精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期第一次月考高一年级 数学试卷 出题人 ：张宏欣 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意非空集合的真子集 B. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C. 已知，，则与是两个不同的集合 D. 已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 13. 已知集合，，则等于______． 14. 已知，是正数，，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合或，集合． （1）若求和； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围． 17. 已知． （1）证明． （2）若，求的最小值． 18. （1）已知关于的不等式．若不等式的解集为，求、的值； （2）解不等式 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期第一次月考高一年级 数学试卷 出题人 ：张宏欣 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 4. 若要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得且，解不等式即可求解. 【详解】要使有意义，则有且，解得或，所以的取值范围是或． 故选C． 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 6. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可判断ABC的正误，举反例可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，则，故选项A正确； 对于B：若，，则，所以，故选项B正确； 对于C：将两边同时乘以可得：， 将两边同时乘以可得，所以，故选项C正确； 对于D：取，，，，满足，，但，，不满足，故选项D不正确；所以选项D是假命题， 故选：D 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8. 已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】 ，选C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空集是任意非空集合的真子集 B. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 C. 已知，，则与是两个不同的集合 D. 已知命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则中有不属于的元素 【答案】ABD 【解析】 【分析】由真子集的概念可判断A选项；由充分条件、必要条件的判断方法可判断B选项；由集合相等概念可判断C选项；结合该命题否定的真假可判断D选项. 【详解】对于A：由真子集的概念可知，空集是任意非空集合的真子集，故A正确； 对于B：正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形， “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件，故B正确； 对于C：因为，， 所以集合与集合的元素相同，即，故C错误； 对于D：命题“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题， 则命题的否定“存在非空集合中的元素，不是集合中的元素”是真命题， 所以中有不属于的元素，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 11. 已知，，，则下列结论成立的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由“1”的代换结合基本不等式求解；对B，由利用基本不等式求解；对C，由，利用基本不等式求解判断；对D，作差，判断得解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时，取等号，故B正确； 对于C，由， 可知，且，， ， 不等式取等号的条件是，即， 与题设矛盾，故的最小值大于2，故C错误； 对于D，， 故，最小值大于1，故D错误. 故选：AB. 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知,，则,的大小关系是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法直接比较大小. 【详解】解：因为, 所以 所以. 故答案为：. 13. 已知集合，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】列出方程组，解出即可得到交集. 【详解】由题意可得：，解得：， ∴， 故答案为：. 14. 已知，是正数，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将题中已知条件转化，可得，利用基本不等式可求得，之后应用不等式的性质求得结果. 【详解】由可得，即， 所以， 由， 得，当且仅当时取等号， 所以有，，， 所以， 所以的最小值为，当且仅当时取等号， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合或，集合． （1）若求和； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时，，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解； （2）由题意可得再讨论和时列不等式组，解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，集合或，， 可得， 因为， 所以； （2）因为，所以， 当时，，可得， 当时或，可得， 综上所述：或． 所以实数a的取值范围为. 16. 已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4]. 【解析】 【分析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件． （2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出． 【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}． 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A， 所以，或， 所以，，或， 所以a≥3． 所以，实数a的取值范围是[3，+∞）． （2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}． 由x2-mx+4≥0，得， 则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立． 实数m的取值范围（-∞，4]． 【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17. 已知． （1）证明． （2）若，求的最小值． 【答案】（1） 因为，所以， 所以， 所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质，利用作差法证明； （2）利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则，又， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是． 18. （1）已知关于的不等式．若不等式的解集为，求、的值； （2）解不等式 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式解集为: 当时，原不等式解集为: 当时，原不等式解集为：或； 当时，原不等式解集为； 当时，解得或. 【解析】 【分析】（1）利用根与系数关系列方程组来求得. （2）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）不等式可化为， 当时，不等式等价于，解得： 当时，令，解得：，， 所以不等式的解为： 当时，所以原不等式化为， 当时，即时，原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，原不等式解集为: 当时，原不等式解集为: 当时，原不等式解集为：或； 当时，原不等式解集为； 当时，解得或. 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $