精品解析：广东惠州市惠城区部分校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年第一学期随堂练习 八年级数学学科 注意事项： 1．全卷共7页，两大题，满分120分，练习时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．练习结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 2. 临清高速公路营盘寨大桥的部分钢架结构中使用了三角形的支撑设计．工程师这样设计利用的三角形性质是（ ） A. 三角形的内角和为180° B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 三角形具有不稳定性 3. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 7. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（ ） A. B. C. D. 8. 化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，的补角是，则是__________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 12. 如图，在中，，，为________度． 13. 如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 14. 如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题一（每题7分，共21分） 16. 如图，在中，已知是的角平分线，是的高，，求的度数． 17. 如图，，，点B，F，E，D在一条直线上，且．求证：． 18. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=70． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交CD于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）求∠AEC的度数． 四、解答题二（每题9分，共27分） 19. 数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． （1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； （2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 20. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 21. 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． （1）观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； （2）请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分） 22. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 23. 【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期随堂练习 八年级数学学科 注意事项： 1．全卷共7页，两大题，满分120分，练习时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置，写在试卷上无效． 4．练习结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成三角形． 2. 临清高速公路营盘寨大桥的部分钢架结构中使用了三角形的支撑设计．工程师这样设计利用的三角形性质是（ ） A. 三角形的内角和为180° B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 三角形具有不稳定性 【答案】C 【解析】 【详解】解：钢架结构采用三角形支撑设计，利用的是三角形的稳定性. 3. 小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 4. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在中，是边上的中线，若，，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三角形中线的定义得到，再根据与的周长之差即可求得答案． 【详解】解：是边上的中线， ， 与的周长之差 ． 6. 如图，，，添加下列哪一个条件可以推证（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题目中的条件，可以得到，，然后即可判断各个选项中添加的条件是否能使得，从而可以解答本题． 【详解】解：， ， ， 又， 添加条件，不能判断，故选项A不符合题意； 添加条件，不能判断，故选项B不符合题意； 添加条件，可以得到，不能判断，故选项C不符合题意； 添加条件，可以得到，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 8. 化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点  ，  在和中       判定依据是． 9. 将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角板的角度特征、直角三角形内角和、及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角板的角度确定、、的度数，再利用直角三角形内角和求出，结合邻补角的性质得到，最后通过三角形内角和定理计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴ ∴， ∴ 故选：． 10. 如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 在中，的补角是，则是__________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据补角定义求出的度数，再根据三角形按角分类的规则判断三角形类型． 【详解】解： 的补角是， ， ， 为钝角， 是钝角三角形． 12. 如图，在中，，，为________度． 【答案】110 【解析】 【详解】解：． 13. 如图，的面积为，是边上的中线，为的中点，连接，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是边上的中线求出的面积，再由是的中点求出的面积． 【详解】解：是边上的中线， ， 为的中点， 是的中线， ． 14. 如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 15. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题一（每题7分，共21分） 16. 如图，在中，已知是的角平分线，是的高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，计算解答即可． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ，， ， ． 17. 如图，，，点B，F，E，D在一条直线上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ， ∴， ， ， ∵ ∴， ． 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，再证明即可． 【详解】证明：略． 18. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=70． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交CD于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹) （2）求∠AEC的度数． 【答案】 （1）解：如图所示： 图即为所求； （2）125° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的画法直接作图即可； （2）利用角的等量代换运算求解即可． 【详解】（1）略． （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，三角形内角和等知识点，熟练运用角的等量代换是解题的关键． 四、解答题二（每题9分，共27分） 19. 数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． （1）如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； （2）如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； 【答案】（1）证明：如图，过点A作， 则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ． 【解析】 【分析】（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可得证； 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 推理说明：略． 20. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵∠， ∴， ∵，， ∴ （2），理由如下： 如图，过作于，于， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）求出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出两三角形面积相等和，根据面积公式求出，根据角平分线的判定得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． （1）观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； （2）请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则______度，若，则______度（用含的式子表示）： ②如图③，平分，平分，若，，的度数是______． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由（1）可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，分别将、代入计算即可； ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又∵， ． 【小问2详解】 解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 当时，； 当时，； ②由（1）可得，， ， 又∵平分平分， ， ． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分） 22. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $