精品解析：广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高二上学期第二阶段考试数学试题

广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高二上学期第二阶段考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 10. 已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为4 D. 若，则的最大值为 11. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 若是上的中点，则 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 13. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 14. 已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 16. 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程. 17. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 19. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮阳一中明光学校2025-2026学年高二上学期第二阶段考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域可求集合，再由集合的交集的定义可求解. 【详解】因为，又， 所以． 故选：C． 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，结合虚部定义即可求解. 【详解】由题可得，所以则的虚部为, 故选：A 3. 在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的加法法则，结合向量线性运算表示即可. 【详解】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 4. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行求参数m，根据充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则或， 当，，满足平行； 当，，满足平行； 所以或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，设外接球的半径为，则， 则正四棱锥的体积为，解得， 所以球的表面积为． 【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。 6. 某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 7. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解. 【详解】由为偶函数可得，即， 所以． 因为，且，，所以， 所以， 则，当且仅当，即时，取最小值4． 故选：A 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，结合正弦函数最值性质可判断A选项；整体代入法计算的范围结合正弦函数性质可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：， 当，，即，时，取最大值，最大值为2，A正确； 选项B：时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知点是左、右焦点为的椭圆上的动点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为4 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义和椭圆的几何性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，由椭圆离心率的定义，可得，所以A错误； 对于B，由椭圆的几何性质，可得的最小值为，所以B正确； 对于C，由椭圆的定义，可得， 因为，可得，即， 又由， 解得，所以的面积为，所以C正确； 对于D，由椭圆的定义，可得，则， 所以 当不共线时，可得； 当共线时，可得， 综上可得，，所以的最大值为， 又由，可得，所以的最大值为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 若是上的中点，则 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研究，依次判断四个选项即可． 【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，,1,，,1,， 设,,，故,0,，,,， 直三棱柱中，， 所以为平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 对于A，,2,，所以，即， 又平面，所以，故选项A正确； 对于B，若是上的中点，则,1,， 所以， 所以与不垂直，故选项B错误； 对于C，因为是平面的一个法向量，,0,， 设直线与平面所成的角为， 则，故选项C错误； 对于D，设,,，， 故,,， 所以， 所以， 故当，即时，取得最大值， 即直线与直线所成的角最小，此时,,， 所以，故选项D正确． 故选：AD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为________. 【答案】13 【解析】 【分析】求出抛物线的方程，利用弦长公式求解即可. 【详解】由抛物线  的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点  且斜率为  的直线  方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得 ，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 故答案为： 13. 设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得，利用数量积的定义即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 14. 已知函数，则___________；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可得第一空；根据题意求的解析式并作出图象，分析可知函数与有两个不同交点，结合图象即可得结果. 【详解】因为， 则，所以‘ 当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且，则； 则，作出函数的图象如下： 若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点， 结合图象可得，所以实数k的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求参赛学生成绩的众数、中位数； （2）按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在的概率. 【答案】（1）众数为65，中位数为65 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可； （2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案. 【小问1详解】 由题图可知众数为65， 因为的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为； 所以设中位数为，则，解得，所以中位数为； 【小问2详解】 按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，则分别抽取了3人，2人，1人. 设这6人分别为，，，，，. 再从其中抽取2人，这一共有，，，，，，，，，，，，，，，总共15种情况. 两人都在有，，三种情况， 则求这两人都是在的概率为. 16. 已知圆：，直线：. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）设直线过定点，为圆上任一点，求中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相切，结合点到直线的距离公式即可求解， （2）根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【小问1详解】 由：可得：， 所以圆心，半径为， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为：， 解得：， 所以当时，直线与圆相切. 【小问2详解】 由直线可得点坐标为 设点，圆上一点为， 因为为中点，故满足，变形得. 代入圆的方程得：， 化简得； 所以点的轨迹方程为. 17. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，，为等边三角形，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； 【答案】（1）证明： 连接BD，因为点，分别为，的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为侧面平面，侧面平面，所以平面， 又平面ABCD，所以， 又因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合余弦定理、勾股定理及中位线，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； 【小问2详解】 由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 19. 已知双曲线的离心率为，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在；；定点． 【解析】 【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程； （2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q. 【详解】解：（1）由题意，，解得，． ∴双曲线方程为； （2）设直线的方程为，设定点， 联立，得． ∴，且，解得且． 设，， ∴，， ∴， ． ∴ 为常数，与无关， ∴，即，此时． ∴在轴上存在定点，使得为常数． 【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程； （2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $