精品解析：海南省琼海市嘉积中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

琼海市嘉积中学2026-2027学年度年第一学期高三年级随堂练习（二） 数学科试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题日要求的. 1. 已知集合，则集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式等价于， 解得，则集合， 又集合，所以. 2. 命题“，”的否定为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定方法进行判断﹒ 【详解】“，”的否定为“，”， 故选：B﹒ 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 4. 方程的根所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 5. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 7. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 故展开式中的系数为. 故选：D 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数单调性及分段点处函数值的大小关系，得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可. 【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且， 则，解得. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，令，则原式转化为，结合赋值法，以及二项展开式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 故选：ACD. 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 【答案】48 【解析】 【分析】先由甲乙一人担任旗手，再其余全排即可； 【详解】先甲乙选一人担任旗手，再将其余全排， 可得不同的安排方法种数为种， 故答案为：48. 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 【答案】 ①. 0.4## ②. 64 【解析】 【分析】由题意可知：，根据方差的性质可得；根据正态分布的对称性可得. 【详解】由题意可知：，即，所以； 因为，且， 所以. 故答案为：0.4；64. 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为方程的实根个数问题，通过求导分析函数单调性、极值与值域，结合判别式确定的取值范围. 【详解】函数有两个零点等价于方程有两个不同的实根， 由题可知函数的定义域为，求导得：， 令，解得临界点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故函数极小值为，极大值为； ，当时，因此的值域为， 由，整理得：， 当时，方程为，仅有个实根，不符合“两个零点”； 当时，方程为一元二次方程，若要有两个不同实根， 需满足判别式：，解得，即， 且当时，方程仅有唯一实根或，不符合两个零点的要求； 故时，方程恰好存在两个不同的实根，即的两个零点， 综上实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 16. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． （1）按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2）【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在上抽取的人数为6人，在上抽取的人数为3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列； （2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，运动时间在的人数为， 运动时间在的人数为． 按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间内抽取的人数为， 在区间内抽取的人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】由题意，，． ，． ， （或）， ． ． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）直线l恒过定点(，0)． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求得a,b的关系，进而求得椭圆的标准方程； （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，利用判别式求得m,k满足的不等关系，由QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称，得，利用韦达定理表示，并化简得到化简得，直线l的方程为，进而得到结论. 【详解】（1）因为椭圆C：(a>b>0)的离心率e=， 所以，即， 又椭圆的短轴长为2，所以b=1，a=2， 所以椭圆C的方程为． （2）设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组，消去y，得 ，即， ， 因为QA所在的直线与QB所在的直线关于x轴对称， 所以， 即 3 得 化简得，直线l的方程为， 所以，直线l恒过定点(，0)． 【点睛】本题考查利用离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的直线过定点问题，属中档题，关键是利用设而不求思想，利用韦达定理化简，进而得到m,k的关系,从而判定直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2026-2027学年度年第一学期高三年级随堂练习（二） 数学科试题 时间：120分钟满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题日要求的. 1. 已知集合，则集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 4. 方程的根所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． （1）按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； （2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的方程为，且椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，点，若所在的直线与所在的直线关于轴对称，直线是否恒过定点，若是，求出该定点的坐标． 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若与恰有两个交点，求的取值范围. （3）当时，，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $