暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间向量研究线面位置关系的四大高频考点，以递进式知识逻辑构建从基础工具到综合应用的训练体系，培养数学思维的推理能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求空间向量的法向量|3例3变式|选择/填空，含几何体与坐标系背景|空间向量应用的基础工具，为位置关系判断提供支撑| |空间向量平行的坐标表示|4例4变式|选择/填空，涉及向量、线面、面面平行计算|从向量平行拓展到线面平行的坐标转化，体现数学语言的精确表达| |空间向量垂直的坐标表示|4例4变式|选择/填空，含线线、线面垂直计算|与平行形成位置关系的基本维度，强化运算能力与推理意识| |空间位置关系的向量证明|3例3变式|解答题，综合证明平行、垂直及存在性问题|前三者的综合应用，培养用数学语言论证空间关系的模型观念|

暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点专项训练 暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点专项训练 考点目录 求空间向量的法向量 空间向量平行的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 空间位置关系的向量证明 考点一 求空间向量的法向量 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 例2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 例3．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 变式1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面的一个法向量，与所给选项对比，坐标成比例的即为平面的一个法向量. 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 变式3．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 考点二 空间向量平行的坐标表示 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量共线列式求参，再代入计算求解. 【详解】因为，所以，解得，故． 例2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得. 例3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 【答案】1 【分析】借助空间向量性质计算即可得. 【详解】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得. 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 变式1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】根据三点共线得出空间向量平行，应用平行坐标关系计算求解. 【详解】因为三点共线， 所以，且， 所以， 则. 故选：B. 变式3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 变式4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 【答案】2 【分析】根据平面法向量的性质，结合空间向量平行的性质的坐标运算进行求解即可. 【详解】，直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直， ，解得. 故答案为：. 考点三 空间向量垂直的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 例2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴， 解得：. 例3．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 【答案】1 【详解】依题意，向量与向量垂直， 因此，所以. 例4．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 变式1．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】应用空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，且， 所以，即 则实数值为4. 变式3．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 故答案为： 变式4．（25-26高二上·河北衡水·期中）若，，且，则的值是____. 【答案】或 【分析】求出，再由得到，列式求解即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为， 所以， 解得或. 故答案为：或. 考点四 空间位置关系的向量证明 例1．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明：因为，，， 所以，. 由（1）得 ， 所以，即． (3) 【分析】（1）利用空间向量的加减法，将目标向量分解为基底向量的线性组合； （2）将两向量表达式代入数量积，利用已知边长和夹角展开计算，由点积为零证明垂直； （3）计算目标向量模的平方，展开后代入已知数据，开方得长度． 【详解】（1）在中，由空间向量的减法运算，得.    ． （2）略． （3）由（1）知， 所以 ，         所以． 例2．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 变式1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点专项训练 暑假预习：用空间向量研究直线、平面的位置关系4种高频考点专项训练 考点目录 求空间向量的法向量 空间向量平行的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 空间位置关系的向量证明 考点一 求空间向量的法向量 例1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 变式1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为_____． 考点二 空间向量平行的坐标表示 例1．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，若，则（   ） A． B．4 C． D．6 例2．（25-26高二下·河南平顶山·期中）已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 例3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______． 例4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 变式1．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 变式2．（25-26高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 变式3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知向量，，若，则实数________. 变式4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 考点三 空间向量垂直的坐标表示 例1．（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知空间向量，，若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 例3．（25-26高二下·福建厦门·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 例4．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 变式1．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 变式3．（25-26高二上·上海金山·期末）已知向量和，若，则______． 变式4．（25-26高二上·河北衡水·期中）若，，且，则的值是____. 考点四 空间位置关系的向量证明 例1．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 例2．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 例3．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 变式1．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 变式2．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $