精品解析：广东汕头金南实验学校2026-2027学年高二上学期10月考数学科试题

2026-2027(上)高二年级月考数学科试题 考试时间：120分钟；满分：150分； 命题人：许林河　2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 2. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知. 3. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分解为，通过向量模长与数量积的运算关系求出的长度. 【详解】在平行六面体中，由空间向量线性运算可得 ， 所以 ， 又，，， ， 因此. 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 7. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程. 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与坐标轴的交点，即可判断BD，根据斜率即可判断A,根据两直线的斜率关系，结合垂直的性质即可求解C. 【详解】对于直线， 直线过，所以BD说法正确， 直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误. 直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误. 故选：AC 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 设过点的直线与轴､轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知关系可得，对A，将选项中的式子分别化为，再利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件有，再由基本不等式，即可求解；对于C，利用数量积的运算得，再利用“1”的妙用，即可求解；对于D，利用等面积法得到，再结合基本不等式可求得结果. 【详解】设直线，则，且， 对于A，， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为，A正确； 对于B，，， 则（当且仅当，即，时取等号），即， 的最小值为，B正确； 对于C，，， （当且仅当，即时取等号）， ，C错误； 对于D，原点到直线的距离， ，， ，， ， ，（当且仅当时取等号）， 的最大值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 13. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角的大小为，表示出、两点坐标，根据距离公式列方程解出. 【详解】在矩形中，作于点，交于点，作于点， ，，， ，， ， 在翻折后，以为原点，以、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系， 则为二面角的平面角，设， 则，， ，得， ，. 因此，二面角的大小是. 故答案为：. 【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求出，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离求出点到直线的距离； （2）两直线垂直，且都存在斜率，则有； （3）利用中点坐标公式求出的中点，利用斜率公式求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程. 【小问1详解】 ，，则，直线的方程为， 即，，点到直线的距离为； 【小问2详解】 设边上的高所在直线的斜率为 ， ，，， 边上的高所在的直线过， 边上的高所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 设中点，，， ，， ，， 则边上的中线所在直线的方程为， 即. 16. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【小问1详解】 解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. 【小问2详解】 , 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 17. 如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为边长为的等边三角形，所以，且， 又因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且 在中，因为，且， 可得，所以，即， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，分别证得，，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：平面，且， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 法一：如图，连接，交于， 取中点，连接，． 为中点，且， 又且，且， 所以四边形为平行四边形，，， 平面，平面， 平面． 法二：如图，连接，交于，连接． 分别为中点，， 平面，平面， 平面． （2）不存在，理由： 四边形为菱形，，又， 为等边三角形，为中点，， 又，，，平面，平面， ，又，，，平面， 平面， 如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 得，，， ，，， ． 设，，， ，， 设平面法向量，且，， ，令，解得， ，而设平面法向量， 则，由题意得二面角为， 得到，化简得 ． 故不存在点满足二面角等于． 【解析】 【分析】（1）法一作出符合题意的图形，结合中位线定理得到四边形为平行四边形，进而得到，最后利用线面平行的判定定理求解；法二直接利用中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可. （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面，再建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知是平行四边形的对角线的交点，且直线的方程为. （1）若四边形为正方形，求直线的方程； （2）已知直线的方程为. （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）求四边形的面积. 【答案】（1）或 （2）（ⅰ）；（ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直线垂直设出直线方程，结合点到直线的距离等于点到直线的距离求解即可. （2）（ⅰ）联立直线方程求出点坐标，根据中点坐标公式求解即可. （ⅱ）设，，根据中点坐标公式及点在直线上求出，坐标，结合点到直线的距离公式、两点间距离公式及平行四边形面积公式求解即可. 【小问1详解】 直线的方程为，则. 因为四边形为正方形，所以，则， 可设直线的方程为. 因为是正方形的对角线的交点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 即，整理得，解得或. 经验证，均符合题意. 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 （ⅰ）联立，解得，所以. 因为是平行四边形的对角线的交点，所以点是对角线、的中点. 设，则，解得. 故的坐标为. （ⅱ）设，， 因为点是对角线的中点，所以，，即，， 则，. 因为点在直线上，所以，即，整理得. 因为点在直线上，所以. 联立，解得，即，所以. 点到直线的距离. ， 所以. 故四边形的面积为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027(上)高二年级月考数学科试题 考试时间：120分钟；满分：150分； 命题人：许林河　2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知空间向量，则的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 与的取值有关 2. 在三棱锥中，点在棱上，且，点是棱的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对于直线，下列说法错误的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过点 C. 直线与直线垂直 D. 直线在轴上的截距为 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 11. 设过点的直线与轴､轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 13. 过点且与直线垂直的直线方程为_______. 14. 已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是___________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求点到直线的距离； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求边上的中线所在直线的方程. 16. 已知空间中三点,设,. （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 18. 在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知是平行四边形的对角线的交点，且直线的方程为. （1）若四边形为正方形，求直线的方程； （2）已知直线的方程为. （ⅰ）求的坐标； （ⅱ）求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $