重难点专题 反比例函数的实际应用问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 反比例函数实际应用问题 重难点一 工程、工作总量反比例应用问题 核心思路：审题找等量关系，建立反比例模型 y=(k≠0)，重点注意：实际问题自变量有取值限制，一般x>0. 工程、工作总量类反比例应用题：工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例关系（工作总量=工作效率×工作时间)，总量不变，则效率、时间成反比.一般方法 ：设变量：设工作效率为x，工作时间为y；根据总量不变求出k，写出反比例函数解析式；根据题干已知条件，代入数值求对应的效率或者时间；检验结果是否符合实际意义. 实际应用题通用解题五步： 审：读题，确定哪一个量是定值，判断两个变量是不是乘积为定值，确认反比例模型；设：设两个变量；列：写出反比例函数解析式，算出k；解：代入求值，或者根据自变量求函数值； 答：写答案，一定要标注自变量实际取值范围，检验解符合现实意义. 特别注意：实际问题反比例图像一般只取双曲线第一象限那一支，不是完整两支，很多同学画图忽略取值范围；解不能取负数. 1.某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2.一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   3.十·一期间，学校团委组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李明要把社会实践调查报告录入电脑，当他以120字/分钟的速度录入文字时，经过100分钟能完成录入．设他录入文字的速度为v字/分钟完成录入的时间为t分钟，则t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)__________． 4.某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存． (1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式； (2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？ (3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？ 5.一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池． (1)水池的容积是多少？ (2)若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式； (3)若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？ 6.某车油箱注满后，如果平均耗油量是每千米耗油升，则可行驶千米． (1)求该车可行驶的路程与平均耗油量之间的函数表达式； (2)当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 7.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 8.某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变．当该游泳池以每小时立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放水的速度为v立方米/时，将池内的水放完需t小时． (1)求v关于t的函数表达式，并画出函数图象． (2)若要求在小时内（包括小时）把游泳池内的水放完，则游泳池的放水速度至少为多少立方米/时（要求用反比例函数的性质和图象两种方法求解）？ 重难点二 路程问题（行程类）反比例应用问题 路程问题（行程类）：路程固定，速度与行驶时间成反比例关系（路程=速度×时间），路程一定，速度、时间成反比.一般方法： 确定不变的总路程；设速度v，时间t，得到vt=s（s定值），写成t=s/v；根据题意求指定速度对应的时间，或者限定时间求最低速度. 1.（2026年河南中考）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是__________． 2.国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时． 3.从A市到B市列车的行驶里程为千米．假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过千米/时． (1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围． (2)画出所求函数的图象． (3)从A市开出一列火车，在分钟内（包括分钟）到达B市可能吗？分钟内（包括分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？ 重难点三 面积、体积几何反比例应用问题 面积、体积几何实际问题：图形面积/体积定值，两条边长、底和高成反比例关系（矩形面积S=ab；三角形面积S=1/2ah；长方体体积V=Sh等）. 一般方法：抓住面积、体积不变这个条件；列出两个变量乘积等于定值，转化反比例解析式；根据限制条件求边长、高的取值. 1.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．则图中阴影部分的面积是（    ）．    A．2 B．4 C．8 D．16 2.疫情期间为预防病毒，某家庭对住房进行喷药消毒．已知消杀过程中室内每立方米空气中的含药量（毫克/立方米）与喷药的时间（分钟）成正比例，消杀完成后，与成反比例（如图所示）．已知消杀4分钟后完成，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人进入才安全．那么 分钟后人可以进入房间．    3.圆锥的体积（S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高线长），某工厂要制作一系列圆锥模型，要求体积保持不变．测得其中一个已做成的圆锥模型的底面半径为，高线长为． (1)求这一系列圆锥模型的底面积关于高线长的函数表达式，并画出函数图象． (2)利用所画的函数图象，求当高线长限定为时，底面积的取值范围． 4.综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 重难点四 跨学科反比例应用问题 类似与前面几类问题，其它反比例应用问题关键是根据物理、化学等跨学科问题，找出两个变量的积是常量的等量关系.这类问题是中考常考题. 1.某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．0 2.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）．    A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 3.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 5.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 6.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时.    7.由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功．当W为定值时，F与s之间的函数关系图像如图所示． (1)试确定F、s之间的函数解析式． (2)当力F为时，发生位移多少米？ 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：    (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 9.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．榕榕欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是（单位：N）和（单位：m）． (1)求动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． (2)若，求此时需要的动力的大小． 10.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 11.测得不同国家六种硬币的质量和体积数据如下表： 硬币 质量（g） 体积（） A 3.1 0.41 B 4.0 0.50 C 8.6 1.2 D 8.0 0.95 E 9.8 1.1 F 5.0 0.67 (1)设用质量为的某种金属制作成的硬币体积为，求该种金属的密度． (2)从前，奥地利硬币由铜和锌的合金制成，其密度为．你认为上表中，哪一种硬币可能来自奥地利？ (3)已知铜的密度为，锌的密度为．A，B两种硬币都由铜和锌的合金制成，哪一种含锌量较多？请说明理由． 12.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 重难点五 综合类反比例应用问题 综合类反比例应用问题常将利用一次、二次函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 1.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 2.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 3.为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 4.有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为，室内甲醛含量为，开机后净化器开始消耗净化药物． 当时，室内甲醛含量保持室内起始甲醛含量不改变； 当时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为（），并有以下两种工作模式： 模式Ⅰ：室内甲醛含量与净化药物的消耗量成反比，且当时，； 模式Ⅱ：净化药物的消耗量与时间的关系式为，计时后甲醛的减少量与时间的关系式为．（室内甲醛含量＝室内起始甲醛含量－甲醛的减少量） (1)在模式Ⅰ下： ①求出与的关系式（不写的取值范围）； ②如果要求甲醛含量不高于达标，求净化药物的消耗量的最小值； (2)在模式Ⅱ下： ①用表示为：______； ②求与的关系式为：______；（不写的取值范围） (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请同学计算说明理由． 5.小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？    【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图像在第___________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移___________个单位长度得到． （3）研究函数图像 平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为_____________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为9的矩形的周长的取值范围为___________ 6.心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为．    (1)根据图中数据，求出段双曲线的关系式； (2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 7. 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x … 1 2 3 … y … 3 4 …   表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 反比例函数实际应用问题 重难点一 工程、工作总量反比例应用问题 核心思路：审题找等量关系，建立反比例模型 y=(k≠0)，重点注意：实际问题自变量有取值限制，一般x>0. 工程、工作总量类反比例应用题：工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例关系（工作总量=工作效率×工作时间)，总量不变，则效率、时间成反比.一般方法 ：设变量：设工作效率为x，工作时间为y；根据总量不变求出k，写出反比例函数解析式；根据题干已知条件，代入数值求对应的效率或者时间；检验结果是否符合实际意义. 实际应用题通用解题五步： 审：读题，确定哪一个量是定值，判断两个变量是不是乘积为定值，确认反比例模型；设：设两个变量；列：写出反比例函数解析式，算出k；解：代入求值，或者根据自变量求函数值； 答：写答案，一定要标注自变量实际取值范围，检验解符合现实意义. 特别注意：实际问题反比例图像一般只取双曲线第一象限那一支，不是完整两支，很多同学画图忽略取值范围；解不能取负数. 1.某厂现有1300t煤，这些煤能烧的时间y（天）与平均每天烧的吨数x（t）之间的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【分析】这些煤能用的天数=煤的总吨数÷平均每天用煤的吨数，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵煤的总吨数为1300t，平均每天用煤的吨数为x t， ∴这些煤能用的天数为， 故选：A． 2.一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   【分析】根据反比例函数的解析式是，然后将，代入即可求得k的值，然后注意观察双曲线的形状和x的取值范围． 【详解】A、反比例函数的取值范围是，故不存在第三象限的部分图像，此选项错误； B、反比例函数的图像是曲线型，不是直线型，此选项错误； C、点不在图示的函数图像上，此选项错误； D、点是满足函数的图像上的点，且是在第一象限的双曲线型，此选项正确． 故选：D． 3.十·一期间，学校团委组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李明要把社会实践调查报告录入电脑，当他以120字/分钟的速度录入文字时，经过100分钟能完成录入．设他录入文字的速度为v字/分钟完成录入的时间为t分钟，则t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)__________． 【分析】此题考查了是反比例函数的应，用现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．设，把代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：，把代入得 ∴t与v之间的函数关系式为． 4.某市粮库要把晾晒场上的600吨大米入库封存． (1)求入库所需的时间t（单位：天）与入库速度v（单位：吨/天）的函数关系式； (2)粮库有职工 40 名，每人每天最多可将吨大米入库，预计将全部大米入库最快可在多少天内完成？ (3)粮库的职工连续工作了 25 天后，上级主管部门决定临时把剩下的大米全部入库，以便尽早调出出售，则至少需要增加多少名人员帮忙才能完成任务？ 【分析】（1）根据工作时间工作总量工作效率可得函数关系式； （2）直接把代入解析式求解即可； （3）根据题意求出剩余的玉米一天内全部入库需职工人数为200人，所以需增加的人数即可求出． 【详解】（1）解：根据关系式：工作时间工作总量工作效率可得： 入库所需的时间 t 与入库速度 v 的函数关系式为； （2）根据题意得：， ∴预计将全部大米入库最快可在30天内完成； （3）粮库的职工连续工作了25天的入库量为， 由题可知：剩下的粮食需要再一天内完成入库， 则所需人数为 （人）， （人）． 5.一个水池内原有水升，现在以升分钟的速度向水池内注水，分钟可注满水池． (1)水池的容积是多少？ (2)若水池为空的，设注水的速度为升分钟，注满水池需要分钟，写出与之间的函数关系式； (3)若水池为空的，分钟注满水池，则注水的速度应达到多少？ 【分析】（）根据水池的容积池内原有水的体积注入水的体积，注入水的体积注水速度时间，直接计算； （）根据题意注满水池的体积注水速度时间可知，可求与之间的关系式； （）把代入（）中的函数关系式可求； 本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握建立函数关系式，灵活运用函数关系式解决实际问题． 【详解】（1）依题意得：水池的容积（升）； （2）依题意得，， ∴； 则与之间的函数关系式为：； （3）由（）得：与之间的函数关系式为， 当代入， ，得， ∴注水的速度应达到升分钟． 6.某车油箱注满后，如果平均耗油量是每千米耗油升，则可行驶千米． (1)求该车可行驶的路程与平均耗油量之间的函数表达式； (2)当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 【分析】（1）根据题中描述，设反比例函数关系（是常数，），将，代入即可求出该车可行驶的路程与平均耗油量之间的函数表达式； （2）由（1）知，当平均耗油量为升/千米时，即将 代入求出值就是该轿车可以行驶的千米数． 【详解】（1）解：设反比例函数关系（是常数，）， 把，代入反比例函数关系 中得，解得：， 函数关系式为：； （2）解：将 代入 得， 答：该轿车至少可以行驶 千米． 7.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【分析】（1）运用每天完成的页数所需天数总页数进行求解； （2）将代入（1）所得函数关系式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 整理，得， 每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得，， 由题意得， 解得， 每天应完成200页． 8.某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变．当该游泳池以每小时立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放水的速度为v立方米/时，将池内的水放完需t小时． (1)求v关于t的函数表达式，并画出函数图象． (2)若要求在小时内（包括小时）把游泳池内的水放完，则游泳池的放水速度至少为多少立方米/时（要求用反比例函数的性质和图象两种方法求解）？ 【分析】（1）先求出游泳池没放水时的体积，然后根据水的体积=放水速度×放水时间进行求解即可； （2）根据（1）中的函数图象和反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，游泳池没放水时的体积为， ∴， ∴， 函数图象如下所示： （2）解：图象法：当时，， 要使，则必须保证， ∴游泳池的放水速度至少为； 函数的性质：由可知， ∵， ∴， ∴， ∴游泳池的放水速度至少为. 重难点二 路程问题（行程类）反比例应用问题 路程问题（行程类）：路程固定，速度与行驶时间成反比例关系（路程=速度×时间），路程一定，速度、时间成反比.一般方法： 确定不变的总路程；设速度v，时间t，得到vt=s（s定值），写成t=s/v；根据题意求指定速度对应的时间，或者限定时间求最低速度. 1.（2026年河南中考）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是__________． 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 2.国庆期间，小李自驾小汽车从家到银屏山旅游．查询导航得知，当他的小汽车保持80km/h的速度行驶3h可以到达银屏山．若该小汽车匀速行驶的速度为vkm/h，行驶的时间为th． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若返回时，该小汽车匀速行驶的速度为60km/h，假设他返回与去时的路况和其他因素一致，求他从银屏山回到家需要几小时． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得从家到银屏山旅游的路程为240km，然后可根据路程=速度×时间可进行求解； （2）根据（1）可进行求解． 【详解】（1）解：由题意，得小李从家到银屏山旅游的路程为 ∴关于t的函数表达式为； （2）解：当时， 解得； 答：他从银屏山回到家需要4h． 3.从A市到B市列车的行驶里程为千米．假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过千米/时． (1)求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围． (2)画出所求函数的图象． (3)从A市开出一列火车，在分钟内（包括分钟）到达B市可能吗？分钟内（包括分钟）呢？如有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？ 【分析】（1）根据速度等于路程与时间的比可得函数表达式，根据速度限定为不超过千米/时可得自变量取值范围； （2）列表描点连线即可； （3）根据时间速度路程的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：从A市到B市的里程为千米，所以所求的函数表达式为， 当时，． ∵v随t的增大而减小， ∴由，得，所以自变量的取值范围是， 故； （2）列函数与自变量t的对应值表． t（时） 1 2 … v（千米/时） 160 120 96 80 60 … 用描点法画出函数的图像如下； （3）因为自变量的取值范围为， 即在题设条件下，火车到达B市的最短时间为45分， 所以火车不可能在分钟内到达B市． 在50分钟内到达是有可能的， 此时由，可得． 也就是说，如果火车要在50分钟内到达B市，那么它行驶的速度必须不小于千米/时． 但根据题设，也不能超过千米/时，因此行驶的速度应在千米/时到千米/时之间． 重难点三 面积、体积几何反比例应用问题 面积、体积几何实际问题：图形面积/体积定值，两条边长、底和高成反比例关系（矩形面积S=ab；三角形面积S=1/2ah；长方体体积V=Sh等）. 一般方法：抓住面积、体积不变这个条件；列出两个变量乘积等于定值，转化反比例解析式；根据限制条件求边长、高的取值. 1.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．则图中阴影部分的面积是（    ）．    A．2 B．4 C．8 D．16 【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；利用反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积，根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设B点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过B点， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积， 故选：C． 2.疫情期间为预防病毒，某家庭对住房进行喷药消毒．已知消杀过程中室内每立方米空气中的含药量（毫克/立方米）与喷药的时间（分钟）成正比例，消杀完成后，与成反比例（如图所示）．已知消杀4分钟后完成，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，人进入才安全．那么 分钟后人可以进入房间．    【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出它们的关系式，再计算当时的值，从而得出答案．． 【详解】解：解：设正比例函数解析式：且过， ， ， ， 设反比例函数解析式：，且过， ， ， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 分钟后，人可以进入房间． 3.圆锥的体积（S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高线长），某工厂要制作一系列圆锥模型，要求体积保持不变．测得其中一个已做成的圆锥模型的底面半径为，高线长为． (1)求这一系列圆锥模型的底面积关于高线长的函数表达式，并画出函数图象． (2)利用所画的函数图象，求当高线长限定为时，底面积的取值范围． 【分析】（1）根据圆锥体积公式求出这一系列圆锥的体积进而得到底面积关于高线长的函数表达式，再画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 函数图象如下所示： （2）解：当时，，当时，， ∴由函数图象可知当高线长限定为时，底面积的取值范围为． 4.综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得；    （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；    把代入得：， 解得：， ∴． 重难点四 跨学科反比例应用问题 类似与前面几类问题，其它反比例应用问题关键是根据物理、化学等跨学科问题，找出两个变量的积是常量的等量关系.这类问题是中考常考题. 1.某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．0 【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∴， ∴； ∴当时，． 故选：A． 2.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）．    A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是 C．当时， D．当时， 【分析】根据反比例函数图象，并结合物理学科中的电流等于电压除以电阻的知识点即可求解． 【详解】解：设， ∵图象过， ∴， ∵， ∴蓄电池的电压是， ∴选项A、B错误，不符合题意； 当时，， ∴选项C错误，不符合题意； 当时，， 由图象可知：当时，， ∴选项D正确，符合题意， 故选：D． 3.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据图象即可确定丙气体的质量最多，甲气体的质量人数最少，乙、丁两气体的质量相同． 【详解】解：根据题意，的值即为该气体的质量， ∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两该气体的质量相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小． 故选：A． 4.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意； 当时，，当时，， ∵反比例函数I随R的增大而减小， 当时，，当时，，故选项A，D不符合题意； ∵时，，当时，， ∴当时，I的取值范围是，故C符合题意． 故选：C． 5.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象和性质，先求出函数解析式，再根据图象及函数的性质逐个判断即可得到答案 【详解】解：由图像得，设， 将点代入可得， ，， 解得：，， ∴， 故A错误，B正确， 当时， ，解得， 故D错误， 当时，，， 解得：，， 故加工时长为：， 故C错误， 故选：B． 6.某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时.    【分析】将点分别代入，中，求出、，确定出函数关系式，再把代入两个函数式中求出对应的，把所求两个时间作差即可． 此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式为； 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式是：； 当时，将代入可得：， 解得：； 当时，将代入可得：， 解得：． （小时）， 所以成年人服药一次有效的时间是小时． 故答案为：． 7.由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功．当W为定值时，F与s之间的函数关系图像如图所示． (1)试确定F、s之间的函数解析式． (2)当力F为时，发生位移多少米？ 【分析】（1）由图象可知，是反比例函数关系，当1时，，利用待定系数法求出函数解析式． （2）把代入，利用反比例函数关系解答实际问题． 【详解】（1）解：如图，点在图像上， ∴， ∴， ∴， ∴F、s之间的函数解析式； （2）当时，，解得， 答：发生位移0.25米． 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：    (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为, ∵函数图象过点（9，4）， ∴， 解得：， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为． （2）解：∵限制电流不能超过， ∴， 解得：， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 9.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力臂动力动力臂．榕榕欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是（单位：N）和（单位：m）． (1)求动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． (2)若，求此时需要的动力的大小． 【分析】（1）根据阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，进而得到结果； （2）根据（1）中的解析式，代入值，求出值即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得： ∴动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数关系式为：； （2）解：由（1）可得：， 当时，（N）， ∴若，此时需要N的动力． 10.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要　　． (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【分析】依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度即即可求解； 结合中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； 分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解：开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为， 即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，， 解得：， 即内温度都高于， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 11.测得不同国家六种硬币的质量和体积数据如下表： 硬币 质量（g） 体积（） A 3.1 0.41 B 4.0 0.50 C 8.6 1.2 D 8.0 0.95 E 9.8 1.1 F 5.0 0.67 (1)设用质量为的某种金属制作成的硬币体积为，求该种金属的密度． (2)从前，奥地利硬币由铜和锌的合金制成，其密度为．你认为上表中，哪一种硬币可能来自奥地利？ (3)已知铜的密度为，锌的密度为．A，B两种硬币都由铜和锌的合金制成，哪一种含锌量较多？请说明理由． 【分析】（1）根据密度计算公式进行求解即可； （2）分别求出六种硬币的密度即可得到答案； （3）根据含锌越多，密度越小进行求解即可． 【详解】（1）解：由密度计算公式可知； （2）解：A硬币的密度为，B硬币的密度为，C硬币的密度为，D硬币的密度为，E硬币的密度为，F硬币的密度为， ∴D硬币可能来自奥地利； （3）解：A硬币含锌量比较多，理由如下： ∵铜的密度大于锌的密度， ∴由铜和锌制成的合金材料，含锌越小，密度越大， ∵， ∴A硬币含锌量比较多． 12.某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20   阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 重难点五 综合类反比例应用问题 综合类反比例应用问题常将利用一次、二次函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 1.某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于，玻璃温度y（）与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象和性质，先求出函数解析式，再根据图象及函数的性质逐个判断即可得到答案 【详解】解：由图像得，设， 将点代入可得， ，， 解得：，， ∴， 故A错误，B正确， 当时， ，解得， 故D错误， 当时，，， 解得：，， 故加工时长为：， 故C错误， 故选：B． 2.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 3.为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：    (1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式； (2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法先求药物燃烧时与时间的函数表达式，再用待定系数法求药物燃烧完后与时间的函数表达式即可； （2）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， ∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为， 当时，， 设药物燃烧后y关于x的函数表达式为， 把代入， ∴， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为； （2）解：对于，当时， 解得：； 对于，当时， 解得：， ∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里． 4.有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为，室内甲醛含量为，开机后净化器开始消耗净化药物． 当时，室内甲醛含量保持室内起始甲醛含量不改变； 当时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为（），并有以下两种工作模式： 模式Ⅰ：室内甲醛含量与净化药物的消耗量成反比，且当时，； 模式Ⅱ：净化药物的消耗量与时间的关系式为，计时后甲醛的减少量与时间的关系式为．（室内甲醛含量＝室内起始甲醛含量－甲醛的减少量） (1)在模式Ⅰ下： ①求出与的关系式（不写的取值范围）； ②如果要求甲醛含量不高于达标，求净化药物的消耗量的最小值； (2)在模式Ⅱ下： ①用表示为：______； ②求与的关系式为：______；（不写的取值范围） (3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请同学计算说明理由． 【分析】（1）①设与的关系式为，将当时，代入求解即可；②求出当时x的取值范围即可； （2）①根据等量关系可得，将代入即可；②改写成用x表示t的式子，再将t的表达式代入即可； （3）先算出时，模式Ⅱ消耗的药品量，再求出药品消耗相同时，模式Ⅰ下室内甲醛含量，进行比较即可． 【详解】（1）①设与的关系式为， 将当时，代入得：，解得：， ∴与的关系式为； ②∵甲醛含量不高于达标，且根据题意有x非负， ∴， ∴，解得：， ∴净化药物的消耗量的最小值为． （2）①根据题意得：， 将代入得：， 故答案为：． ②∵， ∴， 将代入得：， 整理得∶ ． （3）当时， 模式Ⅱ：，解得：，（舍）， 当时， 模式Ⅰ：， ∵， ∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好． 5.小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？    【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图像在第___________象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则的图像可以看成是的图像向上平移___________个单位长度得到． （3）研究函数图像 平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为________，周长的值为_____________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为9的矩形的周长的取值范围为___________ 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象，根据图象回答即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合函数的图象，即可求解； （4）方法同前面的思路联立两个函数的解析式得一元二次方程，满足方程有根，求出m取值即可． 【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限， 故答案为：一； （2）如图，    的图像可以看成是由的图像向上平移个单位长度得到． 故答案为：； （3）①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，如图，    从图象可以看出，公共点的坐标为 把点代入得： ， 解得：， 故答案为：； ②由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，； （4）当矩形的面积为9，相邻的两边长为x、y，周长为m时，则有 ， ∴，即 两个函数有交点时， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：． 6.心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中，分别为线段，轴，为双曲线的一部分），其中段的关系式为．    (1)根据图中数据，求出段双曲线的关系式； (2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差和20比较，大于20则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：段的关系式为， 当时，， 点的坐标为，点的坐标为， 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， ． （2）令， ， 令， ， ， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 7. 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x … 1 2 3 … y … 3 4 …   表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； 任务2：把分别代入，得， 解得， 由图象，得； 任务3： （1）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴． 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $