第二十七章 反比例函数的生活中的实际应用、反比例函数的物理中的应用专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

反比例函数的生活中的实际应用、反比例函数的物理中的应用专项训练 反比例函数的生活中的实际应用、反比例函数的物理中的应用专项训练 考点目录 反比例函数的生活中的实际应用 反比例函数的物理中的应用 考点一 反比例函数的生活中的实际应用 例1．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 例2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 例3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 变式1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 变式2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 变式3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 考点二 反比例函数的物理中的应用 例1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 例2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 例3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 变式1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 变式2．（26-27九年级上·北京昌平·阶段检测）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 变式3．（26-27九年级上·上海黄浦·阶段检测）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数的生活中的实际应用、反比例函数的物理中的应用专项训练 反比例函数的生活中的实际应用、反比例函数的物理中的应用专项训练 考点目录 反比例函数的生活中的实际应用 反比例函数的物理中的应用 考点一 反比例函数的生活中的实际应用 例1．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； (2)求药物燃烧时，关于的函数关系式； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 【答案】(1) (2) (3)解：此次消毒有效，理由如下， 把代入得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去）， 把代入得，， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【分析】（1）设药物燃烧后，与的解析式为，把代入，可得与的解析式为，根据反比例函数的性质即可得出答案； （2）设药物燃烧时，关于的函数关系式为，把代入，可求出，即可得出二次函数解析式； （3）把分别代入二次函数和反比例函数解析式，分别求出的值，进而求出持续时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵药物燃烧后，与成反比例， ∴设药物燃烧后，与的解析式为， ∵反比例函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧后，与的解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 解得， ∵空气中每立方米的含药量低于毫克， ∴至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． （2）解：∵药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克， ∴设药物燃烧时，关于的函数关系式为， ∵二次函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为． （3）略 例2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 【答案】(1)，； (2)天；乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务 【分析】（1）每天运送体积运送时间总运送体积； （2）乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴与的函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （2）解：原计划完成任务的时间为天， 设乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务， 由题意可得，， 解得， 故乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务． 例3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，小时内（包括小时）其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用二次函数表示；小时后（包括小时）y与x可近似的用反比例函数表示（如图所示）． (1)喝酒后多长时间血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (2)求k的值． (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升 (2) (3)不能驾车上班． 【分析】（1）利用确定最大值； （2）直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）求出时，的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：， ∴当时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （2）解：当时，， ∴把代入得； （3）解：∵晚上到第二天早上，一共有11小时， ∴将代入，则， ∴第二天早上不能驾车去上班． 变式1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 变式2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）某工厂对不同孔径的工业水龙头在相同水压下进行放水测试，已知同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系． 甲测试组选定某一孔径的水龙头，探究放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）之间的关系，部分数据如下： 10 20 30 40 50 … 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 … 乙测试组选取除孔径外无其他差别的多款水龙头，探究放出7L水所用的时间t（单位：）与孔径d（单位：）之间的关系，部分数据如下： 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 … 32.0 18.0 11.5 8.0 5.9 … (1)甲测试组放水时放出的水量为___________； (2)通过乙测试组的实验，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出乙测试组实验的函数图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ②孔径为的水龙头放出水所用的时间为___________（结果保留小数点后一位）； ③推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)14 (2)① ②；③ 【分析】（1）根据同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系，设，代入一组数据求出k即可； （2）①根据乙测试组的实验数据，描点连线，即可画出乙测试组实验的函数图象； ②由乙测试组实验图象，即可得出孔径为6.5mm的水龙头放出7L水所用的时间； ③在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，即可推断出甲组同学实验中所用水龙头的孔径． 【详解】（1）解：∵同一孔径的水龙头放出的水量m（单位：）与放水时间t（单位：）成正比例函数关系， ∴设， 当时，， 将其代入中， 即， 解得， 故， 当时，， 故甲测试组放水时放出的水量为； （2）①乙测试组实验的函数图象如下： ②由乙测试组实验图象可知，孔径为的水龙头放出水所用的时间约为； ③当时，将其代入中，可得．在乙测试组实验所画的函数图象中，找到对应的值，推断甲组同学实验中所用水龙头的孔径约为． 变式3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)①；②；③ (2)9分钟 【分析】（1）根据待定系数法分别求解一次函数和反比例函数表达式，再把 代入反比例函数表达式求解； （2）把分别代入两个函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时，与之间的函数关系是一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则； ②设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， ③把代入，则； （2）把代入，则，解得 把代入，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 考点二 反比例函数的物理中的应用 例1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）【阅读资料】 杆秤是我国古代经典的计量工具，距今已有两千多年历史．《墨经》中最早记载了杠杆平衡的科学原理，为杆秤的发明奠定了理论基础． 材料1：如图1，杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂． 材料2：如图2，移动提纽，秤杆在水平位置平衡． 材料3：如图3，记秤钩的质量为克，秤钩一侧的秤杆（左杆）质量记为克，右杆的质量记为克，秤砣的质量为克，它们对应的力臂长分别为（其中为常数）．我们可以得到．现有秤杆（已经确定提纽位置），秤钩各一个，秤砣若干．请按照以下步骤完成后续问题： (1)【步骤一：确定定盘星】定盘星为杆秤上的0刻度线．已知当克，杆秤不称重物保持平衡时，． ①请直接写出秤砣对应的力臂长关于的函数表达式：_________； ②如果测定定盘星（0刻度线）时，秤砣最大可滑动距离为，那么可选用的秤砣最小质量为_________克． (2)【步骤二：刻度标注】我们选定100克的秤砣来制作刻度，已知克，重物的质量为克， ①请求出关于的函数表达式； ②秤砣和提纽的距离每增加，杆秤上表示质量的刻度数需要增加_________克． (3)【步骤三：换砣称重】用100克的秤砣制作的杆秤称得物体的质量为120克．现在把秤砣换成克，再次称重，测得的物体的质量与真实质量偏差了_________克（用含字母的代数式表示）． 【答案】(1)①；②12.5 (2)①；②40 (3) 【分析】（1）①由平衡式得为定值，设，得，把数值代入可求得K的值，即可求得表达式； ②由题意得，即可求得最小的质量； （2）①根据杠杆平衡原理得，即，代入，克的值，即可求解； ②由变形得，根据y的系数即可解答； （3）先求出物体A真实质量为120克，用100克秤砣时y的值，换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量，偏差则为真实质量与测量值的差． 【详解】（1）解：①由平衡式知，不称重物时左侧为定值， 记常数 ，则 ； ∵克时，， ∴ ， ∴； ②秤砣最大滑动距离为，即，代入， 解得， ∴最小质量为12.5克； （2）解：①称重物时，新增重物质量克， 根据杠杆平衡原理，总平衡式为：​， 整理得， 把，克代入得： ， 化简得； ②由变形得， 则是的一次函数，一次项系数为40，即每增加，对应增加40克； （3）解： 对于， 物体A真实质量为120克（克），用100克秤砣时，代入，得； 换用t克秤砣时，该y值对应的测量质量满足，代入，得； 偏差为真实质量减测量值：． 例2．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式； (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据图2将和代入求出，可知当时的值，结合题干公式即可求出此时总电阻的值； （2）设，由（1）可知，当时，，此时，代入求解即可； （3）求出R关于V的函数解析式，分别将、代入R关于V的函数解析式求出R的值，可知当时，R的取值范围，根据反比例函数的性质得到随的增大而减小，分别将、代入求出I的值，可知电流表显示电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图象经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 例3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的几组对应值如表所示． 3 4 5 6 8 9 10 12 a 7.2 6 b 4 c (1)写出电流I关于电阻的函数关系式：____________（不写自变量的取值范围）； (2)将表格空格处的数值补充完整：____________，____________，____________； (3)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，求出该用电器的可变电阻应控制的范围． 【答案】(1) (2)9，4.5，3.6 (3)该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于 【分析】（1）设，根据表格选取数据代入求解即可； （2）分别将的值代入电流I关于电阻的函数关系式计算即可； （3）将代入电流I关于电阻的函数关系式求出的值，再结合反比例函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设， 根据表格可知当时，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； （3）解：由（1）得， 当时，，解得， ， ∴当时，随的增大而减小， ， 即该用电器的可变电阻应控制的范围为大于等于． 变式1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 变式2．（26-27九年级上·北京昌平·阶段检测）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【答案】(1)高 (2)； (3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下： 根据题意，得当时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的． 【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可； （2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可． （3）当时，，对照表解答即可； 【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； （2）解：设，当时，， 故， 解得， 故； 图象略 （3）略 变式3．（26-27九年级上·上海黄浦·阶段检测）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $