精品解析：广西南宁市第三中学2026-2027学年高一上学期月考（一）数学试题

南宁三中2026～2027学年度上学期高一月考（一） 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用并集的定义可得正确的选项. 【详解】， 故选：D. 2. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 3. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【详解】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 6. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 7. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设销售单价为元，则提价后，每天销量为盏.由销售收入解一元二次不等式，再结合提价条件确定的范围. 【详解】设销售单价为元. 因为决定提价销售，所以. 售价比原价提高元，每提高元日销量减少盏，所以每天销售量为 由题意，即所以 解得. 结合，得 8. 已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出的最小值，再由恒成立建立不等式并求解. 【详解】正数，则，即， 当且仅当时取等号，由不等式恒成立， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元一次不等式和一元二次不等式的解法分别求出集合A、B的元素，再进行集合交、并、补的运算得出答案. 【详解】集合，集合， 对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C、D选项：，，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两个根为，， 即. 因此选项A正确； 因为，，所以由，因此选项B不正确； 由可知：，因此选项C不正确； 因为，所以由， 解得：，因此选项D正确， 故选：AD 11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】因为正实数m、n， 所以， 当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确； 因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误； ，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有__________个子集. 【答案】4 【解析】 【分析】确定中元素的个数，可得其子集的个数. 【详解】图中阴影部分所表示的集合，所以C的子集有个. 故答案为：4 13. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】，则， ，解得， 所以解集为． 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式 （1） （2） 【答案】（1）； （2）{或} 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意可得 或，即不等式的解集为{或}. 16. 设集合，集合． （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，计算集合的补集，再计算交集. （2）分类讨论，和，再计算取值范围. 【小问1详解】 集合， 分式不等式等价于， ， 解得，即， ， ， . 【小问2详解】 已知，， 分两种情况： 当时， ，解得， 当时，此时， 或， 解得. 综上，所以取值范围是. 17. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （2）设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 【答案】（1） 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为， 则两次平均价格为， 又，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济. （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式表示两种策略，再作差比较大小即可； （2）将给定等式变形为，再利用（1）的结论求出最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 18. 已知二次函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出一元二次不等式的解集. （2）按与的大小关系分类求出的解集，再由整数解的个数列出不等式组求解. （3）等价变形不等式并分离参数，再换元并结合基本不等式求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，不等式，解得或， 所以所求解集为或. 【小问2详解】 不等式， 当时，不等式的解集为， 由中恰有3个整数，得，解得，则； 当时，不等式的解集为， 由中恰有个整数，得，解得，则； 当时，不等式的解集为，不合题意， 所以实数的取值范围是或. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 而，因此不等式对恒成立， 设，则， ，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 19. 设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. （1）已知，直接判断集合是否为“”集. （2）若为“”集，，求的值； （3）若为“”集，，，求. 【答案】（1）为“”集，不为“”集. （2）32 （3） 【解析】 【分析】（1）按照“”集的定义列举验证即可； （2）根据“”集的定义分析得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案； （3）根据“”集的定义分析可得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案. 【小问1详解】 对于集合，当时，；当时，； 当，；当，；故为“”集. 对于集合，当时，，故不为“”集. 【小问2详解】 因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 所以. 【小问3详解】 因为， 所以. 又， 所以， 所以，同时. 因为，所以， 因为，所以. 又，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026～2027学年度上学期高一月考（一） 数学试题 2026.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 或3 B. 0或 C. 3 D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 7. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 11. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合共有__________个子集. 13. 不等式的解集为________. 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列不等式 （1） （2） 16. 设集合，集合． （1）若，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 17. 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． （1）请问，采用哪种策略更经济？说明理由； （2）设，且，根据（1）中你的结论，求的最小值． 18. 已知二次函数． （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. （1）已知，直接判断集合是否为“”集. （2）若为“”集，，求的值； （3）若为“”集，，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $