椭圆：椭圆的定义、方程及定义的应用3种高频考点专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆：椭圆的定义、方程及定义的应用3种高频考点专项训练 椭圆：椭圆的定义、方程及定义的应用3种高频考点专项训练 考点目录 椭圆的标准方程 由方程表示椭圆求参数的范围 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点一 椭圆的标准方程 例1．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 例2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 例3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 例4．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 变式1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，则点的轨迹方程可求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 变式2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 变式3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【分析】根据给定条件，设出椭圆标准方程，利用待定系数法求解. 【详解】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 变式4．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是__________，其轨迹方程是__________. 【答案】 以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 【分析】利用椭圆的定义判断即可． 【详解】设， 因为表示点到的距离，表示点到的距离， 又动点满足， 又，即， 动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆． 得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：以，为焦点，长轴长为10的椭圆； 考点二 由方程表示椭圆求参数的范围 例1．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以. 所以实数k的取值范围为. 例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例3．（25-26高二上·上海·期末）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程的特点列不等式，解不等式即可. 【详解】由题意，得，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 变式2．（25-26高二上·四川宜宾·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 变式3．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 考点三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 例1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】注意到是椭圆的下焦点，则上焦点为，故，而的最大值为，由此求得的最大值. 【详解】由椭圆方程可知，， 故为椭圆的下焦点，则椭圆的上焦点为，如图，    根据椭圆的定义，有， 根据三角形两边的差小于第三边可知， 故的最大值为. 故选：D 例2．（26-27高三上·广东佛山·阶段检测）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】计算判断点为椭圆的上焦点，作下焦点为，利用椭圆的定义将待求式化成，结合图形可得当且仅当三点共线且点在之间时取得最大值. 【详解】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为， 因为，所以点在椭圆内， 连接，则，则， 由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立， 故， 即的最大值为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据题目条件利用椭圆的定义转化，结合三角形性质即可求出的最大值. 【详解】已知椭圆方程：， 故：，， 焦距：， 焦点为：， 已知，在椭圆上，求： 由椭圆的定义：，可得， 代入目标：， 问题转化为求：， 对于任意点，由三角形性质可得（三点共线时取等）：， 因此：，又， ， ，. 故选：C 变式2．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用椭圆定义把替换成，将所求式子转化为，再用三角不等式求出最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】椭圆 ，则， ，， 左焦点 ，右焦点 ，由椭圆定义：，所以 ， ， 因为，当且仅当为线段的延长线与椭圆的交点时，等号成立， ， 所以， 则的最小值为. 变式3．（26-27高三上·广东·开学考试）已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 【答案】 【分析】识别出点A为椭圆右焦点，利用椭圆定义将 转化为 ，由三角形不等式得 ，取等时 共线，结合固定边 得周长最大值. 【详解】由椭圆方程 ，知 ，故 . 焦点为、，可见点 恰为右焦点 . 设 为椭圆上一点，则椭圆定义有， 而 ，所以. 由三角形不等式，对任意点 ，有， 其中 ，，故. 因此， 等号当且仅当 三点共线且 位于 与 之间时取得， 所以的周长且最大值能达到. 则周长的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆：椭圆的定义、方程及定义的应用3种高频考点专项训练 椭圆：椭圆的定义、方程及定义的应用3种高频考点专项训练 考点目录 椭圆的标准方程 由方程表示椭圆求参数的范围 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 考点一 椭圆的标准方程 例1．（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 例4．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 变式1．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 变式4．（25-26高二上·天津·期中）动点满足方程，则动点P的轨迹是__________，其轨迹方程是__________. 考点二 由方程表示椭圆求参数的范围 例1．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 例3．（25-26高二上·上海·期末）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______． 变式1．（25-26高二下·河北·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 变式2．（25-26高二上·四川宜宾·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 变式3．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 考点三 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 例1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知点P是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（   ） A．4 B． C． D．8 例2．（26-27高三上·广东佛山·阶段检测）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 例3．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，点，P为椭圆C上的一动点，则的最大值为（    ） A．10 B．13 C．19 D．21 变式2．（26-27高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 变式3．（26-27高三上·广东·开学考试）已知椭圆及点，，点是上与，不共线的动点，则周长的最大值为____________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $