精品解析：福建省龙岩市长汀县 2025-2026学年上学期九年级12月测试数学试题

长汀县2026届初中毕业班城区联考数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 十二时辰是中国传统计时法，以地支命名12个固定时段（各2小时），子时起于．源于天文观测，用于规范作息和历法计算．下列图片中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的识别方法是解决本题的关键． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点到圆心的距离记为d，圆的半径记为r, ∵d=OA=3, ∴d<r， ∴点A在圆内， 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选D． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 故选：B． 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解． 【详解】∵，是的切线，是的直径， ∴∠CAP=90°，PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA， ∵， ∴∠PAB=∠CAP-=75°， ∴=180°-75°-75°=30°． 故选B． 【点睛】本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，掌握上述定理，是解题的关键． 7. 2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为，根据两次降价后的单价原来的单价列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：B． 8. 如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（　　） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 方程的根的判别式 C. 当时，函数值y随x的增大而增大 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式．观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，可得抛物线的对称轴为直线，可判断A；再由抛物线与x轴有2个交点，可判断B；然后二次函数的增减性可判断C；再由观察图象得：当或时，，可判断D． 【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴方程有2个不相等实数根， ∴方程的根的判别式，故B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴当时，函数值y随x的增大而增大，故C正确，不符合题意； 观察图象得：当或时，， ∴不等式的解集为或，故D不正确，符合题意； 故选：D 9. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 10. 如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为， ， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 由旋转得：，， ， ， ， ， ， ， 当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为3， 长的最小值是3， 故选：D 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律．根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识点，熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解决此题的关键，根据已知条件“一元二次方程有两个相等的实数根”可知根的判别式，据此可以求得的值． 【详解】解：一元二方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 13. 正六边形的中心角等于______度． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据正n边形中心角的公式直接求解即可. 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角= 故答案为：60° 【点睛】本题考查正六边形，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，熟悉正六边形的中心角的概念 14. 如图，将放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，则旋转结束时，点对应点的坐标为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质-旋转，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质求解是解题的关键．过作轴于，由旋转的性质得，可得，证明，根据全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过作轴于， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为． 15. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 16. 已知一个圆心角为扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，圆的直径为，则圆心O所经过的路线长是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是正确理解经过的路线．经过的路线是两个半径是5，圆心角是的弧，平移的距离是半径长是5，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：， O移动的距离是， ∴圆心O所经过的路线长是：， 故答案为：． 三．解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 【答案】（1） （2），另一根为 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用根与系数的关系解答． （1）根据题意可知，，然后求解即可； （2）根据根与系数的关系，可以先求出方程的另一个根，然后即可计算出的值 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 解得， 即的取值范围为； 【小问2详解】 解：设该方程的另一个根为， 则， 解得， 解得， 即，该方程的另一个根是． 19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 【答案】 （1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE， 即AC=BD （2）8﹣ 【解析】 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD， 连接OC，OA， ∵OA=10，OC=8，OE=6， ∴. ∴AC=AE﹣CE=8﹣． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的中，求证：点在上． 【答案】（1） 如图所示，为所求， ； （2） 如图，连接，由（1）得直线为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴且， ∴ ∴，即， ∴三点共圆，点在上． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，与相交于点O，以点O圆心，长为半径作圆，即可得到解答； （2）连接，由（1）得直线为的垂直平分线，则，得，由由且得到，则，即，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的基本知识、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的作图和性质是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于x轴对称，画出； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点C经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，以及求弧长： （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可． （3）利用弧长公式求得点C经过的路径长． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：在（2）的旋转过程中，点经过的路径长为． 22. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 23. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 任务： （1）上述过程中的，，，表示的数分别为________，________，________，________； （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）5，2，， （2） 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识． （1）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解； （2）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：解方程解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 故答案为：5，2，，； 【小问2详解】 原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得． 24. 根据以下素材，解决问题． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量，并绘制示意图．如图，测得拱形内水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现：当拱形内水面宽为36米时，水位（相对正常水位）上涨2.1米；当拱形内水面宽为32米时，水位（相对正常水位）上涨3.8米． 问题解决 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 【答案】假设1：； 假设2：半径为． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式、垂径定理以及勾股定理，读懂题意是解决问题的关键． 假设1：以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立坐标系，则抛物线顶点，由于，故，，设解析式为：，代入坐标即可求得a的值，求得即可求解； 假设2：设圆弧的半径为，圆心为O，连接，根据垂径定理可得如图：则在中由勾股定理，求得． 【详解】解：假设1：以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立坐标系， 由已知，则顶点， 设解析式为：， ∵， ∴，， 则时，，， 解得：， ∴； 解：假设2：若拱桥形状是圆弧时．请根据素材1，设该圆弧的半径为，圆心为O，连接， 由已知可得， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴半径为． 25. 矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当点E落在上时，求x的值； （3）当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围． 【答案】（1） 证明：是矩形， ， ∵沿折叠，得到， ， ， 是半圆O的半径， 是半圆O的切线． （2）x的值为3 （3）综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点 【解析】 【分析】（1）通过翻折的性质，证明即可解答； （2）画出图形，在中根据勾股定理构建方程，即可解答； （3）将临界情况，即当半圆O与相切时；当半圆O与相切时；当半圆O经过点D时；当半圆O的圆心与点C重合时；求出此时的长度，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点E落在上时，如图2所示： ∵沿折叠，得到， ，， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵由（1）知是半圆O的切线， ， ∴在中， ∴，解得：， 答：x的值为3． 【小问3详解】 分情况进行讨论： ①如图2，当半圆O与相切时，根据（2）中解答，可得； 如图3，当半圆O与相切时，． ∴当时，半圆O与的边和各有一个交点； ②如图4，当半圆O经过点D时，连接，设圆的半径为a， 在中，可得，即 解得： 如图5，当半圆O的圆心与点C重合时，此时，， ∴当时，半圆O与的边和各有一个交点， ∴综上所述，当或时，半圆O与的边有两个交点． 【点睛】本题考查了切线的证明，翻折的性质，圆与直线的位置关系，勾股定理，画出正确的图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长汀县2026届初中毕业班城区联考数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 十二时辰是中国传统计时法，以地支命名12个固定时段（各2小时），子时起于．源于天文观测，用于规范作息和历法计算．下列图片中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(　　) A. 点A在⊙O上 B. 点A在⊙O内 C. 点A在⊙O外 D. 无法确定 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（　　） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 方程的根的判别式 C. 当时，函数值y随x的增大而增大 D. 不等式的解集为 9. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直角中，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是（ ） A. B. C. D. 3 二．填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知点与点关于原点对称，则点的坐标为______ ． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为_________． 13. 正六边形的中心角等于______度． 14. 如图，将放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，则旋转结束时，点对应点的坐标为______  ． 15. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 16. 已知一个圆心角为扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，圆的直径为，则圆心O所经过的路线长是______．（结果保留） 三．解答题 17. 解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根及的值． 19. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使它过点，且圆心在上，（必须保留清晰的作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的中，求证：点在上． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、． （1）与关于x轴对称，画出； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）求在（2）的旋转过程中，点C经过的路径长． 22. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 23. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 任务： （1）上述过程中的，，，表示的数分别为________，________，________，________； （2）请用“平均数法”解方程：． 24. 根据以下素材，解决问题． 如何确定拱桥形状？ 问题背景 河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见．有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧．为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动． 素材1 在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量，并绘制示意图．如图，测得拱形内水面宽为40米，拱顶离水面的距离为10米． 素材2 大雨过后，水位上涨．小组成员再对拱形内水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量．发现：当拱形内水面宽为36米时，水位（相对正常水位）上涨2.1米；当拱形内水面宽为32米时，水位（相对正常水位）上涨3.8米． 问题解决 假设1 小组成员首先假设拱桥形状是抛物线．根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式． 假设2 小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧．请根据素材1求出该圆弧的半径． 25. 矩形中，，点O是边BC上的一个动点（不与点B重合），连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当点E落在上时，求x的值； （3）当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $