函数与导数：利用导数研究函数切线问题、含参函数单调性问题、含参函数最值问题讲义-2027届高三数学一轮复习讲义

2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：利用导数研究函数切线问题、含参函数单调性问题、含参函数最值问题讲义 考点目录 利用导数研究函数切线问题 利用导数研究含参函数单调性问题 利用导数研究含参函数最值问题 考点一 利用导数研究函数切线问题 【知识点解析】 一、核心原理 函数 在 处的导数 ，几何意义是曲线 在点 处切线的斜率。 切线方程的点斜式： 二、三大经典题型 1. “在点”型切线（切点已知型） · 特征：明确切点 在曲线上，求该点处的切线方程。 · 解法： ① 求导 ，代入 得切线斜率 ； ② 直接代入点斜式，整理为一般式即可。 · 特点：切线唯一，是最基础的切线题型。 2. “过点”型切线（切点未知型） · 特征：过曲线外（或曲线上）某定点 作曲线的切线，切点未知。 · 核心方法：设切点法 ① 设切点为 ，则切线斜率 ； ② 切线过点 ，因此斜率也满足 ； ③ 列方程 ，解出切点横坐标 ； ④ 代入得切线方程，可能有1条、2条或多条切线。 3. 公切线问题 · 特征：直线同时与两条曲线都相切，求切线方程或参数。 · 解法： ① 分别设两条曲线上的切点为 、； ② 斜率相等：； ③ 截距相等：分别写出两条切线方程，整理为斜截式，令截距相等； ④ 联立方程组，求解切点坐标与斜率。 补充：法线方程 过切点且与切线垂直的直线叫做法线，法线斜率为切线斜率的负倒数（）： 三、解题步骤 1. 辨类型：判断是“在点”还是“过点”，确定是否需要设切点； 1. 求斜率：求导，代入切点横坐标得切线斜率； 1. 写方程：用点斜式写出切线方程，整理为一般式； 1. 多解验证：过点型问题解出多个切点时，逐一验证合理性。 四、高频易错点 · 混淆“在某点”与“过某点”：默认点在曲线上，导致漏解或错解； · 点斜式写错：误将纵坐标写为导数值，正确应为函数值 ； · 公切线问题误认为两个切点横坐标相同，导致方程列错； · 导数为0时，法线斜率不存在，法线为垂直于x轴的直线，不能套用负倒数公式。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）曲线在点处的切线的倾斜角等于（   ） A．45° B．60° C．135° D．120° 例2．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 例4．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例5．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 例6．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）曲线过点的切线方程为（     ） A． B． C． D． 例7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）已知曲线上的一点，则曲线在点处的切线方程为______. 变式3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 变式4．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 变式5．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）函数与曲线相切，则______． 变式6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 变式7．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）直线：是曲线和曲线的公切线，则_________. 变式8．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 考点二 利用导数研究含参函数单调性问题 【知识点解析】 一、核心原理 在区间 内： · 恒成立 在 上单调递增； · 恒成立 在 上单调递减。 含参单调性的本质：参数的取值会改变导数零点的位置、存在性，进而改变导数的符号分布，最终影响函数的单调区间。 二、核心题型1：讨论含参函数的单调区间 分类讨论逻辑（从高到低） 1. 最高次项系数：系数为0时退化为低次函数，单独讨论； 1. 判别式 ：二次型导数， 时导数恒正/恒负，函数全程单调； 时有两个零点，分区间讨论符号； 1. 两根大小比较：导数有两个零点时，比较两个零点的大小，确定区间顺序； 1. 根与定义域比较：零点不在定义域内时，舍去，仅讨论定义域内的符号。 标准解题步骤 1. 求定义域：所有分析必须在定义域内进行； 1. 求导整理：求导，通分、因式分解，整理为便于判断符号的形式（分式看分子，分母恒正/恒负）； 1. 找临界点：令导数为0，求出所有零点； 1. 分类讨论：按上述分类层次，逐一讨论导数在各区间的符号； 1. 写结论：对应写出单调递增、递减区间。 三、核心题型2：已知单调性求参数范围 · 核心转化： · 在区间 上单调递增 在 上恒成立，且 不恒为0； · 在区间 上单调递减 在 上恒成立，且 不恒为0。 · 常用解法： 12. 分离参数法：将参数分离到不等式一侧，转化为求函数的最值，参数 最大值（或 最小值）； 12. 分类讨论法：直接讨论参数不同取值下导数的符号，满足恒成立条件。 四、高频易错点 · 忽略定义域，单调区间超出定义域范围； · 已知单调性时，导数漏写等号，单调递增对应 而非严格大于0； · 分类讨论层次混乱，遗漏系数为0、判别式 等边界情况； · 分式导数只分析分子符号，忽略分母的正负影响。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 例2．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 例3．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式2．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 变式3．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，证明：当时，． 考点三 利用导数研究含参函数最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 闭区间上的连续函数，最大值和最小值一定在极值点或区间端点处取得。 含参最值的核心：极值点（导数零点）含参数，或区间含参数，二者的相对位置变化会导致最值点发生改变，需分类讨论。 二、两大经典题型 1. 定区间，动极值点 · 特征：区间固定，函数含参数，极值点随参数移动。 · 分类标准：按极值点与区间的位置关系分三类： ① 极值点在区间左侧：区间上单调，最值在端点； ② 极值点在区间内：极值为一个最值，另一个最值在远端端点； ③ 极值点在区间右侧：区间上单调，最值在端点。 2. 动区间，定极值点 · 特征：函数固定，区间含参数（如区间 ），区间平移。 · 分类标准：按区间与极值点的位置关系分三类，逻辑同上。 三、标准解题步骤 1. 求导，找极值点，确定极值点的位置； 1. 比较极值点与区间端点的位置，分类讨论； 1. 分别计算每类情况下的最大值、最小值； 1. 综合所有情况，给出完整的最值结论。 三、拓展：恒成立求参数 · 核心结论： · 在区间上恒成立 ； · 在区间上恒成立 。 · 解法：先求含参函数在区间上的最值，再列不等式求解参数范围。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 例4．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）若函数的最大值是2，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式2．（26-27高三上·河南·开学考试）若函数的最大值为，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 变式4．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 函数与导数：利用导数研究函数切线问题、含参函数单调性问题、含参函数最值问题讲义 考点目录 利用导数研究函数切线问题 利用导数研究含参函数单调性问题 利用导数研究含参函数最值问题 考点一 利用导数研究函数切线问题 【知识点解析】 一、核心原理 函数 在 处的导数 ，几何意义是曲线 在点 处切线的斜率。 切线方程的点斜式： 二、三大经典题型 1. “在点”型切线（切点已知型） · 特征：明确切点 在曲线上，求该点处的切线方程。 · 解法： ① 求导 ，代入 得切线斜率 ； ② 直接代入点斜式，整理为一般式即可。 · 特点：切线唯一，是最基础的切线题型。 2. “过点”型切线（切点未知型） · 特征：过曲线外（或曲线上）某定点 作曲线的切线，切点未知。 · 核心方法：设切点法 ① 设切点为 ，则切线斜率 ； ② 切线过点 ，因此斜率也满足 ； ③ 列方程 ，解出切点横坐标 ； ④ 代入得切线方程，可能有1条、2条或多条切线。 3. 公切线问题 · 特征：直线同时与两条曲线都相切，求切线方程或参数。 · 解法： ① 分别设两条曲线上的切点为 、； ② 斜率相等：； ③ 截距相等：分别写出两条切线方程，整理为斜截式，令截距相等； ④ 联立方程组，求解切点坐标与斜率。 补充：法线方程 过切点且与切线垂直的直线叫做法线，法线斜率为切线斜率的负倒数（）： 三、解题步骤 1. 辨类型：判断是“在点”还是“过点”，确定是否需要设切点； 1. 求斜率：求导，代入切点横坐标得切线斜率； 1. 写方程：用点斜式写出切线方程，整理为一般式； 1. 多解验证：过点型问题解出多个切点时，逐一验证合理性。 四、高频易错点 · 混淆“在某点”与“过某点”：默认点在曲线上，导致漏解或错解； · 点斜式写错：误将纵坐标写为导数值，正确应为函数值 ； · 公切线问题误认为两个切点横坐标相同，导致方程列错； · 导数为0时，法线斜率不存在，法线为垂直于x轴的直线，不能套用负倒数公式。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）曲线在点处的切线的倾斜角等于（   ） A．45° B．60° C．135° D．120° 【答案】C 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处的切线斜率，，而， 所以倾斜角. 例2．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即曲线在点处的切线方程为. 例3．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别设出切点，结合导数的几何意义列出方程组，求出答案 【详解】因为直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 所以这两个切点都在直线上.设两个切点分别为，， 且，，则，即. 由切点在各自曲线上，得，将代入①得 ③，③-②得，解得. 由得，，由①得，解得. 例4．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率 所以切线方程为，即. 例5．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数零点与方程解的对应关系，重点是过点的切线方程的构造，将切线条数问题转化为函数图像交点个数问题. 【详解】解：设切点坐标为对函数进行求导得， 因此在切点处的斜率为，切线方程为 因为切线过点，所以 令则与有两个交点. 令单调递减，令单调递增， 当时，有极大值，即最大值， 当时， 当时， 要使有两个不同的实数根，则所以选C. 例6．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）曲线过点的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：设切点为（），结合导数的几何意义求切线方程，代入，解方程求即可；方法二：设切点为（），结合导数的几何意义可得切线斜率大于，排除BCD. 【详解】方法一： 函数的定义域为，导函数， 设切点为（），则切线斜率为， 由点斜式整理得切线方程为 . 将切线过的点代入方程，化简得， 由于函数在上单调递增，且时，， 所以， 所以切线方程为. 方法二：函数的定义域为，导函数， 设切点为（），则切线斜率为， 由于，所以切线斜率，选项BCD错误. 例7．（26-27高三上·重庆·阶段检测）若直线与曲线相切，则实数a的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由得， 令，得，所以切点坐标为， 代入曲线得，所以. 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）曲线在点 处的切线倾斜角的大小为_____. 【答案】/ 【详解】因，则， 设切线的倾斜角为，则，由可得. 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）已知曲线上的一点，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】由不存在，误认为曲线在点P处的切线方程不存在.事实上，导数不存在不代表曲线在该点处的切线不存在. 【详解】，根据切线的定义，当时，割线的倾斜角无限趋近于， 故切线的斜率不存在，故曲线在点处的切线为轴，即切线方程为. 变式3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数在处的切线方程为，则的值为__________． 【答案】6 【详解】由，得， 而，则， 因为函数在处的切线方程为， 所以，且，则，所以. 变式4．（26-27高三上·河北承德·阶段检测）已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则____________． 【答案】1 【分析】设出切点，根据导数的几何意义得到方程，求出切点横坐标，进而由斜率公式得到方程，求出答案 【详解】设切点为，， 则过点且与曲线相切的直线的斜率为，所以，解得， 故切点为，由斜率公式可得，解得. 变式5．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）函数与曲线相切，则______． 【答案】 【分析】设切点坐标为，求得，根据题意，得到，得到切点坐标，代入曲线方程，即可求解. 【详解】设切点坐标为，由函数，可得，所以 因为函数与曲线相切，可得，则， 可得，所以切点坐标为， 将点代入曲线，可得，解得. 变式6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 【答案】 【详解】可知直线的斜率为， 因为，则， 令，解得，此时， 所以点到直线的距离最短，最短距离为． 变式7．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）直线：是曲线和曲线的公切线，则_________. 【答案】 【分析】设切点分别为和，利用导数的几何意义，切线方程，求得的坐标，得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点， 由函数，可得，所以，可得，则，即点， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 因为，则，则，可得， ，即点， 将点的坐标代入直线的方程可得，所以， 联立方程组， 解得，. 变式8．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为： ， 将原点代入切线方程，得： 整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得： ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 考点二 利用导数研究含参函数单调性问题 【知识点解析】 一、核心原理 在区间 内： · 恒成立 在 上单调递增； · 恒成立 在 上单调递减。 含参单调性的本质：参数的取值会改变导数零点的位置、存在性，进而改变导数的符号分布，最终影响函数的单调区间。 二、核心题型1：讨论含参函数的单调区间 分类讨论逻辑（从高到低） 1. 最高次项系数：系数为0时退化为低次函数，单独讨论； 1. 判别式 ：二次型导数， 时导数恒正/恒负，函数全程单调； 时有两个零点，分区间讨论符号； 1. 两根大小比较：导数有两个零点时，比较两个零点的大小，确定区间顺序； 1. 根与定义域比较：零点不在定义域内时，舍去，仅讨论定义域内的符号。 标准解题步骤 1. 求定义域：所有分析必须在定义域内进行； 1. 求导整理：求导，通分、因式分解，整理为便于判断符号的形式（分式看分子，分母恒正/恒负）； 1. 找临界点：令导数为0，求出所有零点； 1. 分类讨论：按上述分类层次，逐一讨论导数在各区间的符号； 1. 写结论：对应写出单调递增、递减区间。 三、核心题型2：已知单调性求参数范围 · 核心转化： · 在区间 上单调递增 在 上恒成立，且 不恒为0； · 在区间 上单调递减 在 上恒成立，且 不恒为0。 · 常用解法： 12. 分离参数法：将参数分离到不等式一侧，转化为求函数的最值，参数 最大值（或 最小值）； 12. 分类讨论法：直接讨论参数不同取值下导数的符号，满足恒成立条件。 四、高频易错点 · 忽略定义域，单调区间超出定义域范围； · 已知单调性时，导数漏写等号，单调递增对应 而非严格大于0； · 分类讨论层次混乱，遗漏系数为0、判别式 等边界情况； · 分式导数只分析分子符号，忽略分母的正负影响。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数，其中. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：；当时，单调递减区间为：，单调递增区间为： 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，分析导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，则， 所以函数在点处的切线方程为：，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，因为，所以，令，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为：，单调递增区间为：. 综上，当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：； 当时，单调递减区间为：，单调递增区间为：. 例2．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知函数． (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可判断函数的单调性，进而求得最值； （2）求导，对a分类讨论，结合导数的正负，即可判断函数单调性. 【详解】（1）因为，则，， 求导得，即在内单调递减 所以，， 即函数在时的最大值为，最小值为. （2）因为，且定义域为， 求导得， 当时，， 则，即在上单调递减 当时，令，即， 因为，所以，，解得， 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减 当时，在上单调递减，在上单调递增. 例3．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，再分类讨论，根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （3）当时，不等式恒成立，只需即可，结合（2）求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 令，则，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当时，， 令，则或， 当且，即时，， 所以函数的增区间为，无减区间； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； （3）当时，不等式恒成立， 只需即可， 由（2）得，当时，函数在上单调递减， 而，与题意矛盾，故； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 变式2．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得到，讨论导数的符号：当，在定义域内恒正，直接判断单调性；当，解得到极值点，再分区间判断导数符号，确定单调区间； （2）结合（1）的单调性，对参数继续分类讨论，分析在区间上的最大值，令最大值等于，解方程求出. 【详解】（1）函数的定义域为，对其求导得： . 若，则对任意，，即恒成立，因此在上单调递增； 若，令，得，令，解得，单调递增； 令，解得，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知： 当时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递减，最大值为，令，得，符合条件； 当即时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 令，得，与矛盾，舍去. 综上，. 变式3．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，证明：当时，． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； (2) 因为在处取得极值，所以， 所以， 令， 则， 因为，所以，函数单调递增， 所以，所以， 【分析】（1）求导，对与的大小进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）利用极值点求出的值，令，求导进行证明； 【详解】（1）， 令，因为恒成立，所以或， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）略 考点三 利用导数研究含参函数最值问题 【知识点解析】 一、核心原理 闭区间上的连续函数，最大值和最小值一定在极值点或区间端点处取得。 含参最值的核心：极值点（导数零点）含参数，或区间含参数，二者的相对位置变化会导致最值点发生改变，需分类讨论。 二、两大经典题型 1. 定区间，动极值点 · 特征：区间固定，函数含参数，极值点随参数移动。 · 分类标准：按极值点与区间的位置关系分三类： ① 极值点在区间左侧：区间上单调，最值在端点； ② 极值点在区间内：极值为一个最值，另一个最值在远端端点； ③ 极值点在区间右侧：区间上单调，最值在端点。 2. 动区间，定极值点 · 特征：函数固定，区间含参数（如区间 ），区间平移。 · 分类标准：按区间与极值点的位置关系分三类，逻辑同上。 三、标准解题步骤 1. 求导，找极值点，确定极值点的位置； 1. 比较极值点与区间端点的位置，分类讨论； 1. 分别计算每类情况下的最大值、最小值； 1. 综合所有情况，给出完整的最值结论。 三、拓展：恒成立求参数 · 核心结论： · 在区间上恒成立 ； · 在区间上恒成立 。 · 解法：先求含参函数在区间上的最值，再列不等式求解参数范围。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以. 由题意知且，所以， 又因为函数的最大值为，则. 例2．（26-27高三上·江苏徐州·阶段检测）已知函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再根据得到单调区间，从而求出，进而即可求出的值． 【详解】由，则， 令，得， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减， 所以，解得． 例3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 例4．（25-26高三上·湖南长沙·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 【变式训练】 变式1．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）若函数的最大值是2，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】令，求解得到极值点，分析导函数在极值点两侧的符号，判断该极值点是极大值点即最大值点，将最大值点代入原函数，令函数值等于2，建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】由已知， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减 . 函数在处取得唯一的极大值，也就是最大值， 代入函数得： ，题目已知最大值为2， 因此： ，解得. 变式2．（26-27高三上·河南·开学考试）若函数的最大值为，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数求出函数的最大值，进而列式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 函数在处取得最大值，所以. 变式3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减 (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）先对函数求导，再讨论、及即可； （2）结合函数单调性，讨论及即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，解得或， 当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； 当时，解得或， 解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，解得或， 解得 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 当时，， 函数在区间上的最大值为； 当时， 函数在区间上的最大值为； 综上所述，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 变式4．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． (2)当时，最大值为；当时，最大值为2 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $