精品解析：广西南宁市邕宁高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

26级高一10月月考数学试卷 数学 满分：150分 用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合并集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，且， 则， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 3. 若，，则的大小关系是(　　) A. B. C. D. 与的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法，可得，从而可得结论. 【详解】∵ ， ∴.故选B. 【点睛】本题主要考查“作差法”比较两个数的大小，属于简单题. 比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法. 4. 古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果. 【详解】命题“”为真命题，可化为“”恒成立， 即只需， 所以命题“”为真命题的一个充要条件是， 而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集， 由选项可知A符合题意. 故选:A. 6. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：若，不等式不成立，所以A错误； 对于B：因为，，则，所以，所以B错误； 对于C：由，得，所以C错误； 对于D：因为，，由不等式的性质可得，则， 由不等式的性质可得，所以D正确． 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分） 9. 已知，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将，两个不等式相加即可得到，即A正确；将两边同乘以-1，再与两边乘以2的结果相加即可得到故B不正确；将两边同时乘以2，与相加，即可判断C、D的正误. 【详解】，故A正确； 故B不正确； 设， 则 ， 故C正确、D错误； 故选：AC 10. 已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案. 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 【答案】 【解析】 【详解】对，恒成立， 因为的系数是，则 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 ． 13. 2021年黑龙江省进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文､数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治､地理､化学和生物四门中再选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学､生物和政治，已知选择化学､生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有___________人. 【答案】8 【解析】 【分析】根据容斥原理可求出结果. 【详解】记选择化学的同学组成的集合为，选择生物的同学组成的集合为，选择政治的同学组成的集合为， 依题意可得，，，， ，，， 根据， 可得，解得. 所以同时选择化学和政治的有人. 故答案为：. 14. 若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________. 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知，求出不等式的解集，确定解集中的整数，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】若关于的不等式有且仅有两个整数解， 则该不等式的解集必满足的形式，则必有， 解方程，可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以关于的不等式的解集为， 由题意可知、，， 所以，即，解得或， 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 ，或． （1）求，； （2）若集合，且．求的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【小问1详解】 或，； ，. 【小问2详解】 ，，， 当时，则，解得； 当时，则或，解得. 综上所述，的取值范围为或. 16. （1）比较和的大小； （2）若，，，求证：． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以，所以，因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．又，所以， 所以，由不等式的同号可乘性可得． 【解析】 【分析】（1）用作差法，将两式相减后配方为，由平方非负得差恒大于零； （2）由已知条件推出和，利用倒数性质和同号可乘性，结合确定，最终证得结论. 【详解】（1） . . （2）证明：略 17. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)（）． 【答案】（1） （2）隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米 【解析】 【小问1详解】 由，车流速度不小于40千米/小时，得. 当时，，符合题意； 当时，，解得； 综上所述，. 车流密度的取值范围为. 【小问2详解】 由，，得. 当 时，，则，当且仅当 时等号成立； 当 时， ， 当且仅当，即时成立. ，的最大值为2424，此时约为75. 隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米． 18. 已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程之间的关系，得到，，的关系，进而求解不等式. （2）当，时，不等式变为，对分情况讨论，若二次函数解集为空集，说明该函数开口向下且与轴最多只有1个交点，列出不等式组即可求出范围. （3）当时，化简不等式，对分情况讨论，然后求解不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以，且的两根为和2， 由韦达定理知，，，所以，， 所以不等式可化为，，即， 又，所以，解得或. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 当，时，不等式可化为. 当时，不等式可化为，此时解集为，满足题意； 当时，不等式的解集为， 则，解得. 综上， . 故的取值范围为. 【小问3详解】 当时，不等式可化为，即. 当时，不等式变为，解得； 当时，的两根为和，且， 此时不等式的解集为； 当时，的两根为和， 当，即时，此时不等式的解集为； 当，即时，不等式可化为，即，此时解集为； 当，即时，此时不等式的解集为； 综上，若，该不等式的解集为： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）最小值为12； （2）（ⅰ） 根据性质“跨度36”的定义可得. 因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证. （ⅱ） 根据性质“跨度36”的定义可得，， 因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得， 所以，，，，， 累加得，得证. （3） 由（2）可知，所以，解得， 同（2）证明得，所以， 又由定义知，所以，所以在上成立， 当时，取，则，解得，矛盾； 当时，对任意，的最大值为，满足恒成立 所以集合中元素个数的最大值为11. 【解析】 【分析】（1）根据题设新定义列不等式组求得，即可得； （2）（i）根据定义得，再作变形即可证；（ii）根据已知有，再作累加即可证； （3）由（2）可得、，进而得在上恒成立，讨论、研究恒成立，即可得. 【小问1详解】 根据性质“跨度4”的定义可得且，解得， 所以集合中元素的最小值为12. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26级高一10月月考数学试卷 数学 满分：150分 用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则的大小关系是(　　) A. B. C. D. 与的值有关 4. 古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分） 9. 已知，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对，恒成立，则实数的取值范围是________________________． 13. 2021年黑龙江省进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文､数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治､地理､化学和生物四门中再选择两门.某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学､生物和政治，已知选择化学､生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有___________人. 14. 若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 ，或． （1）求，； （2）若集合，且．求的取值范围． 16. （1）比较和的大小； （2）若，，，求证：． 17. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到1辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度(精确到1辆/千米)（）． 18. 已知关于的不等式，其中，，． （1）若不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用表示） 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $