精品解析：吉林省长春市第二中学2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

2026—2027学年度高一年级上学期第一学程考试数学科试题 命题人：高一年级数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数中，其中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列函数中，最小值是的是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集是或，则，，的值可能为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ） A. 第一种方式购买物品的单价为 B. 第二种方式购买物品的单价为 C. 第一种方式购买物品所用单价更低 D. 第二种方式购买物品所用单价更低 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于集合，，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的为（ ） A. 若函数，则 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 二次函数的零点为和 D. “”是“”的必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数__________． 13. 若且，则的取值范围为__________. 14. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知命题为真命题，其中． （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 17. 在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． （1）求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： （2）若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： （3）若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 19. 定义集合，，，的长度均为，其中． （1）求不等式解集的长度； （2）求集合的长度的最小值； （3）若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高一年级上学期第一学程考试数学科试题 命题人：高一年级数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集和并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，，则，故. 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数要有意义，则需满足要有意义，则，二次根式的被开方数大于或等于0，解不等式即可. 【详解】， ，且， ，且， 函数的定义域为. 故选：C. 3. 下列四组函数中，其中表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义的三要素即可判断. 【详解】对于A，的值域为R，的值域为，故A错误； 对于B，，解析式，定义域，值域都相同，故B正确； 对于C，，的解析式不相同，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为，故D错误； 故选：B 4. 下列函数中，最小值是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可. 【详解】A：当取负数，显然函数值小于，不符合； B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合； C：当时，，不符合； D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合； 故选：B. 5. 若不等式的解集是或，则，，的值可能为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为不等式的解集是或，所以有， A：当时，符合，此时，故本选项不符合题意； B：当时，不符合，故本选项不符合题意； C：当时，不符合，故本选项不符合题意； D：当时，符合，此时，故本选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力. 6. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解. 【详解】实数，则， 当且仅当时等号成立， 由恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（ ） A. 第一种方式购买物品的单价为 B. 第二种方式购买物品的单价为 C. 第一种方式购买物品所用单价更低 D. 第二种方式购买物品所用单价更低 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得第一种策略平均价格为，第二种策略平均价格为，利用作差法比较大小即可求解. 【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为， 则平均价格为，故A不正确； 第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为， 第一次能购得该物品的数量为，第二次能购得该物品的数量为， 则平均价格为，B错误； 因为， 所以，C错误，D正确. 故选：D. 8. 在数学上称函数为高斯函数，其中表示不大于的最大整数，如.那么使不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求出的范围，再由高斯函数得到的取值范围，转化为求其非空真子集即可得解. 【详解】因为，则，则， 又表示不大于的最大整数，因此不等式的解集为. 依题意可知，只需求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可. 【详解】若，则，故选项A错误； 因为若，所以，若，则，故选项B错误； 因为，所以，所以，故选项C正确； 若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确； 故选：CD. 10. 对于集合，，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据集合新定义进行判断即可. 【详解】根据差集的定义知表示中独有元素，表示中独有元素， 则，故A，B正确，C，D不正确． 故选：AB. 11. 下列说法中正确的为（ ） A. 若函数，则 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 二次函数的零点为和 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，将代入中化简即可判断；对于B，分和不为两种情况讨论即可求解；对于C，结合零点的定义即可判断；对于D，利用必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A，若函数，则，故A正确； 对于B，当时，恒成立，故满足条件， 当不为时，要使不等式的解集为，则，解得：, 综上，的取值范围为，故B不正确； 对于C，令，解得：或,所以二次函数的零点为和,故C不正确； 对于D，若，则或，所以“”是“”的必要不充分条件,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数__________． 【答案】6 【解析】 【详解】因为集合，且，所以，解得： 13. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 14. 已知a，b均为正数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值． 【详解】因为，，， 所以， 又，则 ＝， 其中等号成立的条件：当且仅当， 解得，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得集合利用并集的意义求解即可； （2）由直接得到的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，得，解得，所以， 当时，， 所以 【小问2详解】 显然恒成立， 则，若，需或， 解得或. 综上，的取值范围是. 16. 已知命题为真命题，其中． （1）求实数的取值集合； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全称量词命题的真假以及一元二次方程实根的情况得出不等式，解出即可； （2）根据集合的并集运算结果转化为集合包含关系，再利用分类讨论分析求解即可. 【小问1详解】 因为，命题为真命题， 等价于一元二次方程无实根， 所以，解得， 故实数的取值集合为：. 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值集合为． 17. 在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． （1）求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： （2）若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： （3）若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度，代入数据整理即可得出关于的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）由题意得出二次不等式，解出分析即可； （3）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数的关系分析求解即可. 【小问1详解】 排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度：， 排球回到击出点高度时，，即，解得（舍去）或， 所以所需时间为. 【小问2详解】 球在距地面以上，即， 整理得，解得：， 所以停留时间为． 【小问3详解】 由得：，即， 设关于的方程的两根为， 对应方程的判别式为，即， 距地面以上停留时间：， 则，解得：，所以的最大值为. 18. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）4 （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【小问1详解】 由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ，， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． 【小问3详解】 由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 19. 定义集合，，，的长度均为，其中． （1）求不等式解集的长度； （2）求集合的长度的最小值； （3）若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 【答案】（1）4． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先不等式转化为关于的一元二次不等式，再解绝对值不等式，结合集合长度的定义，即可求解； （2）根据集合长度定义转化为，变形后利用基本等式，即可求最小值； （3）首先不等式转化为，再利用韦达定理，表示的关系，结合集合长度的定义，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，即， 则不等式解集的长度为4． 【小问2详解】 集合P的长度， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 【小问3详解】 由，得， 由题知关于x的方程的两根为和，则，， 则， 由，得，即， 因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 所以不等式Ω解集的长度l的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $