函数与导数：第9讲 切线问题全解 讲义-2027届高三数学一轮复习

切线问题全解 函数与导数 · 专题篇 一、在点处的切线：切点已知 切线问题是导数大题里出场率最高的一问。它看起来只是一条公式，但真正决定能不能拿分的，是切点的位置知不知道。 先看切点已知的情形。题目说「函数在点 处的切线」，这里的 就在曲线上，它的横坐标就是切点的横坐标。做法只有三步：求导得到导函数；把切点的横坐标代进导函数，得到切线斜率；把切点的横坐标代进原函数，得到切点的纵坐标；最后用点斜式写出直线方程。三步之间没有分支，照着做即可。 关键是要把两个条件都用上。切点在曲线上，意味着它的坐标满足函数的解析式；曲线在切点处的切线，意味着这条直线的斜率等于函数在该点的导数值。两个条件各管一半：一个管「点在哪里」，一个管「线往哪儿斜」。只用其中一个，解出来的参数往往能让题目里的某个条件成立，却让另一个条件落空 —— 这就是所谓的伪解。 切点已知的题还有一种反向问法：题目把切线方程给你，让你反过来求函数解析式里的参数。做法一样，只是把「已知点求线」换成「已知线求点」：由切线方程读出斜率，令它等于导数值；再由切点在切线上，把切点坐标代入切线方程。同样是两个条件，同样是缺一不可。 还有一点容易忽略：题目给的是「在点 处」，那么这个点一定在曲线上。若题目给的是「过点 」，这个点就未必在曲线上 —— 一字之差，做法完全不同，这一点下一节专门讲。 写切线方程时，最后一定要化成一般式或者斜截式，并把答案里的分数、对数都化简到底。阅卷时切线方程写对了但没化简，一样要扣分。 例1（填空·★★★☆☆） 函数 的图象在 处的切线方程是______． 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数 在 处的切线方程为 ，则 的最小值为______． 变式1-2（填空·★★★★☆） 若函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 ，其中 ，，则 = ______． 例2（解答·★★★★★） 已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程． 变式2-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 ，求函数 在 处的切线方程． 变式2-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，求曲线 在点 处的切线方程． 二、过点作切线：切点未知 上一节的切点在曲线上，题目一说「在点 处」，横坐标就直接拿到了。这一节要处理的是另一种说法：「过点 作曲线的切线」。这里的点 未必在曲线上，所以它的横坐标不是切点横坐标。 做法上只多一步：设切点。记切点的横坐标为 ，那么切点就是曲线上的一个未知点。接着照旧写出切线：斜率是导数在 处的值，切点坐标是函数在 处的值，由点斜式得到一条含 的直线方程。最后把题目给的那个点代进去 —— 这一步是全部的关键，因为它同时用上了「点在直线上」这个条件，把 的取值限制在一批特定的解上。 代完之后得到一个关于 的方程。这个方程有几个解，对应的就是有几条切线；题目若说「有两条切线」，那就是方程恰有两个解。所以这一类题的落脚点，永远是一个方程的根的个数问题。把几何上的「画几条线」翻译成代数上的「方程几个根」，是这一节最要紧的一句话。 含参数的题目里，这个方程里还带着参数。数解的个数就要用到函数的值域或者极值：把方程整理成「参数等于某个关于 的函数」，再画这个函数的图象，看一条水平线能与它交几次。水平线与图象交点的个数，就是切线的条数。 有一个细节必须交代：切点的横坐标要落在函数的定义域里。函数里有对数，定义域就是正半轴，解出来的负根要全部剔除。漏掉这一步，条数往往多数一条。 还有一处容易掉的：若函数在某点的导数值不存在，那里就不可能有切线。做题时先把定义域和导数存在的地方写清楚，再谈切点，可以避免后面白算。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若过点 可作曲线 的两条切线，求 的取值范围． 变式3-1（解答·★★★★☆） 设函数 ，且 在 处的切线为 ，求实数 ， 的值． 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 ，在 处的切线过点 ，求 ． 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数 的图象恒过定点 ，且函数 的图象在 处的切线也经过点 ，则 = ______． 变式4-2（单选·★★★☆☆） 过点 作曲线 切线有且只有两条，则 的取值范围为（　） A. B. C. D. 三、过点作切线的条数 上一节的最后一步是「得到一个关于切点横坐标的方程」。这一节把这一步单独拿出来讲：题目直接问「能作几条切线」，问的就是这个方程有几个根。 所以整类题有一条固定的路线：设切点横坐标为 ，写出含 的切线方程，把已知点代进去，整理成「参数等于关于 的某个函数」的形式。接下来要看的是：一条水平线与这个函数的图象能交几次。交几次，就是几条切线。 判断交点的个数，靠的是函数图象的形状：先求导找出它的极值点和两端趋势，再把水平线的位置从下往上推一遍。凡是在极大值与极小值之间，交点个数是奇数；在极值之外，交点个数另有变化。把这些区段写清楚，条数问题就变成了读图。 有一条界线要特别注意：切点在曲线的定义域内。函数里带对数时定义域只有正半轴，解出来的负根必须剔除，否则数出来的条数会多。另外若导数在某处不存在的点也要排除，那里没有切线可言。 还有一处容易漏：水平线恰好落在极值处时，两端的交点会合并成一个，条数比两侧都少。这类临界情形要单独拿出来交代，落在极值上的那条线往往就是答案区间的端点。 把这套动作走顺之后就会发现，「有几条切线」与「方程有几个根」说的是同一件事 —— 几何上的直觉与代数上的计数，在这里是一枚硬币的两面。 例5（单选·★★★★☆） 已知函数 ．若过点 可以作曲线 三条切线，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是（　） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★★★☆） 过点 与曲线 相切的直线恰有 条，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 例6（单选·★★★★☆） 如果过点 作曲线 的切线恰有三条，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，若曲线 有三条过点 的切线，求 的取值范围． 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，过点 可以作函数 的两条切线，求 的取值范围． 四、公切线与相同切线 前面三节讲的都是同一条曲线上的切线。这一节换一种问法：一条直线同时是两条曲线的切线，这样的直线叫公切线。 处理公切线的第一步，是把「两个切点」都设出来。设第一条曲线上的切点横坐标为 ，第二条上的为 ，然后分别写出两条切线。公切线的意思是这两条直线是同一条，所以它们的斜率相等、截距也相等 —— 两个等式，两个未知数。 为什么必须设两个切点？因为两条曲线的切点一般不在同一处。不少同学把公切线误当成「两曲线的公共切线」，只设一个切点，结果等于默认两条曲线在该点相遇。实际上两条曲线可以有公共点却没有公切线，也可以没有公共点但有公切线 —— 这两件事是独立的。 有一种特殊情形叫「在公共点处有相同的切线」。这时切点确实重合了，条件变成两条：函数值相等、导数值相等。它比一般的公切线少一个未知数，处理起来简单一些，但同样不能只用一个条件，否则会解出并不相切的伪解。 公切线条数的问题也很常见。设完两个切点、写出两个等式之后，通常可以消去一个切点，得到关于另一个切点与参数的方程，于是又回到「方程有几个根」的老路上。这与上一节的条数问题本质上是一回事，只是多了一条曲线。 最后提醒一句：求公切线时，两条曲线的定义域都要顾到。对数曲线的切点横坐标必须为正，解出来的负根要一律舍去。这一点在含参数的题目里尤其容易出错。 例7（填空·★★★☆☆） 已知曲线 与 的公切线为 ，则 在 轴上的截距为______． 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 = （　） A. B. 1 C. e D. 变式7-2（填空·★★★★☆） 若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是______． 例8（单选·★★★☆☆） 已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 = （　） A. B. C. D. 变式8-1（填空·★★★☆☆） 已知函数 ，，若曲线 与曲线 在公共点处的切线相同，则 的值为______． 变式8-2（单选·★★★★☆） 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则 = （ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 切线问题全解 函数与导数 · 专题篇 一、在点处的切线：切点已知 切线问题是导数大题里出场率最高的一问。它看起来只是一条公式，但真正决定能不能拿分的，是切点的位置知不知道。 先看切点已知的情形。题目说「函数在点 处的切线」，这里的 就在曲线上，它的横坐标就是切点的横坐标。做法只有三步：求导得到导函数；把切点的横坐标代进导函数，得到切线斜率；把切点的横坐标代进原函数，得到切点的纵坐标；最后用点斜式写出直线方程。三步之间没有分支，照着做即可。 关键是要把两个条件都用上。切点在曲线上，意味着它的坐标满足函数的解析式；曲线在切点处的切线，意味着这条直线的斜率等于函数在该点的导数值。两个条件各管一半：一个管「点在哪里」，一个管「线往哪儿斜」。只用其中一个，解出来的参数往往能让题目里的某个条件成立，却让另一个条件落空 —— 这就是所谓的伪解。 切点已知的题还有一种反向问法：题目把切线方程给你，让你反过来求函数解析式里的参数。做法一样，只是把「已知点求线」换成「已知线求点」：由切线方程读出斜率，令它等于导数值；再由切点在切线上，把切点坐标代入切线方程。同样是两个条件，同样是缺一不可。 还有一点容易忽略：题目给的是「在点 处」，那么这个点一定在曲线上。若题目给的是「过点 」，这个点就未必在曲线上 —— 一字之差，做法完全不同，这一点下一节专门讲。 写切线方程时，最后一定要化成一般式或者斜截式，并把答案里的分数、对数都化简到底。阅卷时切线方程写对了但没化简，一样要扣分。 例1（填空·★★★☆☆） 函数 的图象在 处的切线方程是______． 【切入点】题面已经写明「在 处的切线」，切点的横坐标是已知的，所以按标准三步走：求导、代点得斜率、代点得纵坐标。 【关键】先求导：。把 代进去，得切线斜率 。 【关键】再求切点的纵坐标：。于是切点为 ，由点斜式得 ，化简为 。 【易错】 等于零，不是等于 ，这一步抄错会让整条直线平移。另外答案要化成斜截式或者一般式，停在点斜式不算完。 【答案】 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知函数 在 处的切线方程为 ，则 的最小值为______． 【切入点】这是「已知切线方程，反求函数里的参数」的类型。切点是 对应的点，两个条件都要用上。 【关键】由切线方程 读出斜率 。因为 ，所以 ，解得 。 【关键】切点在切线上，把 代入切线方程得 ，所以切点是 。它同时满足函数解析式：，代入 得 ，于是 。这个二次函数在 处取到最小值 。 【易错】两个条件用反了会解不出来：斜率条件解的是 ，点的条件解的是 ，先斜率后点，顺序不能乱。 【答案】 变式1-2（填空·★★★★☆） 若函数 ，且曲线 在点 处的切线方程为 ，其中 ，，则 = ______． 【切入点】切点横坐标已知为 ，函数里有两个参数。题目已经给出切线的斜率，先用斜率把 定下来。 【关键】求导：。代入 得 。 【关键】切线方程 的斜率是 ，所以 ，解得 。此时切点的纵坐标 。切点在切线上，代入得 ，所以 。 【易错】求导后要把两项指数因式合并， 是整块因子，可以提到括号外面 —— 这样做既省事，也不容易在合并同次项时出错。 【答案】 例2（解答·★★★★★） 已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程． 【切入点】切点横坐标是 ，仍然属于「切点已知」。这里函数是「多项式加指数乘多项式」的形状，求导要用乘积法则。 【关键】先算切点纵坐标：。所以切点是 。 【关键】再求导。前一项求导得 ；后一项按乘积法则：。所以 ，代入 得 。 【易错】斜率为零的切线是一条水平线，方程直接写成 ，不要再套点斜式写成 这种别扭的样子。另外求导时那个乘积的展开要仔细，指数项合并后恰好剩下 ，这个化简要做到位。 【答案】 变式2-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．若 ，求函数 在 处的切线方程． 【切入点】题面已给 ，函数成为一个具体的三项目。切点横坐标为 ，仍然按标准三步走。 【关键】把 代入得 ，于是 ，切点是 。 【关键】求导：。代入 得 。由点斜式得 ，化简为 。 【易错】求导时 用的是乘积法则，结果是 ； 求导后是 ，代入 得 ，与后面那个 无关 —— 这两项不要看混。 【答案】 变式2-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，求曲线 在点 处的切线方程． 【切入点】先代 把函数具体化，再求导。函数是「对数除以 」再减一个常数，求导要用商的法则。 【关键】当 时 ，所以 ，切点是 。 【关键】求导：把 单独用商的法则，得 ，常数 求导为零，所以 。代入 得 。切线为 ，即 。 【易错】商的法则里分子是「分母求导乘分子」减去「分子乘以分母求导」，两项的次序颠倒会差一个负号。算完再用 检验一遍：分子应为 。 【答案】 二、过点作切线：切点未知 上一节的切点在曲线上，题目一说「在点 处」，横坐标就直接拿到了。这一节要处理的是另一种说法：「过点 作曲线的切线」。这里的点 未必在曲线上，所以它的横坐标不是切点横坐标。 做法上只多一步：设切点。记切点的横坐标为 ，那么切点就是曲线上的一个未知点。接着照旧写出切线：斜率是导数在 处的值，切点坐标是函数在 处的值，由点斜式得到一条含 的直线方程。最后把题目给的那个点代进去 —— 这一步是全部的关键，因为它同时用上了「点在直线上」这个条件，把 的取值限制在一批特定的解上。 代完之后得到一个关于 的方程。这个方程有几个解，对应的就是有几条切线；题目若说「有两条切线」，那就是方程恰有两个解。所以这一类题的落脚点，永远是一个方程的根的个数问题。把几何上的「画几条线」翻译成代数上的「方程几个根」，是这一节最要紧的一句话。 含参数的题目里，这个方程里还带着参数。数解的个数就要用到函数的值域或者极值：把方程整理成「参数等于某个关于 的函数」，再画这个函数的图象，看一条水平线能与它交几次。水平线与图象交点的个数，就是切线的条数。 有一个细节必须交代：切点的横坐标要落在函数的定义域里。函数里有对数，定义域就是正半轴，解出来的负根要全部剔除。漏掉这一步，条数往往多数一条。 还有一处容易掉的：若函数在某点的导数值不存在，那里就不可能有切线。做题时先把定义域和导数存在的地方写清楚，再谈切点，可以避免后面白算。 例3（解答·★★★★☆） 已知函数 ．若过点 可作曲线 的两条切线，求 的取值范围． 【切入点】题面说的是「过点 可作两条切线」。点 在 轴上，未必落在曲线 上，所以切点要另设。 【关键】定义域是 ，。设切点横坐标为 ，则切点是 ，斜率是 ，切线为 。 【关键】把 代入：。展开后右边的 与左边的 不能直接抵掉，要先算清 ，移项得 。于是「两条切线」等价于这个方程在 上有两个不同的根。 【易错】记 ，它的定义域要挖掉 （那里分母为零）。，所以它在 上递减、在 上递增，在 处取到最小值 ；两端都趋于正无穷，所以 时恰有两个根。不挖掉那个间断点，图象的样子就会看错，结论也就跟着错。 【答案】 变式3-1（解答·★★★★☆） 设函数 ，且 在 处的切线为 ，求实数 ， 的值． 【切入点】已知条件是「在 处的切线为 」，切线方程完整给出，正好用两个条件反求两个参数。 【关键】先求导：。切线 的斜率是 ，所以 。 【关键】切线 与曲线的切点是 ，由切点在曲线上得 ，即 。代回前一式得 。 所以 ，。 【易错】 这条直线的斜率是零，不是一，把它当成斜率为 会直接解错。另外切点一定在切线上，所以纵坐标直接就等于 ，不必另设。 【答案】， 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 【切入点】题面把切线的倾斜角与导数连起来 —— 倾斜角的正切就是切线的斜率，也就是导数值。所以先求导数的取值范围。 【关键】。记 ，则 ，导数值成为 。因为 ，所以 ，即导数值落在 内。 【关键】倾斜角的范围是 。它的正切要在 内，对应的是钝角那一段，所以倾斜角落在 内。 【易错】导数值取到 是在 时，此时倾斜角正好是 ，端点要取。而导数值永远取不到零（因为 恒为正），所以 这一端取不到，区间是左闭右开。 故选 D。 【答案】D 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 ，在 处的切线过点 ，求 ． 【切入点】题面给的是「在 处的切线过点 」。这里切点横坐标是 ，属于切点已知；「过点」说的是切线经过另一个点，不要与「过点作切线」混起来。 【关键】定义域是 。，所以 ；又 。切线方程为 。 【关键】把点 代入：，整理得 。记 ，，所以 在 处取到最小值 ，方程只有 这一个解。 【易错】解出来的方程看着复杂，其实只要看出 时各项都化为零，再用导数说明这是唯一解就够了。另外定义域要求 ，这个前提要在开头交代。 【答案】 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知函数 的图象恒过定点 ，且函数 的图象在 处的切线也经过点 ，则 = ______． 【切入点】题面里有两条线索：一条是对数函数恒过的定点，另一条是另一条曲线在 处的切线经过这个定点。先把定点找出来。 【关键】函数 在真数等于 时取到固定的值，即 时 ，此时 。所以定点是 ，它与底数 无关。 【关键】另一个函数是 ，，所以 、。切线为 。把 代入：，解得 。 【易错】对数函数恒过定点靠的是「真数取 时对数为零」，不是靠底数。这里真数是 ，所以定点横坐标是 而不是 。 【答案】 变式4-2（单选·★★★☆☆） 过点 作曲线 切线有且只有两条，则 的取值范围为（　） A. B. C. D. 【切入点】「过点 作切线有且只有两条」——这正是切线条数问题。设切点，把已知点代进去。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入：，即 。于是「两条切线」等价于这个方程有两个不同的实根。 【关键】记 ，。所以 是极大值点，极大值为 ；当 趋于负无穷时函数值趋于零，当 趋于正无穷时函数值趋于负无穷。因此当且仅当 时方程有两个根。 【易错】 趋于负无穷时 趋于零而不是趋于负无穷 —— 指数衰减比一次增长快得多，这一端的趋势容易判反。两端趋势判反， 的范围就会写成另一边。 故选 A。 【答案】A 三、过点作切线的条数 上一节的最后一步是「得到一个关于切点横坐标的方程」。这一节把这一步单独拿出来讲：题目直接问「能作几条切线」，问的就是这个方程有几个根。 所以整类题有一条固定的路线：设切点横坐标为 ，写出含 的切线方程，把已知点代进去，整理成「参数等于关于 的某个函数」的形式。接下来要看的是：一条水平线与这个函数的图象能交几次。交几次，就是几条切线。 判断交点的个数，靠的是函数图象的形状：先求导找出它的极值点和两端趋势，再把水平线的位置从下往上推一遍。凡是在极大值与极小值之间，交点个数是奇数；在极值之外，交点个数另有变化。把这些区段写清楚，条数问题就变成了读图。 有一条界线要特别注意：切点在曲线的定义域内。函数里带对数时定义域只有正半轴，解出来的负根必须剔除，否则数出来的条数会多。另外若导数在某处不存在的点也要排除，那里没有切线可言。 还有一处容易漏：水平线恰好落在极值处时，两端的交点会合并成一个，条数比两侧都少。这类临界情形要单独拿出来交代，落在极值上的那条线往往就是答案区间的端点。 把这套动作走顺之后就会发现，「有几条切线」与「方程有几个根」说的是同一件事 —— 几何上的直觉与代数上的计数，在这里是一枚硬币的两面。 例5（单选·★★★★☆） 已知函数 ．若过点 可以作曲线 三条切线，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 【切入点】题目直接问「可以作三条切线」，就是问对应的方程有三个根。按标准路线：设切点、写切线、代已知点。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。 【关键】把 代入：，整理得 。记 ，。所以 是极小值点（函数值为零）， 是极大值点（函数值为 ）；两端函数值都趋于零。要恰有三个根， 必须落在零与 之间，且两端都取不到。 【易错】两端都取不到这一点要写清楚： 时方程只对应 附近的一个根， 时中间那一段的两个根合并成一个，两种情形都只有两个根，所以区间是开的。 故选 B。 【答案】B 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则实数 的取值范围是（　） A. B. C. D. 【切入点】「过点 作切线有且仅有两条」，同样是数根的个数。这里的点在 轴上，横坐标是参数。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入：。两边约去正数 ，得 ，即 。 【关键】这个方程去分母后是关于 的二次方程，它有两个不同实根的条件是判别式 ，即 或 。还要检查 是否会让分母为零：把 代入二次方程得 ，恒不为零，所以这两个根都合法。 【易错】去分母时要先说明 ，否则约分这一步在逻辑上不成立。本题恰好 不是根，所以不影响结论，但这个检验动作不能省 —— 换一道题它可能就是那一个要剔除的根。 故选 A。 【答案】A 变式5-2（单选·★★★★☆） 过点 与曲线 相切的直线恰有 条，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 【切入点】「相切的直线恰有 条」，仍然是数根的问题。函数里带指数除以幂的结构，求导后形式会简化。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入并整理得 。 【关键】记 ，，所以 是最小值点（函数值 ）， 是最大值点（函数值 ），两端都趋于零。于是 的取值范围是 。要恰有三条切线， 必须落在这个区间的内部，即 。 【易错】 趋于负无穷时 趋于正无穷，所以 在这一端趋于负无穷，左端点不是零而是 。把两端趋势判错，区间就会写反。 故选 A。 【答案】A 例6（单选·★★★★☆） 如果过点 作曲线 的切线恰有三条，则实数 的取值范围为（　） A. B. C. D. 【切入点】与上一题同型，只是函数换成了三次多项式。三次函数的导数是二次的，极值点好求，图象也好画。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入并整理：。 【关键】记 ，。所以 是极小值点（函数值 ）， 是极大值点（函数值 ）；当 趋于负无穷时函数值趋于正无穷，当 趋于正无穷时函数值趋于负无穷。于是恰有三个根的条件是 。 【易错】三次函数的图象在两端朝向相反，所以除了极值之间，还要检查极值外侧是否还有根。这里极小值 与极大值 已经把三个根的位置定死了，只要 落在两者之间即可，两个端点都取不到。 故选 A。 【答案】A 变式6-1（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，若曲线 有三条过点 的切线，求 的取值范围． 【切入点】题面给「三次曲线有三条过点 的切线」，求参数范围。这是条数问题在解答题里的标准形态。 【关键】当 时 ，。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入并整理：，即 。 【关键】记 ，。所以 是极大值点（函数值 ）， 是极小值点（函数值 ）；两端分别趋于负无穷与正无穷。恰有三个根的条件是 。 【易错】三次函数的图象从负无穷升到正无穷，中间经过一次极大与一次极小，所以水平线要落在极小值与极大值之间才有三个交点。两个端点对应两个根（相切的情形），都取不到。 【答案】 变式6-2（解答·★★★★★） 已知函数 ．当 时，过点 可以作函数 的两条切线，求 的取值范围． 【切入点】当 时函数变成 ，题面问「过点 可以作两条切线」，仍是数根。注意定义域是正半轴。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。把 代入：，两边乘 得 。 【关键】记 ，。所以 是极大值点，极大值为 ；当 趋于零时函数值趋于零，当 趋于正无穷时函数值趋于负无穷。于是恰有两个根的条件是 。 【易错】切点横坐标必须为正，解出的根若为负数要剔除。这里函数值在 上为正、在 上为负，水平线 要与它交两次， 只能取正且小于 。 【答案】 四、公切线与相同切线 前面三节讲的都是同一条曲线上的切线。这一节换一种问法：一条直线同时是两条曲线的切线，这样的直线叫公切线。 处理公切线的第一步，是把「两个切点」都设出来。设第一条曲线上的切点横坐标为 ，第二条上的为 ，然后分别写出两条切线。公切线的意思是这两条直线是同一条，所以它们的斜率相等、截距也相等 —— 两个等式，两个未知数。 为什么必须设两个切点？因为两条曲线的切点一般不在同一处。不少同学把公切线误当成「两曲线的公共切线」，只设一个切点，结果等于默认两条曲线在该点相遇。实际上两条曲线可以有公共点却没有公切线，也可以没有公共点但有公切线 —— 这两件事是独立的。 有一种特殊情形叫「在公共点处有相同的切线」。这时切点确实重合了，条件变成两条：函数值相等、导数值相等。它比一般的公切线少一个未知数，处理起来简单一些，但同样不能只用一个条件，否则会解出并不相切的伪解。 公切线条数的问题也很常见。设完两个切点、写出两个等式之后，通常可以消去一个切点，得到关于另一个切点与参数的方程，于是又回到「方程有几个根」的老路上。这与上一节的条数问题本质上是一回事，只是多了一条曲线。 最后提醒一句：求公切线时，两条曲线的定义域都要顾到。对数曲线的切点横坐标必须为正，解出来的负根要一律舍去。这一点在含参数的题目里尤其容易出错。 例7（填空·★★★☆☆） 已知曲线 与 的公切线为 ，则 在 轴上的截距为______． 【切入点】两条曲线的公切线，设两个切点。两条曲线的形式很像，斜率条件可以直接给出两个切点之间的关系。 【关键】设切点横坐标分别为 （在 上）与 （在 上）。两条曲线的导数分别是 与 ，由斜率相等得 ，即 。 【关键】第一条切线为 ；把 代入第二条切线，得 。两条直线相同，所以截距相等：，解得 。代回截距得 。 【易错】只设一个切点、把两条曲线的切点当成同一点，就会少一个未知数，也算不出正确结果。本题两条曲线都含对数，切点横坐标都必须为正，这一点要与算出的 核对。 【答案】 变式7-1（单选·★★★☆☆） 若直线 是曲线 与曲线 的公切线，则 = （　） A. B. 1 C. e D. 【切入点】直线 同时与两条曲线相切，其中斜率 也是待定的。逐条用切线条件把参数逼出来。 【关键】先看 ：设切点横坐标为 ，导数为 ，由斜率相等得 ，即 。切线为 。与 比较截距，得 ，即 。 【关键】再看 ：斜率条件给出 ，即 ，切点是 。切线为 ，它就是 ，所以 ，得 。 【易错】第一条曲线给出的是 ，第二条给出的是 ，两条线索各管一个参数，不要混着算。另外从 只能得到 ，不要把 的其他可能也列出来。 故选 B。 【答案】B 变式7-2（填空·★★★★☆） 若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是______． 【切入点】抛物线和对数曲线之间是否存在公切线。先设两个切点，由斜率条件把两个切点联系起来。 【关键】设切点横坐标分别为 （抛物线）与 （对数曲线），两条曲线导数分别是 与 ，斜率相等给出 ，即 。再由截距相等，得到 。 【关键】把 的表达式代入：。这条方程要有正数解 ，参数 才有取值。检验端点：当 时方程化为 ，把 代入，左右两边都等于 ，说明 恰好相切，可以取到。因此 的取值范围是 。 【易错】两个切点都要落在各自的定义域里：对数曲线的切点横坐标必须为正，所以由 知 必须为正 —— 题目已给正实数，这一步是校验而非新增条件。 【答案】 例8（单选·★★★☆☆） 已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 = （　） A. B. C. D. 【切入点】题面给的是「一条曲线在某处的切线，也是另一条曲线的切线」。前半段的切点是已知的，先把它求出来。 【关键】 的导数是 ，在 处导数为 、函数值为 ，所以这条切线的方程是 ，斜率为 。 【关键】它也是 的切线，设切点横坐标为 。该函数导数为 ，令它等于 得 。切点的纵坐标为 ，于是这条曲线的切线是 。两条直线同一条，比较截距得 。 【易错】第二段曲线的切点不能想当然也取在 处，必须由斜率条件解出来。本题恰好解出 ，但这是算出来的结果，不是可以预设的。 故选 D。 【答案】D 变式8-1（填空·★★★☆☆） 已知函数 ，，若曲线 与曲线 在公共点处的切线相同，则 的值为______． 【切入点】题面说两曲线「在公共点处的切线相同」，切点重合，所以条件比一般公切线少一个未知数。 【关键】设公共点横坐标为 。「切线相同」要两个条件同时成立：函数值相等、导数值相等。导数值相等给出 。 【关键】函数值相等给出 。把前一式解出的 代入，整理得 。观察可知 是解：左边为零，右边也为零。代回得 。 【易错】只用一个条件是不够的。若只要求导数相等，会有无穷多组解；必须配合「公共点」这个条件，才能把 定下来。另外对数曲线的横坐标必须为正，所以 合法。 【答案】 变式8-2（单选·★★★★☆） 若曲线在点处的切线也是曲线在点处的切线，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题面说「一条直线同时是两条曲线在某点处的切线」，而两处切点的横坐标都没有给出来。这正是上一题的一般化：上一题有一个切点是已知的，这一题两个都要设。 【关键】先写两条切线。曲线 在 处的切线斜率是 ，切线为 。曲线 在 处的切线斜率是 ，切线为 。 【关键】两条直线是同一条，所以斜率相等、截距也相等。由斜率相等得 ，即 ，于是 。把它代入截距相等：。右边化简为 ，于是 ，也就是 。 【关键】把要证的式子整理：。由 得 ，所以 ，代回即得 。故选 A。 【易错】两个切点都要设出来，只设一个就少了一个未知数，斜率与截距两个条件也用不完。另外由斜率关系解出的 是个恒正的量，这与对数曲线的定义域 自动吻合，不必再额外讨论。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $