海南省海口市2026-2027学年高三数学10月模拟试卷（一）

海南省海口市2027届高三数学10月模拟试卷（一） 一、单选题 1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C．－1 D．－i 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 3．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 6．若，则（    ） A．56 B．28 C． D． 7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（0，1） D． 8．在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 10．若，是两条互相垂直的异面直线，，，，是四个不同的点，满足，，，，且，，，则（    ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为中点，则 11．已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 三、填空题 12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，则________． 13．已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 14．已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________． 四、解答题 15．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求角和的值； (2)求的值． 16．为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； (2)已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 17．已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和. 18．如图，在三棱台中，底面，，，D为的中点，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； (3)在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值. 19．已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2027届高三数学10月模拟试卷（一） 一、单选题 1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（   ） A．1 B．i C．－1 D．－i 【答案】A 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由题知， 所以z的虚部为为1. 故选：A. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】已知随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称. 因为和关于对称轴对称， 根据正态分布的对称性可得， 因此 3．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式得出集合M，N，结合交集、并集的概念逐一判断即可. 【详解】，， 所以，， 故选：A. 4．已知，，满足，且，，则的值为（    ） A．－2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意切化弦结合三角恒等变换可得，结合运算求解即可. 【详解】由，即，可得， 则， 可得， 因为，即， 可得， 又因为，即，所以． 故选：B． 5．已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直线方程代入双曲线方程应用韦达定理求解. 【详解】由得，由已知得，解得（舍去）. 6．若，则（    ） A．56 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，根据二项展开式的通项可知，进而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：D. 7．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8．在三角形中，点，满足，且，若，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先以为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，进而发现点轨迹为一个圆，而为中点，则可求出点到直线距离的最大值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，以为原点，为轴正方向，则， 设，则，化简得， 的轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到直线距离最大值为，而为中点， 故点到直线距离最大值为， 所以面积最大值为． 二、多选题 9．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 【答案】BCD 【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确； 对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD. 10．若，是两条互相垂直的异面直线，，，，是四个不同的点，满足，，，，且，，，则（    ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为中点，则 【答案】ABD 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助异面直线定义、空间向量的数量积公式、模长公式等逐项计算并判断即可得. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为过点且平行于轴的直线， 建立空间直角坐标系，则，，设，； 对A：由图可知，直线与直线不平行且不相交， 故直线与直线是异面直线，故A正确； 对B：，，则，故B正确； 对C：若，则，，故， 则，故C错误； 对D：若为中点，则， 则，， 则，故D正确. 11．已知数列满足：，则（     ） A． B．的前n项和为 C．设，则数列的前10项和为52 D．设，则数列既有最大项，又有最小项 【答案】ACD 【分析】根据递推关系求出判断A；根据等差数列前项和公式计算判断B；写出数列前10项，计算求和判断C；求得，根据单调性计算判断D. 【详解】对于A，当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对于B，的前项和为，故B错误； 对于C，， 时，时， 故前10项和为，故C正确； 对于D，， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 三、填空题 12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，以及函数符合的等式条件，求出结果即可. 【详解】由，可得， 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为时， 所以. 故答案为：. 13．已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值. 【详解】， 所以，设向量与的夹角为， 则， 由于，所以，所以. 14．已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________． 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，设，利用椭圆的定义及余弦定理建立等式即可求出离心率. 【详解】如图，连结，设，则， 在中，由余弦定理，得， 即，整理得：， 在中，由余弦定理，得， 即，整理得：， 因此，而，则，即， 所以C的离心率． 故答案为： 四、解答题 15．在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，． (1)求角和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意结合正弦定理可得、，求出后，再利用余弦定理即可求得，即可得解； （2）由正弦定理可得，利用同角三角函数的平方关系、三角恒等变换可得. 【详解】（1）由正弦定理，得，． 又，，∴． ∵，∴．由余弦定理，得． 由，得，进而． （2）由正弦定理与余弦定理，得， ． ∴． 16．为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； (2)已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 【答案】(1)3；. (2)；万辆. 【分析】（1）根据平均数的概念和上四分位数的概念求值. （2）根据公式和数据求的值，可得回归方程，再令，可预测2025年10月份的销售量. 【详解】（1）这6个月销售量数据的平均数为； 因为，所以这6个月销售量数据的上四分位数为第5个数，是. （2）因为， 所以， 所以. 所以. 当时，（万辆）， 即预测2025年10月份的销售量约为万辆. 17．已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量，结合成等比数列列方程求出公差，从而得出等差数列，由消去推出，然后利用构造法求通项； （2）根据分组求和结合等差数列等比数列求和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， 又，可得， 解得或（舍），所以. 当时，，解得. 因为，① 当时，，② ①②化简得， 即，又， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以， 所以. （2）由已知可得. 又 . . 所以 . 所以. 18．如图，在三棱台中，底面，，，D为的中点，. (1)证明：； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； (3)在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)因为A1B1=2，AB=AC=4， 即且， 所以且， 又因为D为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又因为， 所以， 又因为底面，底面， 所以， 又因为平面， 且为直角梯形的两腰， 所以必相交， 所以平面， 又因为平面， 所以； (2)或； (3) 【分析】（1）根据题中条件可得为平行四边形，从而得，再由底面，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）先建立空间坐标系，求出与平面的法向量，再利用向量的数量积求解即可； （3）求出的坐标，再利用向量的数量积求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直， 故以为原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 则， 所以 设为平面的法向量， 则有，即， 取， 又因为， 由题意可得， 即， 整理得 解得或， 所以或， 即的长为或； （3）由（2）可知或， 又因为, 所以， 即， 所以， 所以 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 19．已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 【答案】(1)当时,有极小值 2，无极大值. (2) (3) 【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值； （2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可； （3）有唯一解，构造函数参变分离，有唯一解，构造函数，借助导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）因为函数，所以的定义域为 令，则，注意到为增函数，且， 所以当时,，单调递减； 当时,，单调递增； 所以当时,有极小值 2，无极大值. （2）由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则 设，则 因为在区间上单调递增，所以 则在区间上单调递增，所以则 所以在区间上单调递增， 所以，所以. （3）由题意可知有唯一解， 设 注意到，当时,；当时, 所以至少有一个解. 因为有唯一解，所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立, 则 所以在区间上单调递增， 注意到所以当时,单调递减； 当时,单调递增； 故只需即可， 所以 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $