满足， 将，，代入验证：， 成立，所以该方程符合定义． 故说法①正确． ②判断一元二次方程是否有实数根，需要计算根的判别式， 在此方程中，系数分别为，，， 代入判别式公式： 因为，，是直角三角形的三边，满足， 将替换为： 因为任何实数的平方都是非负数，即， 所以， 当时，方程必有实数根． 故说法②正确． ③因为是方程的一个根，将代入方程：， 因为，，均为三角形边长，即，，，所以，这与方程矛盾， 因此，不可能是该方程的根． 故说法③错误． ④因为是方程的一个根，将代入方程：，即． 四边形的周长， 由图可知：，，，， 所以周长 即 将代入周长方程中： 解得． 故说法④正确． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：或, ，． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，． 18. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得，第四步 所以．第五步 填空： （1）“第二步”变形的数学依据是__________________________；（用文字语言填空） （2）小明同学这种解一元二次方程的方法叫作配方法，其中“第三步”配方时用到的数学公式是_______________________________； （3）小明同学的解题过程中，从第________步开始出现错误，则原方程正确的解为________． 【答案】（1）等式的基本性质1； （2）； （3）四，， 【解析】 【小问1详解】 解：“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质1； 【小问2详解】 解：由“第三步”可知，配方时用到的数学公式是完全平方公式，即； 【小问3详解】 解：小明同学的解题过程中，从“第四步”开始出现错误； “第四步”应为， ，． 19. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得，结合垂直以及对顶角相等，即可证明． 【详解】略 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到两根之积，进而根据“两根一正一负”作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积， 即， 解得：． 21. 如图，是直角三角形，且，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图， 点是的中点， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． ∴四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】（1）根据中点定义，结合条件先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，最后根据菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． （2）根据菱形的面积等于两对角线的长的积的一半，计算即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得：四边形是菱形， ∴四边形的面积为：， ∴四边形的面积是24． 22. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，漳州市龙海区大力发展文旅产业，先后投资建设了“浮宫杨梅采摘园”，“九龙江畔休闲营地”，“古厝研学基地”，“农家风味小吃坊”等文旅项目．这些项目不仅为龙海区人民群众提供了就近务工机会，而且使龙海区集体经济得到快速增长．据悉，年此村集体经济收入从年的万元升至万元． （1）求龙海区从年到年这两年，集体经济收入的年平均增长率； （2）今年浮宫杨梅遭遇食品安全舆情风波，部分收购点违规添加甜蜜素事件曝光后，本地这家正规采摘园坚持原生态种植，全程不使用甜蜜素、防腐剂．为重建消费者信任，采摘园决定降价促销．原生态杨梅若每千克盈利16元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克降价1元，日销售量就增加．该采摘园要保证每天盈利6000元，同时又要尽可能地让顾客得到实惠，每千克杨梅应降价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为； （2）每千克杨梅应降价6元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，根据 年收入万元，两年增长到 万元，列方程，解方程舍去负根得到增长率为 ． （2）设每千克杨梅降价元，则单件利润为元，销量为，根据总盈利 元列出方程，取较大的降价数值 6 满足让利顾客的条件． 【小问1详解】 解：设从年到年这两年，集体经济收入的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克杨梅应降价元，根据题意可得：， 解得（因尽可能地让顾客得到实惠，因此舍去降价较小的），， 答：每千克杨梅应降价6元． 23. （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接，设交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，在正方形中，E是边的中点，F是上点．过点F作，分别交于点G、H，若，，求的长． 【答案】 （1），且． 理由如下： 四边形是正方形． ，， 在 和 中， ， ， ，， ， ， ， ， ，且． （2）7 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定得到，由全等三角形的性质得到，，求出，求出即可； （2）过作于，由可得，根据，可得，再根据是边的中点，可得，进而便可求得． 【详解】解：（1）略 （2）解：过作于，如图： 正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是边的中点， ， ， 的长为7． 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．例题：求多项式的最小值． 解：， ， ， 当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式，则的最小值为____________； ②代数式，则的最大值为____________； （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点M、N分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止．设时间为，则当为何值时，的值最大，最大值为多少？ 【答案】（1）①5；②6 （2） ，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式进而求解代数式的最值，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式可得答案； （2）先求出，再利用完全平方公式即可求解； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式即可求解． 【小问1详解】 解：① ， ， ， 当时，． ∴有最小值，最小值为5，即的最小值为5； ② ∵， ∴， ∴， ∴当时，， ∴有最大值，最大值为6，即的最大值为6； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 25. 【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是得到条件__________（选择序号）． ①；②；③ 【类比探究】 （2）如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：． （3）如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，存在常数，，使等式成立，请直接写出和的值． 【答案】（1）① （2）证明：如图1， 在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）， 【解析】 【分析】（1）要证明，需要构建一个三角形与全等，根据题目条件只能得，故取的中点，连接，则：，，进而得，即可证明， 根据全等性质即可得，进而得取的中点，意图是得到条件，，即可得①正确． （2）在上取点，使，连接，根据正方形性质可证明为等腰直角三角形，即可得，进而得，根据，即可得，再根据交正方形外角的平分线于点，求出，即可得，进而可证明，根据全等三角形性质即可证明． （3）过点作，根据正方形性质，结合条件交正方形外角的平分线于点，可得，进而可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，根据平行线性质得，，即可证明，根据全等三角形性质得，再根据勾股定理，结合正方形性质得，最后根据，等量代换后整理得，再根据，对比两式即可得和的值． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴要证明，需要构建一个三角形与全等， 取的中点，连接，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取的中点，意图是得到条件：，，故①正确． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 过点作， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在的延长线上取一个点，记作， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年上学期漳州三中阶段教学诊断（一） 九年级数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四边形中，对角线一定互相垂直的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 3. 根据下列表格的对应值，由此可判断方程+12x﹣15=0必有一个解x满足（ 　 ） x ﹣1 1 1.1 1.2 x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84 A. ﹣1<x<1 B. 1<x<1.1 C. 1.1<x<1.2 D. ﹣0.59<x<0.84 4. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，嘉嘉用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是（） A. 测量对角线是否互相垂直 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量是否有三个角是直角 5. 若是一元二次方程的根，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 6. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，真命题的是（） A. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 B. 两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 9. 如图，两个完全相同的菱形如图所示叠放在一起，若重叠部分是正八边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 将方程化为一般形式为__________． 12. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是_____． 13. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值等于__________． 14. 如图，中，对角线交于点O，，E是的中点，则_________． 15. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为 _____． 16. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和的边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．下列说法正确的有__________． ①方程是“勾系一元二次方程”； ②关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； ③若是“勾系一元二次方程”的一个根，且，则； ④若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，则． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 18. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次项系数化为1，得，第一步 移项，得，第二步 配方，得，即．第三步 由此，可得，第四步 所以．第五步 填空： （1）“第二步”变形的数学依据是__________________________；（用文字语言填空） （2）小明同学这种解一元二次方程的方法叫作配方法，其中“第三步”配方时用到的数学公式是_______________________________； （3）小明同学的解题过程中，从第________步开始出现错误，则原方程正确的解为________． 19. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，于点E，于点F．求证：． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求的取值范围． 21. 如图，是直角三角形，且，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 22. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，漳州市龙海区大力发展文旅产业，先后投资建设了“浮宫杨梅采摘园”，“九龙江畔休闲营地”，“古厝研学基地”，“农家风味小吃坊”等文旅项目．这些项目不仅为龙海区人民群众提供了就近务工机会，而且使龙海区集体经济得到快速增长．据悉，年此村集体经济收入从年的万元升至万元． （1）求龙海区从年到年这两年，集体经济收入的年平均增长率； （2）今年浮宫杨梅遭遇食品安全舆情风波，部分收购点违规添加甜蜜素事件曝光后，本地这家正规采摘园坚持原生态种植，全程不使用甜蜜素、防腐剂．为重建消费者信任，采摘园决定降价促销．原生态杨梅若每千克盈利16元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克降价1元，日销售量就增加．该采摘园要保证每天盈利6000元，同时又要尽可能地让顾客得到实惠，每千克杨梅应降价多少元？ 23. （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接，设交于H．请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，在正方形中，E是边的中点，F是上点．过点F作，分别交于点G、H，若，，求的长． 24. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．例题：求多项式的最小值． 解：， ， ， 当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 填空：①代数式，则的最小值为____________； ②代数式，则的最大值为____________； （2）【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点M、N分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止．设时间为，则当为何值时，的值最大，最大值为多少？ 25. 【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是得到条件__________（选择序号）． ①；②；③ 【类比探究】 （2）如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：． （3）如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，存在常数，，使等式成立，请直接写出和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $